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高二数学理科下学期第一次月考测试题及答案


高二数学理科下学期第一次月考测试题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

1. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? c ,且 f ?(1) ? 2 则 a 的值为 A.1 B. 2 C.-1



) D. 0

2.下列求导运算正确的是 ( ) 1 1 1 A.( x ? )

? ? 1 ? 2 B.(log 2 x)? ? x x ln 2 x

C.(3x )' ? 3x log3 e

D.( x2 cos x)' ? ?2x sin x


3. 函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 在 x ? 1 处的导数等于( A. 1 B.2 C.2 D.4

4. 已知函数 f ( x) 在 x ? 1 处的导数为 3,则 f ( x ) 的解析式可能为 ( A.(x-1)3+3(x-1) 5.定积分 ?0 A.1
2

)

B.2(x-1)2 ( )

C.2(x-1)

D.x-1

2 xdx

的值是 B.2

C.3

D.4 ( C. [1 ? )

6.函数 f ( x) ? sin x ? x, x ? [ ? A. [1 ?

? ?

?
2

, ] 值域是 2 2

, 0]

B. [?1, 0]

? ?
2 2 ,

? 1]

D. [0,

?
2

? 1]

? 7.函数 y ? cos 2 x在点( ,0) 处的切线方程是 4
4x ? 2 y ? ? ? 0 A. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 B.

(

)
4x ? 2 y ? ? ? 0 D.

4x ? 2 y ? ? ? 0 C.

3? ) 与坐标轴围成的面积是( ) 2 5 A.4 B. C.3 D.2 2 9.已知自由下落物体的速度为 V=gt,则物体从 t=0 到 t0 所走过的路程 ( ) 1 1 1 A. gt0 2 B. gt0 2 C. gt0 2 D. gt0 2 2 3 4 3x 10.对于函数 y ? ,下列判断正确的是( ) 1 ? x2 3 3 A.有极小值 ?3 ,极大值 3 B. 有极小值 ? ,极大值 2 2

8.曲线 y ? cos x(0 ? x ?

1

C.无极小值,有极大值

3 2

D. 无极小值,无极大值

3 11.函数 y ? f ( x) 在定义域 ( ? , 3) 内可导,其图 2

像如图所示.记 y ? f ( x) 的导函数为 y ? f ?( x) , 则不等式 f ?( x) ? 0 的解集为 1 A.[- ,1]∪[2,3) 3 3 1 C.[- , ]∪[1,2) 2 2 ( )

1 4 8 B.[-1, ]∪[ , ] 2 3 3 3 1 1 4 4 D.(- ,- ]∪[ , ]∪[ ,3) 2 3 2 3 3

12.已知定义在实数集 R 上的函数 f ( x) 满足 f (1) ? 2, 且 f ( x) 的导数 f ' ( x) 在 R 上恒有 f ' ( x) ? 1( x ? R) ,则不等式 f ( x) ? x ? 1 的解集为( A. (1,??) B. (??,?1) C. (?1,1) )

D. (??,?1) ? (1,??)

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.求函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 _______________________. 14.已知 t ? 0 ,若 ?0 15.
t

(2x ? 1)dx ? 12

,则 t ? ___________________________ ,

?

2

0

(3x2 ? k )dx ? 10, 则k ?

?

8

3

?1

xdx ? __________.

16.已知函数 f ( x) ? x 3 ? mx2 ? (m ? 6) x ? 1 既存在极大值也存在极小值,则实数 m 的取值范围是___________________________ .

三、解答题(17 题 10 分,其他各题各 12 分,共 70 分) 1 4 17.(本小题满分 10 分)若函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? ln x . 3 3 (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)求函数 f(x)的极值.

2

18.(12 分)
3 2 设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 处取得极值.

(Ⅰ)求 a、b 的值;
3] 上的最大值. (Ⅱ)当 c ? ?2 时,求函数 f ( x) 在区间 [0,

19.(12 分) 如图,一矩形铁皮的长为 8 m,宽为 3 m,在四个角各截去一个大小相同的小正 方形,然后折起,可以制成一个无盖的长方体容器,所得容器的容积 V (单位: m 3 )是关于截去的小正方形的边长 x (单位: m )的函数. (1)写出 V 关于 x (单位: m )的函数解析式; (2)截去的小正方形的边长为多少时,容器的容积最大? 最大容积是多少?

20.(12 分) 求由曲线 y ? x2 ? 2 与 y ? 3x , x ? 0 , x ? 2 所围成的平面图形的面积 (画出图形)。

3

21. (12 分)一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为 10km/h 时,燃料费是每小时 6 元,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元,问 此轮船以多大的速度航行时,能使每千米的费用总和最少?

22.(12 分)设 a ? R, 已知函数 f ( x) ? (1)求 f ( x) 的单调区间;

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x . 2

( 2 ) 设 g ( x) ? x 2 ? 2x , 若 对 任 意 的 x1 ? (0,2], 均 存 在 x2 ? (0,2], 使 得

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的取值范围.

4

高二数学理科下学期第一次月考测试题答案
一、选择题 1 A 2 B 3 D 4 A 5 D 6 C 7 D 8 C 9 A 10 B 11 A 12 A

二、填空题 13. ?2,??? 14. 4 15.

1 ,

45 4

16.m<-3 或 m>6

三、解答题
17.(10 分) 解:由已知, f ( x) 的定义域为 (0,??) ,且 f ' ( x) ? ?

2 4 ? 2( x ? 1)( x ? 2) x?2? ? 3 3x 3x

f ' ( x) ? 0 解得, x ? 1或x ? 2
x f'(x) f(x) (0,1) - 1 0 极小值 (1,2) + 2 0 极大值 (2,+∞) -

(1)? f(x)的单调增区间为(1,2) ,单调减区间为(0,1)和(2,+∞) (2)由上表知, f ( x) 极小 ? f (1) ?
2

5 8 4 , f ( x) 极大 ? f (2) ? ? ln 2 3 3 3

18.解:①解: f ?( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b , 因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .

即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, 解得 a ? ?3 , b ? 4 . ?24 ? 12a ? 3b ? 0.
3 2

②由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2x ? 9x ? 12x ? 8c ,

1) 时, f ?( x) ? 0 ; f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) .当 x ? (0, , 2) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (2, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 当 x ? (1
所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c . 则当 x ??0, 3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c ? ?7 . 19.(1)设截去的小正方形的边长为 m ,则此容器的长、宽、高分别为: 8 ? 2 x,3 ? 2 x, x
5

(单位: m )∴容积为: V ? x(8 ? 2 x)(3 ? 2 x)( m) (0 ? x ?
3

3 ) 2

即: V ? 4 x ? 22 x ? 24 x(0 ? x ?
3 2

3 ) 2
令 V ? ? 0 得: x ? 3 (舍)或 x ?

(2) ?V ? ? 12 x ? 44 x ? 24
2

2 3

又当 x ? (0, ) 时, V ? ? 0 , V ↗;当

2 3

2 3 x?( , ) 3 2 时, V ? ? 0 , V ↘

∴当 x ?

200 2 时,函数取极大值,也是最大值,此时 V最大 ? 27 3
2 200 m 时,容积最大,最大容积为 ( m )3 3 27
2 1

故:截去的小正方形的边长为 20.解: S ?

? (x
0

1

2

? 2 ? 3x)dx ? ? (3x ? x 2 ? 2)dx ? 1
则每千米的总费用 y ?

21.提示:设速度为 x km/h,

1 3 3 3 2 96 ( x ? 96) ? x ? x 500 500 x

y' ?
x

3 96 x ? 2 ? 0 得 x ? 20 250 x

(0,20)
_

20
0 极小

(20,??)
+

f’(x) f(x)

由上表知,当 x=20 时, y 有最小值. 即当轮船以 20km/h 的速度行驶时,每千米的费用总和最少. 22.解: (1)函数 f(x) 的定义域为(0,+∞)

2 ax2 ? (2a ? 1) x ? 2 (ax ? 1)(x ? 2) f( ' x) ? ax ? (2a ? 1) ? ? ? x x x
1 当 a=0 时, f( ' x) ?? ○

x?2 x 1 a

函数 f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减;

' x) ? 0 得, x ? 2或x ? 当 a≠0 时, f(
2 当 a<0 时,有: ○

x f ’(x)

(0,2)
+

2
0

(2,??)

6

f(x)
3 a ? ○

极大

函数 f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减;

1 ' x) ? 0 得, x ? 2 ,则: f( ' x) ? 0 在(0,+∞)上恒成立. 时, f( 2 1 时,则: 2 1 (0, ) a
+

所以,f(x)在(0,+∞)上单调递增.
4 当a ? ○

x
f’(x) f(x)

1 a
0 极大

1 ( , 2) a


2
0 极小

(2,??)
+

所以,函数 f(x) 在 (0, ) 和 (2,??) 上单调递增,在 ( ,2) 上单调递减;
5 当0 ? a ? ○

1 a

1 a

1 时,则: 2

x
f’(x) f(x)

(0,2)
+

2
0 极大

1 (2, ) a


1 a
0 极小

1 ( ,?? ) a
+

所以,函数 f(x) 在 (0,2) 和 ( ,?? ) 上单调递增,在 (2, ) 上单调递减; 综上所述, 当 a ? 0 时,函数 f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减; 当0 ? a ? 当a ?

1 a

1 a

1 1 1 时,函数 f(x) 在 (0,2) 和 ( ,?? ) 上单调递增,在 (2, ) 上单调递减; 2 a a

1 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增. 2 1 1 1 当 a ? 时,函数 f(x) 在 (0, ) 和 (2,??) 上单调递增,在 ( ,2) 上单调递减. 2 a a
(2)当 x ? (0,2] 时, g ( x)max ? g (2) ? 0 ,依题意得 x ? (0,2] 时, f ( x)max ? g ( x)max ? 0

1 时, f ( x) 在 (0,2] 上单调递增, 所以 f ( x)max ? f (2) ? ?2a ? 2 ? 2 ln 2 , 2 1 所以 ? 2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1 ,故 ln 2 ? 1 ? a ? 2 1 1 1 1 ? 2 ln a ? ?2(1 ? ln a) ? 当 a ? 时, f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? , 2 a 2a 2a 1 1 1 因为 a ? 时, ln a ? ln ? ln ? ?1 ,所以 1 ? ln a ? 0 , 2 2 e 1 ? 0 ,满足条件,综上所述, a 的取值范围是 a ? ln 2 ? 1 . 所以 ? 2(1 ? ln a ) ? 2a
由 (1) 知, 当a ?

7


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