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圆锥曲线经典必做必讲高考题


高考数学试题分类汇编圆锥曲线
一. 选择题:
1.(福建卷 11)又曲线
x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P a 2 b2

为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 B A.(1,3) B. ?1,3? C.(3,+ ? ) D. ?3, ?? ?

2.(海南卷 11)已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距 离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( A. (
1 ,-1) 4 1 B. ( ,1) 4

A



C. (1,2)

D. (1,-2)

4.(湖南卷 8)若双曲线

3a x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上横坐标为 的点到右焦点 2 2 a b

的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( A.(1,2) B.(2,+ ? ) C.(1,5) D. (5,+ ? )

B

)

5.(江西卷 7)已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 ? MF2 ? 0 的点 M 总在椭 圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 C A. (0,1)
1 B. (0, ] 2

C. (0,

2 ) 2

D. [

2 ,1) 2

6.(辽宁卷 10)已知点 P 是抛物线 y 2 ? 2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A A.
17 2



B. 3

C. 5

D.

9 2

7. (全国二 9) 设 a ? 1, 则双曲线 A. ( 2, 2) B. ( 2,5)

x2 y2 ( B ) ? ? 1的离心率 e 的取值范围是 a 2 (a ? 1)2
5) C. (2,

D. (2,5)

5 ,焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 13 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8, 则曲线 C2 的标准方程 为A

8.(山东卷(10)设椭圆 C1 的离心率为

(A)

x2 y2 ? ?1 4 2 32

(B)

x2 y2 ? ?1 132 5 2
1

(C

x2 y2 ? ?1 32 4 2

(D)

x2 y2 ? ?1 132 122

9.(陕西卷 8)双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 , a 2 b2

过 F1 作倾斜角为 30 的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线 的离心率为( B A. 6 B. 3 ) C. 2 D.
3 3

10.(四川卷 12)已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线与 x 轴的交点为 K , 点 A 在 C 上且 AK ? 2 AF ,则 ?AFK 的面积为( B ) (A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 32

11.(天津卷(7)设椭圆 的焦点相同,离心率为 (A)
x2 y 2 ? ?1 12 16

x2 y 2 ? 2 ? 1( m ? 0 , n ? 0 )的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 2 m n

1 ,则此椭圆的方程为 B 2

(B)

x2 y 2 ? ?1 16 12

(C)

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (D) ? ?1 48 64 64 48

12.(浙江卷 7)若双曲线 则双曲线的离心率是 D (A)3

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3:2, a2 b2

(B)5

(C) 3

(D) 5

14.(重庆卷(8)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线为 y=kx(k> a 2 b2

0),离心率 e= 5k ,则双曲线方程为 C (A)
x2 y2 - =1 4a 2 a2

(B)

x2 y 2 ? ?1 a 2 5a 2 x2 y 2 (D) 2 ? 2 ? 1 5b b

x2 y 2 (C) 2 ? 2 ? 1 4b b

二. 填空题:
2

1.(海南卷 14)过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A,右焦点为 F。过点 F 平行双 9 16
32 15

曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为_______ 2.(湖南卷 12)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的右焦点为 F,右准线为 l ,离心 a 2 b2

率 e=

5 则直线 FM 的斜率等于 . 过顶点 A(0,b)作 AM ? l ,垂足为 M, 5

.

1 2

3.(江苏卷 12)在平面直角坐标系中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0)的焦距为 2, a 2 b2

? a2 ? 以 O 为圆心, a 为半径的圆,过点 ? ,0 ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 ? c ?

e=



2 2

4.(江西卷 15)过抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作倾角为 30 的直线,与抛物 线分别交于 A 、 B 两点( A 在 y 轴左侧) ,则

AF ? FB



1 3

5.(全国一 14)已知抛物线 y ? ax 2 ? 1 的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标 轴的三个交点为顶点的三角形面积为 .2
7 .若以 A,B 为焦点的椭 18

6.(全国一 15)在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ? 圆经过点 C ,则该椭圆的离心率 e ? .
3 8

7. (全国二 15) 已知 F 是抛物线 C:y 2 ? 4x 的焦点, 过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A,B 两点.设 FA ? FB ,则 FA 与 FB 的比值等于 8.(浙江卷 12)已知 F1、F2 为椭圆 .3? 2 2

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆 25 9

于 A、B 两点若 F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB =______________。8

三. 解答题:
1(本小题满分 12 分)
3

在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3) , (0,3) 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为

C ,直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点.
(Ⅰ )写出 C 的方程; (Ⅱ )若 OA ? OB ,求 k 的值; (Ⅲ )若点 A 在第一象限,证明:当 k>0 时,恒有| OA |>| OB |. 20.本小题主要考查平面向量,椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识, 考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),, (0 3) 为焦点,长半 轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b ? 故曲线 C 的方程为 x ?
2

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,

y2 ? 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 4

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足

? 2 y2 ? 1, ?x ? 4 ? ? y ? kx ? 1. ?
消去 y 并整理得 (k ? 4) x ? 2kx ? 3 ? 0 ,
2 2

故 x1 ? x2 ? ?

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 k ?4 k ?4
2

若 OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 而 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 , 于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ?

3 3k 2 2k 2 ? ? ?1 ? 0 , k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4
1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2
2 2

2 化简得 ?4k ? 1 ? 0 ,所以 k ? ?
2 2

(Ⅲ) OA ? OB ? x1 ? y1 ? ( x2 ? y2 )
2 2

2 2 ? ( x12 ? x2 ) ? 4(1 ? x12 ?1? x2 )

? ?3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )

4

?

6k ( x1 ? x2 ) . k2 ? 4 3 知 x2 ? 0 ,从而 x1 ? x2 ? 0 .又 k ? 0 , k ?4
2

因为 A 在第一象限,故 x1 ? 0 .由 x1 x2 ? ? 故 OA ? OB ? 0 ,
2 2

即在题设条件下,恒有 OA ? OB . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2(本小题满分 12 分) 双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂直于 l1

AB 、 OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同向. 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、
(Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 解: (Ⅰ)设 OA ? m ? d , AB ? m , OB ? m ? d 由勾股定理可得: (m ? d )2 ? m2 ? (m ? d )2 得: d ?

1 b AB 4 m , tan ?AOF ? , tan ?AOB ? tan 2?AOF ? ? 4 a OA 3

b a ? 4 ,解得 b ? 1 ,则离心率 e ? 5 . 由倍角公式? 2 a 2 3 2 ?b? 1? ? ? ?a? 2
(Ⅱ)过 F 直线方程为 y ? ?

a x2 y 2 ( x ? c ) ,与双曲线方程 2 ? 2 ? 1 联立 b a b

将 a ? 2b , c ? 5b 代入,化简有

15 2 8 5 x ? x ? 21 ? 0 4b2 b

2 ? ? a ?2 ? ?a? 4 ? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? ? ? ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? ? ?b? ? ? ?b? ? ?

?? 32 5b ?2 28b2 ? ? ,解得 b ? 3 ? 4 将数值代入,有 4 ? 5 ?? ? 15 ? 5 ? ?? ? ? ? ?

x2 y 2 ? ? 1。 故所求的双曲线方程为 36 9

5


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