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第一章 1.2 1.2.1 函数的概念


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1.2 1.2.1

函数及其表示 函数的概念

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1.理解函数的概念,了解函数 构成的三要素. 重点:1.函数的概念;

2.会求一些简单函数的定义
域、值域. 3.能正确使用区间表示数集.

2.定义域的求法.
难点:对函数符号y=f(x)的理解.

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01 课前 自主梳理

02 课堂 合作探究

03 课后 巩固提升

课时作业

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[自主梳理] 一、函数的概念 设 A,B 是非空的 数集 ,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任 意一个数 x,在集合 B 中都有 唯一确定 的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为 从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x),x∈A 量, x 的取值范围 A .其中,x 叫作自变

叫作函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫作函数值,

函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的 值域 .

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二、区间 1.有界区间 设 a,b 是两个实数,且 a<b. 定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} 名称 闭区间 开区间 半开半 闭区间 半开半 闭区间 符号 [a,b] (a,b) [a,b) 数轴表示

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{x|a<x≤b}

(a,b]

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2.无界区间
定义 符号 数轴表示

{x|x≥a} [a,+∞) {x|x>a} (a,+∞) {x|x≤b} (-∞,b] {x|x<b} (-∞,b)

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三、函数相等 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,其中值域是由 定义域 和

对应关系 决定的.如果两个函数的定义域相同,并且 对应关系 完全一致,
我们就称这两个函数相等.

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[双基自测] 1.设函数 f(x)=3x4-1,则 f(a)-f(-a)=( A.0 C.6a4-2 B.3a4-1 D.6a4 )

答案:A

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2.下列函数 f(x)与 g(x)表示同一个函数的是( 3x2 A.f(x)= x 与 g(x)=3x B.f(x)=x;g(x)= x2 C.f(x)=x2;g(x)=(x+1)2 D.f(x)=|x|;g(x)= x2 )

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答案:D
3.{x|x<2 或 x≥3}用区间表示为________.

答案:(-∞,2)∪[3,+∞)

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1 4. 函数 y= 的定义域为 A, 函数 y= x+1的值域是 B, 则 A∩B=________(用 x-1 区间表示).

答案:[0,1)∪(1,+∞)

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探究一 [典例 1]

函数的判断

已知集合 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2}.给出下列 4 个图形,其 )

中能表示以集合 M 为定义域,集合 N 为值域的函数关系的是(

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[解析]

A 中,当 0≤x≤2 时,N 中没有元素与 x 对应,不能构成函数;C 中,

一个 x 有两个 y 与之对应,所以不是函数;D 中,对应满足函数的定义,但不是 以 N 为值域的函数.故选 B.

[答案]

B

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根据图形判断对应是否为函数的方法步骤: (1)任取一条垂直于 x 轴的直线 l; (2)在定义域内平行移动直线 l; (3)若 l 与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或 两个以上的交点,则不是函数.

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1.下列各图象中,不可能是函数 y=f(x)的图象的有几个(

)

A.1 个 C.3 个

B.2 个 D.4 个

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解析:函数的定义中要求对定义域中的任一 x 有唯一的 y 值和它对应,题目中③ 显然不符合要求,④中 x=0 时 y 有两个值和它对应.所以题目中有两个图象不 可能是函数图象.

答案:B

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[典例 2]

下列对应是否是从 A 到 B 的函数?

①A=R,B={x|x>0},f:A→B,求绝对值; ②A=Z,B=N,f:A→B,求平方; ③A=Z,B=Z,f:A→B,求算术平方根; ④A=N,B=R,f:A→B,求平方根; ⑤A={x|-2≤x≤2,x∈R},B={x|-3≤x≤3,x∈R},f:A→B,求立方.

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[解析]

只有②是从 A 到 B 的函数,①,③,④,⑤都不是.

对于①,A 中的元素 0 在 B 中无元素和它对应,故不是函数. 对于③,A 中的负数没有算术平方根,故 B 中无元素和它们对应. 对于④,A 中的每一个元素(除 0 外)都有 2 个平方根,所以 B 中有 2 个元素和它 对应,故不是函数. 对于⑤,集合 A 中的一些元素,如 2,立方后不在集合 B 中,所以在 B 中无元素 和它对应.

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判断所给对应是否为函数的方法: (1)首先观察两个数集 A,B 是否非空; (2)其次验证对应关系下,集合 A 中 x 的任意性,集合 B 中 y 的唯一性,即不能没 有数 y 对应数 x,也不能有多于一个的数 y 对应 x.

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2.下列各题的对应关系是否给出了实数集 R 上的一个函数?为什么? 1 ①f:把 x 对应到 3x+1;②g:把 x 对应到|x|+1;③h:把 x 对应到x;④r:把 x 对应到 x.

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解析:①是实数集 R 上的一个函数.它的对应关系 f 是:把 x 乘 3 再加 1, 对于任一 x∈R,3x+1 都有唯一确定的值与之对应,如 x=-1,则 3x+1=-2 与之对应. 同理,②也是实数集 R 上的一个函数. 1 ③不是实数集 R 上的函数.因为当 x=0 时,x的值不存在. ④不是实数集 R 上的函数.因为当 x<0 时, x的值不存在.

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探究二 [典例 3] 求下列函数的定义域. (1)y= x-2 x+1 ;(2)y= ; x+2 x-2

求函数的定义域

1 (3)y= + -x+ x+4. x+3

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[解析] 要使函数解析式有意义,

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? ? x-2 ?x-2≥0,? ?x-2≤0,? (1) ≥0?? 或? ?x≥2 或 x<-2. ? ? x+2 x + 2>0 x + 2 < 0 ? ?

所以函数定义域为{x|x≥2 或 x<-2}(或(-∞,-2)∪[2,+∞)).
? ?x+1≥0,? (2)? ? ?x-2≠0

?x≥-1 且 x≠2,

所以函数定义域为{x|x≥-1 且 x≠2}. ?x+3≠0,? ? (3)?-x≥0, ?x+4≥0 ? ?x≠-3,? ? ??x≤0,? ?x≥-4 ?

?-4≤x≤0 且 x≠-3,

所以函数定义域为{x|-4≤x≤0 且 x≠-3}.

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定义域的求法: (1)如果 f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集 R; (2)如果 f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不为 0 的实数的集合; (3)如果 f(x)为偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数的集合; (4)若 f(x)含零次幂, 则底数不为 0, 如: f(x)=x0 的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}; (5)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分 式子都有意义的实数的集合; (6)如果函数有实际背景,那么除符合上述要求外,还要符合实际情况. 函数定义域要用集合或区间形式表示,这一点初学者易忽视.

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3.求下列函数的定义域: 3 (1)y=2+ ; x- 2 (2)y= 3-x· x-1; (3)y=(x-1) +
0

2 . x+ 1

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3 解析:(1)当且仅当 x-2≠0,即 x≠2 时,函数 y=2+ 有意义,所以这个函 x-2 数的定义域为{x|x≠2}.
? ?3-x≥0,? (2)函数有意义,当且仅当? ? ?x-1≥0.

解得 1≤x≤3,所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}. ? ?x-1≠0,? ? 2 (3)函数有意义,当且仅当?x+1≥0,? ? ? ?x+1≠0. 解得 x>-1 且 x≠1, 所以这个函数的定义域为{x|x>-1 且 x≠1}.

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探究三 [典例 4] 求函数值和值域

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1 已知 f(x)= (x∈R,且 x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R). 1+x

(1)求 f(2)、g(2)的值; (2)求 f[g(2)]的值; (3)求 f(x)、g(x)的值域. 1 [解析] (1)∵f(x)= , 1+x

1 1 ∴f(2)= = ; 1+2 3 又∵g(x)=x2+2, ∴g(2)=22+2=6.

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1 1 (2)f[g(2)]=f(6)= = . 1+6 7 1 (3)f(x)= 的定义域为{x|x≠-1}, x+1 ∴值域是(-∞,0)∪(0,+∞). g(x)=x2+2 的定义域为 R,最小值为 2, ∴值域是[2,+∞).

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(1)求函数值主要用代入法,代入时要注意式子的化简和符号的变化,求 f(g(x)), 可以看作是求以 g(x)为 f(x)的自变量的函数式. (2)求函数值域,应根据各个式子的不同结构特点,选择不同的方法: ①观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到;

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②配方法:此方法是求“二次函数类”值域的基本方法,即把函数通过配方转化 为能直接看出其值域的方法; cx+d cx+d bc ③分离常数法:此方法主要是针对 y= (d≠ a )这一结构,变形为 y= = ax+b ax+b c bc bc a?ax+b?+d- a c d- a b =a+ ,则函数在定义域{x|x∈R 且 x≠-a}内的值域是{y|y ax+b ax+b c ∈R 且 y≠a}. ④换元法:此方法主要是针对 y=ax+b± cx+d这一结构,设 cx+d=t(t≥0).

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4.求下列函数的值域: (1)y=x+1,x∈{1,2,3,4,5}; (2)y=x2-2x+3,x∈[0,3); 2x+1 (3)y= ; x- 3 (4)y=2x- x-1.

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解析:(1)(观察法)因为 x∈{1,2,3,4,5},分别代入求值,可得函 数的值域为{2,3,4,5,6}. (2)(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由 x∈[0,3),再结合函 数的图象(如图(1)),可得函数的值域为[2,6). 2x+1 2?x-3?+7 7 7 (3)( 分离常数法 )y = = =2+ ,显然 x- 3 x- 3 x- 3 x-3 ≠0,所以 y≠2.故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).

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(4)(换元法)设 t= x-1,则 t≥0 且 x=t2+1,所 1 2 15 以 y=2(t +1)-t=2(t- ) + ,由 t≥0,再结合 4 8
2

函数的图象(如图(2)),可得函数的值域为 15 [ ,+∞). 8

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不能正确理解抽象函数的定义域而致误 [典例] 已知函数 f(3x+1)的定义域为[1,7],求函数 f(x)的定义域.

[错解]

因为 f(3x+1)的定义域为[1,7],

即 1≤3x+1≤7,解得 0≤x≤2. 所以 f(x)的定义域为[0,2]. [正解] 令 3x+1=t,则 4≤t≤22,

即 f(t)中,t∈[4,22], 故 f(x)的定义域为[4,22].

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[易错警示]
错误原因 纠错心得 (1)已知 f(x)的定义域为 A,求 f[φ(x)]的定义域,其 对定义域是 实质是已知 φ(x)的取值范围为 A,求 x 的取值范 自变量 x 的 围. (2)已知 f[φ(x)]的定义域为 B, 求 f(x)的定义域, 取值范围理 其实质是已知 f[φ(x)]中 x 的取值范围为 B, 求 φ(x) 解错误. 的取值范围(值域),此范围就是 f(x)的定义域.若 不能正确理解 φ(x)与 x 的关系将导致错误.

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1.函数 y=x2-2x 的定义域为{0,1,2,3},则其值域为( A.{-1,0,3} C.{y|-1≤y≤3} B.{0,1,2,3} D.{y|0≤y≤3}

)

解析:x=0 时,y=0;x=1 时,y=-1;x=2 时,y=0;x=3 时,y=3.

答案:A

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x2-1 f?2? 2.设 f(x)= 2 ,则 等于( 1 x +1 f? ? 2 A.1 3 C. 5 B.-1 3 D.- 5 )

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22-1 4-1 3 解析:f(2)= 2 = = . 2 +1 4+1 5 f?2? ∴ =-1. 1 f? ? 2 答案:B

12 1 ? ? -1 -1 2 4 1 3 f( )= = =- . 2 12 1 5 ? ? +1 +1 2 4

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3.下列各组函数表示同一函数的是( x2 - 9 A.y= 与 y=x+3 x- 3 B.y= x2-1 与 y=x-1 C.y=x0(x≠0)与 y=1(x≠0) D.y=x+1,x∈Z 与 y=x-1,x∈Z

)

解析:A 中两函数定义域不同;B 中两函数值域不同;D 中两函数对应法则不同.

答案:C

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1 4.已知函数 f(x)=x+x, (1)求 f(x)的定义域; (2)求 f(-1),f(2)的值; (3)当 a≠-1 时,求 f(a+1)的值.

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解析:(1)要使函数有意义,必须使 x≠0, ∴f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). 1 (2)f(-1)=-1+ =-2, -1 1 5 f(2)=2+ = . 2 2 (3)当 a≠-1 时,a+1≠0, 1 ∴f(a+1)=a+1+ . a+ 1

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