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不等式解法大全(绝对值不等式,分式不等式,一元二次不等式,含参不等式,高次不等式)


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不等式的解法方法归类
一.一元二次不等式的解法 例 1、不等式 6 x 2 ? 5 x ? 4 的解集为_________________________________.
例 2 等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是___________________________.
2

例 3.式 ? x ? 5 x ? 6 ? 0 的解集是______________________________.
2

? 1? 例 4.一元二次不等式 ax2 ? bx ? 1 ? 0 的解集为 ? x ?1 ? x ? ? ,则 ab 的值是__ 3? ?
例 5. 式的解集: ⑴

? x ? 4?? ?x ?1? ? 0 ;

⑵ ?3x ? x ? 2 ;
2

⑶ 4x ? 4x ? 1 ? 0 .
2

例 6 已 知 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0 的 解 集 是
2

?x

? ? x ? ? ?(? ? 0) . 求 不 等 式

cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集.

二.分式不等式的解法
解分式不等式的基本思路:等价转化为整式不等式(组) : (1)

f ? x? ? 0 ? f ? x? ? g ? x? ? 0 g ? x?

(2)

? f ? x? ? f ? x? ? g ? x? ? 0 ?0?? g ? x? ? ?g ? x? ? 0

例 1. 解下列不等式 1、

x?3 ?0 2? x

2、

2x ?1 ?1 x?3

变式 3:解不等式

1

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4 不等式

3x ? 1 ? ?1 的解集是 3? x

8. 不等式

2x ?1 ? 1 的解集是 ?x ? 2

三.对值不等式的解法

ax ? b ? c 与 ax ? b ? c 型的不等式的解法。
(1 时,不等式 ax ? b ? c 的解集是 x ax ? b ? c, 或ax ? b ? ?c

?

?

? (2).式 ax ? b ? c 的解集是 ?x x ? R?
不等式 a ? bx ? c 的解集是 ? ; 例 1 解不等式 x ? 2 ? 3

不等式 ax ? b ? c 的解集是 x ? c ? ax ? b ? c ;

?

解不等式 | x2 ? 5x ? 5 |? 1 .

变式训练 例 1.式
x x 。 ? x?2 x?2

2.不等式

x ?1 ?1 x?2

变式训练例 3、解不等式 x ?1 ? 2x ? 3 。

2 例 3 解不等式 x ? 4 ? x ? 2

四.绝对值衍生题型: 例 1. 解不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 5 。 例 2.解不等式 2x ? 1 ? x ? 1 ? 2

2

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例 3. 对任何实数 x ,若不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? k 恒成立,则实数 k 的取值范围为 (A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 (D) k≤-3

例 4. 对任何实数 x ,若不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? K 恒成立,则 k 的取值范围为

例 5.对任何实数 x ,若不等式 2x ? 1 ? x ? 1 ? K 恒成立,则 k 的取值范围为 (

例 6、解关于 x 的不等式

2 x ? 1 ? 2m ? 1 (m ? R)

例 7、不等式

x (1 ? 2x) ? 0 的解集是(
1 (??,0) ? (0, ) B. 2



1 (??, ) A. 2

1 ( ,??) C. 2

1 (0, ) D. 2

五.一元二次不等式的恒成立问题 例 1、若不等式 x ? mx ? 1 ? 0 的解集为 R ,则 m 的取值范围是(
2

) D. ? ?2, 2?

A. R

B. ? ?2, 2 ?

C.

? ??, ?2? ? 2, ???

例 2:若不等式 (m ? 1) x 2 ? (m ? 1) x ? 2 ? 0 的解集是 R,求 m 的范围。

六.一元二次方程根的分布

例 1.二次方程 (m ? 1) x 2 ? 2(m ? 1) x ? m ? 0 有两个正根,求 m 的取值范围。

3

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例 2 元二次方程 kx2 ? 3kx ? k ? 3 ? 0 的两根都是负数,求 k 的取值范围。

例 3.范围内取值,一元二次方程 kx 2 ? 3kx ? k ? 3 ? 0 有一个正根和一个负根?

例 4.于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.

七.高次不等式的解法 例 1 解不等式: (1) 2 x ? x ? 15x ? 0 ;
3 2

(2) ( x ? 4)(x ? 5)2 (2 ? x)3 ? 0

x2 ?1 例 3. 解不等式 2 ?2 ( x ? 1)( x ? 1)

x2 ? x ? 0 的解集是 例 4. 不等式 2 x ? x?6

4

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例 5 解下列分式不等式: (1)

3 2 x2 ? 4x ? 1 ?1? ; (2) 2 ?1 x?2 x?2 3x ? 7 x ? 2

八.含参不等式的解法
1. 解 x 的不等式: (1) x ? ax ? 4 ? 0 。
2

(2) 2ax2 ? a ? 1 ? 0(a ? R) 。

2.解关于 x 的不等式: (1) ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0.

(2) kx2 ? (k ? 1) x ? 0(k ? R)

3.解 x 的不等式: (1) x 2 ? 2(a ? 1) x ? 4a ? 0(a ? R) (2) 2a(1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a) x ? 1 ? 0(a ? R) .

4. 解关于 x 的不等式: (1)

a( x ? 1) >1(a≠1); x?2

( 2)

x ? 1? a 。 x ?1

5

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6. 解不等式 x ? (a ?
2

1 ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) . 7. 解关于 x 的不等式 a

ax ? 2 ?( 2 a ? R) x?2

8 关于 x 的不等式 | x ?

(a ? 1) 2 (a ? 1) 2 与 x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 的解集依次为 A 与 B , |? 2 2 若 A ? B ,求实数 a 的取值范围. ( a ? ?1, 或1 ? a ? 3 )

9.已知 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0} , ①若 A B ,求实数 a 的取值范围.; ( a ? 2 )②若 B ? A ,求实数 a 的取值范围.; ③若 A ? B 为仅含有一个元素的集合,求 a 的值.( a ? 1 ) 例 10.解不等式 x 2 ? 3x ? 10 ? 8 ? x .

************错题集(每一道错题都是明天的考试题)************ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6


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