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江苏省扬州中学2012届高三11月练习(数学)


江苏省扬州中学 2012 届高三 11 月练习
数学练习
一.填空题 1.复数 ?1 ? 2i ? 的共轭复数是
2

2011 年 11 月 26 日

.

2. 集合 A ? {sin x x ? 中所有元素之和为

?
6

集合 B ? {cos x x ? ? 6 k? , k ? Z } , .

?
3

则集合 A ? B ? 3k? , k ? Z } ,

3.圆锥的侧面积为 2? ,底面积为 ? ,则该圆锥的体积为



4. 已知直线 m ? 平面 ? ,直线 n 在平面 ? 内,给出下列四个命题:① ? // ? ? m ? n ; ② ? ? ? ? m // n ; ③ m ? n ? ? // ? ; ④ m // n ? ? ? ? , 其 中 真 命 题 的 序 号 是 .
0

5.△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , a ? 5, b ? 7, B ? 60 ,则 c ?



?x ?1 ? 0 ? 6.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
7.已知点 P 在曲线 y ?
x



4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是 e ?1

___________. 8. 《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列, 上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 升. x2 y 2 ? 1 上一点 M 到它的右焦点的距离是 3,则点 M 的横坐标是 9.双曲线 ? . 4 12 10. 设 f ( x) ? ?

? x2 ? 4 x ? 6, x ? 0 ?2 x ? 4 x?0

若存在互异的三个实数 x1 , x2 , x3 , 使 . .

f (x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,则 x1 ? x2 ? x3 的取值范围是
??? ??? ? ?

11. 在△ABC 中,已知 BC=2, AB ? AC ? 1,则△ABC 面积的最大值是

12.已知{ an }是公差不为0的等差数列,{ bn } 是等比数列,其中 a1 ? 2, b1 ? 1, a2 ? b2 , 2a4 ? b3 , 且存在常数α、β ,使得 an = log? bn ? ? 对每一个正整数 n 都成立,则 ? =
?



13、已知函数 f(x)=|x2-2|,若 f(a)≥f(b) ,且 0≤a≤b,则满足条件的点(a,b)所围 成区域的面积为 .

14.设函数 f (x ) 的定义域为 D ,若存在非零常数 l 使得对于任意 x ? M ( M ? D) 有 x ? l ? D 且 f ( x ? l ) ? f ( x) ,则称 f (x ) 为 M 上的 l 高调函数.对于定义域为 R 的奇函数 f (x ) ,当

x ? 0, f ( x) ? x ? a 2 ? a 2 , 若 f (x) 为 R 上 的 4 高 调 函 数 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为
________. 二.解答题

? ?x ?,1?, ? ? 0 , f (x ) 的 15.已知函数 f ( x) ? a ? b ,其中 a ? ( 2 sin ?x,?1), b ? ? 2 sin ? ? ? ? 3 ? ? ?
图象与直线 y ? ?2 的交点的横坐标成公差为 ? 的等差数列 ⑴求 f (x ) 的解析式;⑵若在 ?ABC中, a ?

?

? 2?

? ?

3 , b ? c ? 3 , f ( A) ? 2 ,求 ?ABC的面积.

16.如图,四棱锥 S ? ABCD 中,M 是 SB 的中点, AB / /CD , BC ? CD ,且 AB ?BC ? 2 , CD ? SD ? 1 ,又 SD ? 面 SAB . (1) 证明: CD ? SD ; S (2) 证明: CM / / 面 SAD ; (3) 求四棱锥 S ? ABCD 的体积. M D C A

B

17.如图,设P是圆 x2 ? y2 ? 2 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影, M 为线段 PD 上一点, 且 | PD |?

2 | MD | .点 A(0, 2) 、 F (?1,0) . 1

(1)设在 x 轴上存在定点 F2 ,使 | MF | ? | MF2 | 为定值,试求 F2 的坐标,并指出定值是多 1 少? (2)求 | MA | ? | MF | 的最大值,并求此时点 M 的坐标. 1
y A P M D x

F 1

O

18.如图, 开发商欲对边长为 1km 的正方形 ABCD 地段进行市场开发, 拟在该地段的一角建设 一个景观,需要建一条道路 EF (点 E、F 分别在 BC、CD 上) ,根据规划要求 ?ECF 的周 长为 2km . A D (1)设 ?BAE ? ? , ?DAF ? ? ,试求 ? ? ? 的大小; (2)欲使 ?EAF 的面积最小,试确定点 E、F 的位置.

F

B

E

C

19. 对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) .
定义: (1)设 f ??( x ) 是函数 y ? f ( x ) 的导数 y ? f ?( x ) 的导数,若方程 f ??( x ) ? 0 有实数 解 x0 ,则称点 ? x0 , f ( x0 ) ? 为函数 y ? f ( x ) 的“拐点” ; 定义: (2)设 x0 为常数,若定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 对于定义域内的一切实数 x , 都有 f ( x0 ? x) ? f ( x0 ? x) ? 2 f (x0 ) 成立,则函数 y ? f ( x ) 的图象关于点 ? x0 , f ( x0 ) ? 对称. 己知 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2x ? 2 ,请回答下列问题: (1)求函数 f ( x ) 的“拐点” A 的坐标 (2)检验函数 f ( x ) 的图象是否关于“拐点” A 对称,对于任意的三次函数写出一个有

关“拐点”的结论(不必证明) (3)写出一个三次函数 G ( x ) ,使得它的“拐点”是 (?1,3) (不要过程)

20.已知集合 A ? {x | x2 ? a ? (a ?1) x, a ? R}. ⑴是否存在实数 a ,使得集合 A 中所有整数的元素和为 28?若存在,求出 a ,若不存在,请说 明理由; ⑵以 a 为首项,a 为公比的等比数列前 n 项和记为 S n , 对任意 n ? N? , 均有 Sn ? A , a 的 求 取值范围.

高三数学练习答题纸
线?????内?????不?????要?????答?????题?????? 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 14. 成绩 5. 10.

11. 12. 13. 二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15.解:

姓名_____________

16.解:

班级___________

17.解:

18.解:

19.解:

(20 题做在反面)

高三数学练习
?????不?????要?????答?????题??????

数 学

成绩

(选修部分) ?-1 a? 1.已知 a,b∈ R,若矩阵 M=? ? 所对应的变换把直线 l:2x-y=3 变换为自身, ? b 3? 求 a,b 的值.

____

姓名_____________

2.如图所示在直角梯形 OABC 中 ?COA ? ?OAB ?

?
2

, OA ? OS ? AB ? 1, OC ? 2

点 M 是棱 SB 的中点,N 是 OC 上的点,且 ON:NC=1:3。 (1) 求异面直线 MM 与 BC 所成的角; (2) 求 MN 与面 SAB 所成的角.

S

M

O
N

A

C

B

3.一投掷飞碟的游戏中,飞碟投入红袋记 2 分,投入蓝袋记 1 分,未投入袋记 0 分.经过多 次试验,某人投掷 100 个飞碟有 50 个入红袋,25 个入蓝袋,其余不能入袋. (1)求该人在 4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率; (2)求该人两次投掷后得分 ? 的数学期望 E? .

4 . 设 r, s, t 为 整 数 , 集 合 {a | a ? 2r ? 2s ? 2t ,0 ? t ? s ? r} 中 的 数 由 小 到 大 组 成 数 列 (1)写出数列 {an } 的前三项; (2)求 a36 . {an } .

高三数学练习参考答案
1. ?3 ? 4i 2.0 3.

2011 年 11 月 26 日

3 ? 3

4.①,④

5.8

6. ?3

7. ?

? 3? ? ,? ? ? 4 ?

8.

67 66

9.

5 2

10. (3, 4)

11. 2

12.4

13.

? 2

14. ?1 ? a ? 1

15.⑴ f ( x) ? 2 sin?x2 sin(2? ? ?x) ? 1 ? 2 sin( ?x ? ? ) , 2 3 6
?T ?

? 2? 2 ? ? ,?? ? 1? f ( x) ? 2 sin( x ? ) 6 2?

⑵ f ( A) ? 2 sin( A ? ? ) ? 2,? sin( A ? ? ) ? 1? A ? ? 2 2 6 6 3

?3 ? b2 ? c 2 ? 2bcc o s ? b2 ? c 2 ? bc ? (b ? c) 2 ? 3bc ? 9 ? 3bc?bc ? 2 ? S ? 1 bc s i nA ? 3 A
2 2

16. (1)证明:由 SD ? 面 SAB ., AB ? 面SAB ,所以 SD ? AB 又 AB / /CD ,所以 CD ? SD (2)取 SA 中点 N ,连结 ND, NM ,则 NM / / AB ,且 MN ?

1 AB ? DC , AB / /CD 2

所以 NMCD 是平行四边形, ND / / MC ,且 ND ? 面SAD, MC ? 面SAD 所以 CM / / 面 SAD ; (3) VS ? ABCD : VS ? ABD ? S?ABCD : S?ABD ? 3: 2 过 D 作 DH ? AB ,交于 H ,由题得 BD ? AD ? 1 ? 2 ? 5
2 2

在 Rt ?DSA, Rt ?DSB 中, SA ? SB ? 所以 VS ? ABD ? VD? SAB ?

5 ?12 ? 2 f

2

1 3 ? DS ? S?ABS ? 3 3

所以 VS ? ABCD ?

3 3 3 ? ? 2 3 2

17. (1)设点 M 的坐标是 ( x, y) ,P 的坐标是 ( x p , y p ) 因为点D是P在 x 轴上投影, M 为 PD 上一点,由条件得: x p ? x ,且 y p ?
2 2 ∵ P 在圆 x2 ? y2 ? 2 上,∴ x ? ( 2 y ) ? 2 ,整理得

2 y ---2f

x2 ? y 2 ? 1, c ? 2 ?1 ? 1 2

即 M 轨迹是以 F (?1,0), F2 (1,0) 为焦点的椭圆 1

由椭圆的定义可知, | MF | ? | MF2 |? 2a ? 6 1 (2)由(1)知, | MA | ? | MF1 |? 2 2 ? | MA | ? | MF2 |? 2 2 ? | AF2 |? 2 2 ? 3 当 A, F2 , M 三点共线,且 M 在 AF2 延长线上时,取等号.

x2 y ? 1 ,联立 ? y 2 ? 1 , 直线 AF2 : x ? 2 2

y A P M

? 4? 6 ? x1 ? ? 5 其中 1 ? x ? 2 ,解得 ? ?y ? 2 ? 2 3 ? 1 5 ?
4? 6 2 ?2 3 , ). 5 5

F 1

O

D

F2

x

即所求的 M 的坐标是 (

18. (1)设 ?BAE ? ? , ?DAF ? ? , CE ? x, CF ? y (0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1) , 则 tan ? ? 1 ? x, tan ? ? 1 ? y ,由已知得: x ? y ? x2 ? y2 ? 2 , 即 2( x ? y ) ? xy ? 2

? tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1? x ?1? y 2 ? ( x ? y) 2 ? ( x ? y) ? ? ? ?1 1 ? tan ? tan ? 1 ? (1 ? x)(1 ? y) x ? y ? xy x ? y ? [2 ? 2( x ? y)]

?0 ? ? ? ? ?

?
2

,?? ? ? ?

?
4

,即 ?EAF ?

?
4

.

(2)由(1)知, S?AEF ?

1 2 2 1 1 2 1 AE ? AF sin ?EAF ? AE ? AF ? ? ? ? ? 2 4 4 cos ? cos ? 4 cos ? cos ?

1 1 1 1 = 2? ? ? ? 2 ? 4 cos ? cos( ? ? ) 2cos ? (sin ? ? cos ? ) sin 2? ? 2cos ? sin 2? ? cos 2? ?1 4
=

1 2 sin(2? ?

?
4



) ?1

?0 ? ? ?

?
4

,? 2? ?

?
4

?

?
2

,即 ? ?

?
8

时 ?AEF 的面积最小,最小面积为 2 ?1 .

? tan

8 ,? tan ? ? 2 ? 1 ,故此时 BE ? DF ? 2 ? 1 4 1 ? tan 2 ? 8 8 所以,当 BE ? DF ? 2 ? 1时, ?AEF 的面积最小. ?
19. (1)依题意,得: f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 2 ,

?

2 tan

?

? f ??( x) ? 6 x ? 6 。????????2 分

由 f ??( x ) ? 0 ,即 6x ? 6 ? 0 。∴ x ? 1 ,又 f (1) ? 2 , ∴ f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2x ? 2 的“拐点”坐标是 (1, 2) 。 (2)由(1)知“拐点”坐标是 (1, 2) 。而

f (1 ? x) ? f (1 ? x) = (1? x)3 ? 3(1? x)2 ? 2(1? x) ? 2 ?(1? x)3 ? 3(1? x)2 ? 2(1? x) ? 2
2 2 = 2 ? 6 x ? 6 ? 6 x ? 4 ? 4 ? 4 = 2 f (1) ,

3 2 由定义(2)知: f ? x ? ? x ? 3x ? 2 x ? 2 关于点 (1, 2) 对称。

3 2 一般地,三次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 的“拐点”是 ? ?

b ? ? b , f (? ) ? , 3a ? ? 3a

它就是 f ( x ) 的对称中心。 (或者:任何一个三次函数都有拐点;任何一个三次函数都有对称 中心;任何一个三次函数平移后可以是奇函数???)都可以给分 ( 3 ) G( x) ? a( x ?1)3 ? b( x ?1) ? 3 (a ? 0) 或 写 出 一 个 具 体 的 函 数 , 如

G( x) ? x3 ? 3x2 ? 3x ? 4 或 G(x) ? x3 ? 3x2 ? x 。
20. ⑴当 a ? 1 时, A ? {x | a ? x ? 1} ,不符合;当 a ? 1 时, A ? {x |1 ? x ? a} ,设

a ? ? n, n ? 1? , n ? N ,
则 1+2+…+n=

n(n ? 1) =28,所以 n=7,即 a ? ? 7,8 ? 2

2 ⑵?当 a ? 1 时, A ? {x |1 ? x ? a} .而 S 2 ? a ? a ? A ,故 a ? 1 时,不存在满足条件的

a;
?当 0 ? a ? 1时, A ? {a ? x ? 1} ,而 S n ? 增大而增大,

a (1 ? a n ) 是关于 n 的增函数,所以 S n 随 n 的 1? a

? 0 ? a ? 1, a a ? 当 Sn ? 且无限接近 时,对任意 n ? N? , Sn ? A ,只须 a 满足 ? a 得 1? a 1? a ?1 ? a ≤ 1. ?
0?a? 1 . 2

2 3 2 ?当 a ? ?1 时 A ? {x | a ? x ? 1} .而 S3 ? a ? a ? a ? a (1 ? a ) ? 0 , S3 ? A 故不存在实

数a.

④ a ? ?1 时, A ? {x | ?1 ? x ? 1} . S2n?1 ? ?1, S2n ? 0 ,适合. 当 ⑤ ?1 ? a ? 0 时, A ? {x | a ? x ? 1} . 当

S2 n ?1 ? S2 n ?1 ? a2 n ? a2 n ?1 ? S2 n ?1 ? a 2 n ? a 2 n ?1 ? S2 n ?1 ? a 2 n (1 ? a ) ? S 2 n ?1 , S2 n ? 2 ? S2 n ? a2 n ?1 ? a2 n ? 2 ? S2 n ? a 2 n ?1 ? a 2 n ? 2 ? S2 n ? a 2 n ?1 (1 ? a ) ? S 2 n ,

?S2n?1 ? S2n?1, S2n?2 ? S2n ,且 S 2 ? S1 ? a 2 ? S1.
故 S1 ? S3 ? S5 ? ? ? S ? S2n?1 ? ? ? S2n ? S2n?2 ? ? ? S4 ? S2 . 故只需 ?

? a ? a 2 ? 1, ? S2 ? A, 即? 解得 ?1 ? a ? 0 . ? S1 ? A, ??1 ? a ? 0.

综上所述, a 的取值范围是 {a | 0 ? a ?

1 或 ? 1 ? a ? 0} . 2

?a=1, 21.? ?b=-4.

22. (1)

? ? (2) 3 6
50 1 25 1 ? , P( B) ? P(C ) ? ? 100 2 100 4

23. “飞碟投入红袋”“飞碟投入蓝袋”“飞碟不入袋”分别记为事件 A,B,C. (1) , , 则 P( A) ?

因每次投掷飞碟为相互独立事件,故 4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率为

1 1 3 1 P4 (3) ? C4 ( ) 3 (1 ? ) ? 2 2 4
(2)两次投掷得分 ? 的得分可取值为 0,1,2,3,4 则: P(? ? 0) ? P(C ) P(C ) ?
1 1 1 1 P(? ? 1) ? C2 P( B) P(C ) ? 2 ? ? ? 4 4 8
1 P(? ? 3) ? C2 P( A) P(C) ?
1 P(? ? 2) ? C2 P( A) P(C ) ? P( B) P( B) ?

1 16

5 16

1 1 ; P(? ? 4) ? P( A) P( A) ? 4 4

? E? ? 0 ?

1 1 5 1 1 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 16 8 16 4 4 2

2 24.∵ r, s, t 为整数且 0 ? t ? s ? r ,∴ r 最小取 2,此时符合条件的数有 C2 ? 1 ;…4 分

r ? 3 , s, t 可在 0,1,2 中取,符合条件有的数有 C32 ? 3 ;……5 分

2 同理, r ? 4 时,符合条件有的数有 C4 ? 6 ;……6 分

r ? 5 时,符合条件有的数有 C 52 ? 10 ;……7 分 r ? 6 时,符合条件有的数有 C 62 ? 15 ;……8 分 r ? 7 时,符合条件有的数有 C 72 ? 21 ;……9 分
0 1 7 因此, a36 是 r ? 7 中的最小值,即 a3 6 ? 2 ? 2 ? 2 ? 131 ……10 分

()


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