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江苏省溧阳市戴埠高级中学高中数学 21圆的一般方程学案


圆的一般方程

学案

班级 学号 姓名 ?学习目标 1. 掌握方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的条件; 2. 能由圆的一般方程求出圆心坐标和半径; 3. 能用待定系数法,求圆的方程; 4. 解题过程中能分析和运用圆的几何性质. ?课前准备 问题 1:⑴已知一个圆的圆心坐标为 (1,1) ,半径为 3, 则

圆的方程为 ⑵已知一个圆的圆心坐标为 (2,3) ,半径为 1 ,则圆的方程为 问题 2:将上述所求方程展开后,得到了两个什么样的方程? . .

?课堂学习 一、重点难点 重点:①能由一般方程求出圆心坐标和半径; ②能用待定系数法求圆的方程. 难点:方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的条件. 二、知识建构 问题 1.下列方程能否表示圆? ① x ? y ? 6x ? 2 y ? 6 ? 0
2 2 2 2 2 2

② x ? y ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 ③ x ? y ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0 问题 2:方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的能否表示圆? 通过配方以后发现,方程 ⑴ ⑵ ⑶ ,方程表示 ,方程表示 ,方程 ; . ;

圆的一般方程的定义: 方程 叫做圆的一般方程. 此时圆心坐标为 ,半径为 练习:下列方程各表示什么图形?若表示圆,写出其圆心和半径. ⑴ x ? y ? 4x ? 0;
2 2

; . . .

⑵ x ? y ? 4 x ? 2 y ? 5 ? 0.
2 2

⑶ x ? y ? 7 y ? 50 ? 0.
2 2

⑷ 2 x ? 2 y ? 5x ? 0.
2 2 2 2

⑸ x ? y ? 2by ? 0(b ? 0). . 三、典型例题 例 1.已知 ?ABC 顶点的坐标为 A(4,3), B(5, 2), C (1,0), 求 ?ABC 外接圆的方程.
1

例 2.某圆拱桥梁的示意图如右图所示,该圆拱的跨度 AB 是 36m, 拱高 OP 是 6 m ,在建造 时,每隔 3m 需要一个支柱,求支柱 A2 P 2 的长?

例 3.已知方程 x2 ? y 2 ? 2kx ? 4 y ? 3k ? 8 ? 0 表示一个圆,求 k 的取值范围.

变式: x ? y ? 2mx ? (2m ? 2) y ? 2m ? 0 表示一个圆,且该圆的圆心位于第一象限,求 实数 m 的取值范围?
2 2 2

五、学法指导 1.方程中 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 含有三个参变数,因此必须具备三个独立的条件,才能 确定一个圆,还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化. 2.待定系数法是数学中常用的一种方法,在以前也已运用过.例如:由已知条件确定二次函 数,利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运
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2

用, 要求熟练掌握. 3.使用待定系数法的一般步骤:⑴根据题意,选择标准方程或一般方程;⑵根据条件列出关 于 a, b, r 或 D, E, F 的方程组; ⑶解出 a, b, r 或 D, E, F ,代入标准方程或一般方程. ?课后复习 一、巩固练习 1.圆心为 (1, ?1) ,半径为 3 的圆的一般方程为 2.写出下列各圆的圆心坐标和半径: ⑴ x2 ? y 2 ? 3x ? 4 y ? 0 .圆心 C ⑵ x ? y ? 2 x ? 5 ? 0 . 圆心 C
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. ,半径为 r ? ,半径为 r ? ,半径为 r ? . . .

⑶ x2 ? y 2 ? 2mx ? 0(m ? 0) .圆心 C

3.若方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示以 (?2, ?4) 为圆心,半径等于 4 的圆, 则D ? ,E ? ,F ? . . .

4.经过点 O(0,0), A(2,0), B(0, 4) 的圆的一般方程是 5.若方程 x 2 ? y 2 ? x ? y ? m ? 0 表示圆,则实数 m 的取值范围是 6.圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 0 的面积为 .

7.圆的方程为 x2 ? y 2 ? kx ? 2 y ? k 2 ? 0, 当圆面积最大时,圆心坐标为

.

8.若直线 4ax ? 3by ? 6 ? 0(a, b ? R) 始终平分圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 1 ? 0 的周长,则 a , b 满足的条件是 .

9.求经过三点 A(?1,5), B(5,5), C (6, ?2) 的圆的方程.

10.已知圆 x ? y ? 4 x ? 2by ? b ? 0 与 x 轴相切,求 b 的值.
2 2 2

3

11.求圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程.

?阅读拓展: 2 2 2 1.点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的关系的判断方法: ⑴ ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 , 点在圆外; ⑵ ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 , 点在圆上; ⑶ ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 , 点在圆内; 2.几种特殊位置的圆的标准方程 条件 圆心在原点 圆心在 x 轴上 圆心在 y 轴上 圆心在 x 轴上且过原点 圆心在 y 轴上且过原点 圆与 x 轴相切 圆与 y 轴相切 圆与两坐标轴相切 方程形式

x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ( x ? a)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) x2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0) ( x ? a)2 ? y 2 ? a2 (a ? 0) x2 ? ( y ? b)2 ? b2 (b ? 0) ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? b2 (b ? 0) ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? a2 (a ? 0)

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? a2 ( a ? b ? 0)

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