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北师大版数学必修四弧度制课件


目标:
?1、理解并掌握弧度制的定义,

?2、能进行角度与弧度之间的换算。 ?3、能用弧度制解决简单的问题

讲授新课
q 1、 请同学回答度量时间有哪些方法?

温故而知新
? 1、角度制的定义

1 ? 规定周角的 为1。的角这种用度做单位来度量角的制 360 度叫角度制。


l



R

2、弧长公式及扇形面积公式

n π R l= ——— 180

S= ———
360

2 nπR

要求:利用工具按要求画出不同的扇形,并测量圆心角的大小 第一组: l

2、学生活动

?r

1 l? r 第二组: 2
第三组: l

? 2r

你有什么发现吗?谈谈你的想法

讲授新课
1、弧度制
? 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心 B l=r
1弧度

角 ? 叫做1弧度的角。 设弧AB的长为l, l 若l=r,则∠AOB= = 1 弧度

r

O

r

A

若l=2r,

若l=2 π r,
l =2 弧度 l r 则∠AOB= =2π弧度 r
l=2r
l=2 π r
2π弧度

则∠AOB=

B
2弧度

O r

A

O

r

A(B)

若圆心角∠AOB表示一个负角,且它 所对的弧的长为3r,则∠AOB的弧度 数的绝对值是 l = 3,

r

即∠AOB=-

l = -3弧度 r
O r A

B

-3弧度
l=3r

由弧度的定义可知:

定 义 的 合 理 性

圆心角AOB的弧度数的绝对值等于 它所对的弧的长与半径长的比。

B
B O

l=R
A

l=r 1弧度 A r R

1弧度

的与 一半 个径 比长 值无 关

4、用弧度来度量角,实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系:
正角 正实数 对应角的 弧度数

零角
负角


负实数

角的集合

实数集R

一般地,我们规定:
正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数, 零角的弧度数为零,任一已知角α的弧度数的绝 对值:

︱ α︱ =

l r

其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为圆的半径。这种用“弧度” 做单位来度量角的 制度叫做弧度制。

2、弧度与角度的换算
类比美元与人民币的换算:黄金价格

黄金/盎司 人民币计价 7624.40元 黄金/盎司 美元计价 1118.10美元 则 7624.40元=1118.10美元
l 若l=2 π r, 则∠AOB= = 2π弧度 r
l=2 π r A(B)

360°= 2π 弧度 180°= π 弧度

O

r

由180°= 1° = 180

π 弧度 还可得

π —— 弧度 ≈ 0.01745弧度 π

180 1弧度 =(——)°≈ 57.30°= 57°18′

3、例题
例1. 把下列各角化成弧度
(1) 67 °30'

(3) 75 °
(5) 300 °

3 π (2) 120 ° (1) 8 5 π (4) 135 ° (3) 12 (6) - 210 ° (5)5π 3

3 (4)3π 4 (6) ?7π 6

(2) 2π

例2: 把下列各弧度化成度. π 3π (1) 5 (2) 12 (1)108。 (2)15。

4 π ? (3) 5

?5π 。 。 (4) 6 (3)-144 (4)-150

1、对于一些特殊角的度数与弧度数 注:

之间的换算要熟记。


弧 度

0。 30。 45° 60° 90。 180。 270。 360。

0

π

6

π 4

π 3

π 2

π

3 π 2π 2

2、用弧度为单位表示角的大小时,“弧度”二字 通常省略不写,但用“度”(°)为单位不能省。 3、用弧度为单位表示角时,通常写成“多少π”的形式。

例3、把下列各角化成 2k? ? ??0 ? ? ? 2?,k ? Ζ? 的形式: 16? 11? ? (1 ) ;(2)? 315 ;(3) ? .(4) ? 8 3 7 16? 4? (1): ? 4? ? 3 3
7? ? ? ?2? ? (2): ?315 ? ? 4 4

11? 3? (3): ? ? ?2? ? 7 7

(4) ? 8 ? ?4? ? (4? ? 8)

例4
(1)

?

试判断下列各角所在的 象限.
( 2) 11? 5 4 2000 ( 3) ? ? 3 (6) ? 8

5

(4) 1
(1)

( 5)
5 ?0 ?

?
11? 5

?
5

?

?
2

?

?
5

是第一象限角 .

( 2)

11? ? 11? ? ? 2? ? ? 是第一象限角 . 5 5 5

2000 2000 4? ( 3) ? ? ?? ? ? ?668 ?? 3 3 3 4? 3? 2000 又 ?? ? ? ?? ?是 第 三 象 限 角 . 3 2 3

例4

试判断下列各角所在的 象限.
?0 ? 1 ?

(4) 1

?
2

(?? ? 3.1 4 ?

?
2

? 1.57)

? 1是第一象限的角 . 3 ?? ? 4 ? ? ( 5) 4 2 ? 4是第三象限的角 . (6) ? 8 分析 : 由于? ? 3.14, 得 ? 2? ? ?6.28 , ? 4? ? ?12.56.而 ? 8介于两数之间. ? ?8 ? ?4? ? (4? ? 8) 3 又 ? ? ? 4? ? 8 ? ? 2 ? ? 8是第三象限的角 .

解题思路
判断一个用弧度制表示 的角所在象限 , ,然 2?? ? ? (? ? ? )的形式 一般是将其化成 后再根据 ?所在象限予以判断 .

(2? ? 1)? ? ? (? ? ? ) 注意: 不能写成 的形式 . 10 ? 例 3 ?不 能写 成 3? ? 3 的 形 式, 4? 而 应写 成 2? ? 3

小结:
1、量角的制度:角度制与弧度制 弧度制除了使角与实数有一一对应关系外, 为以后学习三角函数打下基础。 2、能熟练地进行角度与弧度之间的换算。 3、通过本节课的学习,你还有什么发现与收获?

新问题:
知道了角度制下的弧长与扇形面积公式,现 在我们学习了弧度制,那么在弧度制下又将 怎样计算弧长和扇形面积呢?


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