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鲁八上3.5平行线的性质定理 课件


八年级

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义务教育课程标准实验教科书

几何的三种语言 几何的三种语言

? 平行线的判定
c a b
2 1

公理: 同位角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
判定定理1: 内错角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
a b

c
1 2

判定定理2: a 同旁内角互补,两直线平行.b 0 ∵∠1+∠2=180 , ∴ a∥b.

c
1 2

如果我们把平行线的判 定定理的条件和结论互换之 后得到的命题是真命题吗?
两直线平行,同位角相等 两直线平行,同位角相等.

利用这个公理, 利用这个公理,你 能证明哪些熟悉的结论? 能证明哪些熟悉的结论?
两直线平行,内错角相等 两直线平行,内错角相等. 两直线平行,同旁内角互补 两直线平行,同旁内角互补.

议一议:

想一想: 想一想:
(1)根据“两条平行线被第三条直线所截,内 )根据“两条平行线被第三条直线所截, 错角相等” 你能作出相关的图形吗 你能作出相关的图形吗? 错角相等”.你能作出相关的图形吗? (2)你能根据所作的图形写出已知、求证吗? )你能根据所作的图形写出已知、求证吗? (3)你能说说证明的思路吗? )你能说说证明的思路吗? 已知,如图, 已知,如图, 直线a//b, ∠1和∠2 直线 和 是直线a、 被直线 被直线c 是直线 、b被直线 截出的内错角. 截出的内错角 求证: 求证:∠1=∠2 =
c 3 a 1

2 b

已知:如图,直线 ∥ 已知:如图,直线a∥b, ∠1和∠2 和 是直线a、 被直线 截出的内错角 是直线 、b被直线 c截出的内错角 . 求证: 求证:∠1=∠2 ∠

证明:∵a∥b ( 已知 ) 证明: ∥

1 2

c 3 a b

∴∠3=∠ ∴∠ ∠2 ( 两直线平行,同位角相等 ) ∵ ∠3=∠1 ( 对顶角相等 ) ∠ ∴∠1=∠ ∴∠ ∠2 ( 等量代换 )

做一做: 两条平行线被第三条直线所截, 同旁内角互补.
c

已知:如图,直线a//b,∠ ,∠1 已知:如图,直线a ,∠ 是直线a, 被直线c 和∠2是直线a, 被直线c截出 是直线a,b被直线 的同旁内角. 的同旁内角. 求证: +∠2=180° 求证:∠1+∠ =180° +∠

a

3 1

b

2

c

已知:如图,直线a ,∠ ,∠1 已知:如图,直线a//b,∠ 是直线a, 被直线c 和∠2是直线a, 被直线c截出 是直线a,b被直线 的同旁内角. 的同旁内角. 求证: 1+∠ +∠2=180° 求证:∠1+∠2=180°

a

3 1

b

2

Q 证法1:

a//b(已知) (已知)

∴ ∠3=∠2(两直线平行,同位角相等) = (两直线平行,同位角相等) 1+∠3=180° 平角=180° Q ∠1+∠ =180°(1平角=180°) ∴ ∠1+∠ =180°(等量代换) 1+∠2=180° 等量代换)

c

已知:如图,直线a ,∠ ,∠1 已知:如图,直线a//b,∠ 是直线a, 被直线c 和∠2是直线a, 被直线c截出 是直线a,b被直线 的同旁内角. 的同旁内角. 求证:∠1+∠ =180° +∠2=180° 求证: +∠

a 3 1

b

2

证法2 证法2: Q

a//b

(已知) 已知)

∴ ∠3=∠2 (两直线平行,内错角相等) 两直线平行,内错角相等) = 1+∠3=180° 平角=180° Q ∠1+∠ =180°(1平角=180°) 1+∠2=180° 等量代换) ∴ ∠1+∠ =180°(等量代换)

证明的一般步骤: 证明的一般步骤:
第一步:根据题意,画出图形. 第一步:根据题意,画出图形. 先根据命题的条件即已知事项,画出图形, 先根据命题的条件即已知事项,画出图形,再把命题的 结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号, 结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号,以便于叙 述或推理过程的表达. 述或推理过程的表达. 第二步:根据条件、结论,结合图形,写出已知、求证. 第二步:根据条件、结论,结合图形,写出已知、求证. 把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中, 把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中,命题的 结论转化为几何符号的语言写在求证中. 结论转化为几何符号的语言写在求证中. 第三步:经过分析,找出由已知推出求证的途径, 第三步:经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明 过程. 过程. 一般情况下,分析的过程不要求写出来,有些题目中, 一般情况下,分析的过程不要求写出来,有些题目中,已 经画出了图形,写好了已知、 求证,这时只要写出“证明” 经画出了图形,写好了已知、 求证,这时只要写出“证明” 一项就可以了. 一项就可以了.

谈谈你的收获? 谈谈你的收获?
1.平行线的性质: 平行线的性质: 公理:两直线平行,同位角相等. 公理:两直线平行,同位角相等. 定理:两直结平行,内错角相等. 定理:两直结平行,内错角相等. 定理:两直线平行,同旁内角互补. 定理:两直线平行,同旁内角互补. 2.证明的一般步骤 (1)根据题意,画出图形. 根据题意,画出图形. (2)根据条件、结论,结合图形,写出已知、求证. 根据条件、结论,结合图形,写出已知、求证 (3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出 经过分析,找出由已知推出求证的途径, 证明过程. 证明过程.

根据下列命题,画出图形, 根据下列命题,画出图形,并结合图形 写出已知、求证 不写证明过程 不写证明过程): 写出已知、求证(不写证明过程 : 1)垂直于同一直线的两直线平行;

已知:直线 ⊥ 已知:直线b⊥a , c⊥a ⊥ 求证: ∥ 求证:b∥c
a

b

c

2)一个角的平分线上的点到这个角的两 边的距离相等;

已知:如图,OC是∠AOB的平分线, 的平分线, 已知:如图, 是 的平分线 A F EF⊥OA于F , ⊥ 于 EG⊥OB于G ⊥ 于 求证: 求证:EF=EG O G E B C

3)如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行. 已知:如图,直线 被直线d所 已知:如图,直线a,b,c被直线 所 被直线 截,且a∥b,c∥b, ∥ ∥ , 求证: ∥ 求证:a∥c
d a b c

再 见 !


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