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天津市八校2016届高三联考数学(理)试卷


高三年级八校联考
第?卷

理科数学 试卷(2015.12 )
(选择题 共 40 分)

本试卷分第 ? 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每 小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请将答案填涂在答题卡上 !) ........... 1.复数 z ?

(1 ? i)2 的共轭复数所对应的点位于复平面的( 1? i
B.第二象限 C.第三象限

). D.第四象限

A.第一象限

2.设 a ? log 1 2 , b ? log2 3 , c ? ( ) ,则(
0.3

3

1 2

). D. b ? c ? a

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. c ? b ? a

? x? y ?2 ? 3.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 , 则目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为( ?2 x ? y ? 4 ?
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

).

4.抛物线: y 2 ? ?12 x 的准线与双曲线: 面积为( A. 3 3 ). B. 2 3

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线所围成的三角形的 9 3

C.2 ).

D. 3

5.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 8 ? 2? C. 8 ? B. 8 ? ? D. 8 ?

? 2

? 4

6.已知条件 p:关于 x 的不等式 | x ? 1| ? | x ? 3 |? m 有解;条件 q: f ( x) ? (7 ? 3m) 为
x

减函数,则 p 成立是 q 成立的( A.充分不必要条件 C.充 要条件
2 2 2

). B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2 2 2

7 . 两 圆 x ? y ?2 ax? a ?4 ?0 和 x ? y ? 4by ?1 ? 4b ? 0 恰 有 三 条 公 切 线 , 若

1 1 ? 的最小值为( ). a 2 b2 1 4 A. 1 B. 3 C. D. 9 9 2x ? 5 8 . 已 知 函 数 f ( x) ? , 定 义 在 R 上 的 函 数 g ( x) 周 期 为 2 , 且 满 足 x?2

a ? R, b ? R 且 ab ? 0 ,则

? x2 ? 2 g ( x) ? ? 2 ?2 ? x
为( ). A. ? 4

x ? [0,1) x ? [?1, 0)

,则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?5,1] 上 的所有零点之和

B. ?6

C. ?7

D. ?8

第Ⅱ卷(非选择题共 110 分) 二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请将答案填在答题纸上 !) .......... 9.某校共有高一、高二、高三学生共有 1290 人,其中高一 480 人,高二比高三多 30 人.为 了解该校学生健 康状况, 现采用分层抽样方法进行调查, 在抽取的样本中有高一学生 96 人, 则该样本中的高三学生人数为 10. 向 量 a ? (2,1) , 若m b ? (1, ?2) , a ? n b .

?

?

?

? ? 9 ( ,? 8 )

, ( m, n ? R ), 则 m? n ? .



11.执行如图所示的程序框图,若输出的 结果为 5 ,则整数 m 值为

(第 11 题) 12.如图, F1 , F2 是椭圆 C1 :

(第 12 题)

x2 ? y 2 ? 1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别是 C1 ,C2 在 4
. .

第二、四象限的公共点.若四边形 AF 1BF 2 为矩形,则 C2 的离心率是 13.在区间 [?1,1] 上随机取一个数 x, cos

?x 1 的值介于 [0, ] 的概率为 2 2

14.数列 {an } 中, a1 ? 1 , Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,且对 ?n ? 2 ,都有 则 {an } 的通项公式 an = .

2an ? 1. an Sn ? Sn 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.并将 .. 答案写在 答题纸上 !) .... .... 15.(本小题满分 13 分) 已知圆 C 的圆心为 (1, 2) 且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 相切. (Ⅰ) 求圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 若直线 l 经过点 (?1, ?1) 且被圆 C 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程.

[来源:学科网]

16.(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 是一个等差数列, Sn 为其前 n 项和, a2 ? 1 , S9 ? ?45 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

5 ? an b , cn ? 2 n ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . 2

17.(本小题满分 13 分)

?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 a ? c ?
(Ⅰ) 求 cos A 的值; (Ⅱ) 求 cos( 2 A ?

6 b , sin B ? 6 sin C . 6

?
6

) 的值;

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? x ? (Ⅰ) 求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ) 求 f ? x ? 在闭区间 ? ?

? ?

??

3 2 , x?R . ? ? 3 cos x ? 3? 4

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 4 4?

[来源:Zxxk.Com]

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 6 ,且对 ?n ? N ,都有 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 . (Ⅰ) 设 bn ? an?1 ? an ,证明数列 {bn } 为等差数列; (Ⅱ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ) 求数列 {
?

an n ? 3 } 的的前 n 项和 Tn . n

[来源:Zxxk.Com]

20.(本小题满分 14 分)

p ? 2 ln x . x (Ⅰ) 若 p ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线;
已知函数 f ( x) ? px ? (Ⅱ) 若函数 f ( x ) 在其定义域内为增函数,求正实数 p 的取值范围; (Ⅲ) 设函数 g ( x ) ?

2e ,若在 [1, e ] 上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 x

实数 p 的取值范围.

高三年级八校联考
一、选择题 题号 答案 二、填空题 9. 78 10. 1 C 2 D 3 A

理科数学 答案(2015.12)
4 A 5 B 6 B 7 A 8 C

-3

11.

5

12.

6 2

13.

1 3

n ?1 ?1 ? 14. ? ?2 ? n(n ? 1) n ? 2 ?

三、 解答题 15. (Ⅰ) r ?

| 2 ? 2 ? 1| 1 ?2
2 2

? 5 ; ? C : ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5

(Ⅱ) 点 (?1, ?1) 在圆内,且弦长为 2 ? 2 5 ,所以应有两条直线;

1?

当 l 斜率存在时,设 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 1 ? 0 .

由弦长公式, 2 ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 5 ? d 2 ,得 d ? 2

? 圆心到直线 l 的距离 d ?

| 2k ? 3 | k ?1
2

? 2 ,解得 k ?

5 ,此时 l : 5x ? 12 y ? 7 ? 0 12

2? 当 l 斜率不存在时, l : x ? ?1 ,也符合题意.
所以,直线方程为: 5 x ? 12 y ? 7 ? 0 或 x ? ?1 . 16.解:(Ⅰ) S9 ? 9a5 , a5 ? ?5

d?
(Ⅱ) bn ?

a5 ? a2 ? ?2 , an ? a2 ? (n ? 2)d ? 5 ? 2n ; 5?2 5 ? an ? n , cn ? 2bn ? 2n , 2

[来源:Zxxk.Com]

Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? 2n?1 ? 2 .
17.解:(I)在三角形 ABC 中,由 可得 b ? 6c 又 a ? c ?

b c ? 及 sin B ? 6 sin C , sin B sin C

6 b ,有 a ? 2c , 6

所以 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 6c 2 ? c 2 ? 4c 2 6 ? ? . 2 2bc 4 2 6c
6 10 . ,可得 sin A ? . ,于是 4 4

(II) 在三角形 ABC 中,由 cos A ?

1 15 cos 2 A ? 2 cos 2 A ? 1 ? ? ,sin 2 A ? 2sin A cos A ? . ,所以 4 4 cos(2 A ?

?
6

) ? cos 2 A cos

?
6

? sin 2 A sin

?
6

?

15 ? 3 . 8

18.解: (Ⅰ) f ( x) ? cos x( sin x ?

1 2

3 3 cos x) ? 3 cos 2 x ? 2 4

1 3 3 ? sin x cos x ? cos 2 x ? 2 2 4 1 3 1 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 4 4 2 3
所以最小正周期 T ? (Ⅱ)

1 ? ? sin(2 x ? ) ? x ? [? 2 3 4 ? 1 1 ? sin(2 x ? ) ? [?1, ] ,则 f ( x) max ? , 3 2 4 f ( x) ?

2? ?? 2

,

?
4

] ? 2x ? , 1 ?? 2

?
3

? [?

5? ? , ] 6 6

f ( x) min

19.(Ⅰ) ? an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 ,? an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ? 2

?(an?2 ? an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? 2
即 bn?1 ? bn ? 2 ,则数列 {bn } 为等差数列.

b1 ? a2 ? a1 ? 4 , d ? 2 , bn ? 4 ? 2(n ?1) ? 2n ? 2
(Ⅱ) bn ? an?1 ? an ? 2n ? 2 ,

? an ? an ?1 ? 2n ? a ? a ? 2n ? 2 ? ? n ? 2, ? n ?1 n ? 2 ,累加有 an ? a1 ? n2 ? n ? 2 ,则 an ? n2 ? n (n ? 2) . ? ? ? a2 ? a1 ? 4 ?

a1 ? 2 也符合上式,则对 ?n ? N ? , an ? n2 ? n .
(Ⅲ)

an n ? 3 ? ( n ? 1) ? 3n n Tn ? 2 ? 3 ? 3 ? 32 ? ? ? (n ? 1)3n

3Tn ?

2 ? 32 ? ? ? n ? 3n ? (n ? 1)3n ?1 3 ? (2n ? 1) ? 3n ?1 2

?2Tn ? 2 ? 3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ? (n ? 1)3n ?1 ?
? Tn ?

(2n ? 1) ? 3n?1 ? 3 4
p ? 2 ln x . x

20.已知函数 f ( x) ? px ? (Ⅰ) f ( x) ? 2 x ?

2 ? 2 ln x, f (1) ? 0 , x

f '( x) ? 2 ?

2 2 ? , f '(1) ? 2 x2 x

则切线为: y ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 ;

(Ⅱ)

f '( x) ? p ?

p 2 px 2 ? 2 x ? p ? ? , x2 x x2
2x ,对 ?x ? 0 恒成立, x ?1
2

? px2 ? 2x ? p ? 0 即 p ?

设 h( x ) ?

2x 2 x2 ? 2 ? 4 x2 2 ? 2 x2 ( x ? 0) , h '( x ) ? ? 2 x2 ? 1 ( x 2 ? 1)2 ( x ? 1)2

h( x) 在 (0,1) 上增, (1, ??) 减,则 h( x)max ? h(1) ? 1
? p ? h(1) ? 1 ,即 p ? [1, ??)
(Ⅲ) 设函数 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? px ?

p ? 2e ? 2 ln x , x ? [1, e] x

则原问题 ? 在 [1, e] 上至少存在一点 x0 ,使得 ? ( x0 ) ? 0 ? ? ( x)max ? 0 .

? '( x) ? p ?
1? p ? 0

p ? 2e 2 px 2 ? 2 x ? ( p ? 2e) ? ? x2 x x2

?2 x ? 2e ? 0, 则 ? ( x) 在 x ? [1, e] 增, 舍; ? ( x)max ? ? (e) ? ?4 ? 0 , x2 1 2e 2? p ? 0 , ? ( x) ? p ( x ? ) ? ? 2 ln x , x x 1 2e ? x ? [1, e] ,? x ? ? 0, ? 0, ln x ? 0 ,则 ? ( x) ? 0 ,舍; x x

? '( x) ?

[来源:学科网]

3 p?0
?

p( x 2 ? 1) ? 2(e ? x) ? '( x) ? ?0, x2
p 4e ? 4 ? 0 ,整理得 p ? 2 e e ?1

则 ? ( x) 在 x ? [1, e] 增, ? ( x) max ? ? (e) ? pe ? 综上, p ? (

4e , ??) e ?1
2


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