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专题六解析几何第二讲圆锥曲线的方程与性质


第二讲

圆锥曲线的方程与性质

圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 定义 标准方程 图形 范围 顶点 对称性 几 何 性 质 离心率 准线 渐近线 b y=± x a 焦点 轴 长轴长 2a,短轴长 2b c b2 e= = 1- 2 a a (0<e<1) |x|≤a,|y|≤b (± a,0)(0,± b) |x|≥a (± a

,0) x≥0 (0,0) 关于 x 轴对称 p ( ,0) 2 椭圆 |PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|) x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 双曲线 ||PF1|-|PF2|| =2a(2a<|F1F2|) x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 抛物线 |PF|=|PM|, 点 F 不在 直线 l 上, PM⊥l 于 M y2=2px(p>0)

关于 x 轴,y 轴和原点对称 (± c,0) 实轴长 2a,虚轴长 2b c e= = a b2 1+ 2(e>1) a

e=1 p x=- 2

1. (2013· 课标全国Ⅱ)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为 A.y2=4x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x 答案 C p ? p 解析 由题意知:F? ?2,0?,抛物线的准线方程为 x=-2,则由抛物线的定义知,xM=5 5 yM? p ? 5?2 ? yM?2 25 - ,设以 MF 为直径的圆的圆心为? ?2, 2 ?,所以圆的方程为?x-2? +?y- 2 ? = 4 , 2 p? 又因为圆过点(0,2),所以 yM=4,又因为点 M 在 C 上,所以 16=2p? ?5-2?,解得 p=2 或 p=8,所以抛物线 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x,故选 C. B.y2=2x 或 y2=8x D.y2=2x 或 y2=16x ( )

x2 y2 5 2. (2013· 课标全国Ⅰ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方 a b 2 程为 1 A.y=± x 4 1 C.y=± x 2 答案 C c 5 + 解析 由 e= = 知,a=2k,c= 5k(k∈R ), a 2 由 b2=c2-a2=k2 知 b=k. b 1 所以 = . a 2 1 即渐近线方程为 y=± x.故选 C. 2 1 x2 3. (2013· 山东)抛物线 C1:y= x2(p>0)的焦点与双曲线 C2: -y2=1 的右焦点的连线交 2p 3 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p 等于( 3 3 2 3 4 3 A. B. C. D. 16 8 3 3 答案 D p? 解析 抛物线 C1 的标准方程为:x2=2py,其焦点 F 为? ?0,2?,双曲线 C2 的右焦点 F′ 3 为(2,0),渐近线方程为:y=± x. 3 1 3 3 3 p 由 y′= x= 得 x= p,故 M? p, ?. p 3 3 6? ?3 4 3 由 F、F′、M 三点共线得 p= . 3 2 2 x y 4. (2013· 福建)椭圆 Г: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y a b = 3(x+c)与椭圆 Г 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 ________. 答案 3-1 ) 1 B.y=± x 3 D.y=± x ( )

解析 由直线方程为 y= 3(x+c), 知∠MF1F2=60° ,又∠MF1F2=2∠MF2F1, 所以∠MF2F1=30° ,MF1⊥MF2, 所以|MF1|=c,|MF2|= 3c, c 所以|MF1|+|MF2|=c+ 3c=2a.即 e= = 3-1. a 5. (2013· 浙江)设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过点 P(-1,0)的直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点,点 Q 为线段 AB 的中点,若|FQ|=2,则直线 l 的斜率等于________. 答案 ± 1

? ?y=k?x+1? 解析 设直线 l 的方程为 y=k(x+1), A(x1, y1)、 B(x2, y2)、 Q(x0, y0). 解方程组? 2 . ?y =4x ?

化简得:k2x2+(2k2-4)x+k2=0, 4-2k2 4 ∴x1+x2= 2 ,y1+y2=k(x1+x2+2)= . k k 2-k2 2 ∴x0= 2 ,y0= . k k 2?2 2-2k2 由 ?x0-1?2+?y0-0?2=2 得:? 2 ?2+? ? k ? ?k? =4. ∴k=± 1.

题型一 圆锥曲线的定义与标准方程 例1 (1)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 2 为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么椭圆 C 的方程为 2 __________. x2 y2 (2)已知 P 为椭圆 +y2=1 和双曲线 x2- =1 的一个交点,F1,F2 为椭圆的两个焦点, 4 2 那么∠F1PF2 的余弦值为________. 审题破题 (1)根据椭圆定义, △ABF2 的周长=4a, 又 e= 2 可求方程; (2)在焦点△F1PF2 2

中使用余弦定理. x2 y2 答案 (1) + =1 16 8

1 (2)- 3 x2 y2 2 c 2 解析 (1)设椭圆方程为 2+ 2=1,由 e= 知 = , a b 2 a 2 b2 1 故 2= . a 2 由于 △ABF2 的周长为 |AB|+ |BF2|+ |AF2|= |AF1|+ |AF2|+ |BF1|+ |BF2|=4a=16,故 a=4. x2 y2 ∴b2=8.∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 8 (2) 由椭圆和双曲线的方程可知, F1 , F2 为它们的公共焦点,不妨设 |PF1|>|PF2| ,则 ?|PF1|+|PF2|=4 ? ? , ? ?|PF1|-|PF2|=2
? ?|PF1|=3 所以? .又|F1F2|=2 3, ?|PF2|=1 ?

1 由余弦定理可知 cos∠F1PF2=- . 3 反思归纳 圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征,理解定义是掌握其性质的基础.因 此,对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定义中要求

|PF1|+|PF2|>|F1F2|,双曲线的定义中要求||PF1|-|PF2||<|F1F2|. x2 y2 变式训练 1 (1)已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的两个焦点 F1,F2,M 为双曲线上一点,且 a b 7 满足∠F1MF2=90° ,点 M 到 x 轴的距离为 .若△F1MF2 的面积为 14,则双曲线的渐近线 2 方程为__________. 答案 y=± 7x 1 7 解析 由题意得 · 2c·=14,所以 c=4. 2 2 ||MF |-|MF ||=2a, ? ?|MF | +|MF | =8 , 又? · |MF |· |MF |=14. ?1 ? 2
1 2 1 2 2 2 2 1 2

所以 a= 2,b= 14.所以渐近线方程为 y=± 7x. (2)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为________. 答案 y2=± 8x a ? 解析 抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点坐标为? ?4,0?,过焦点且斜率为 2 的直线方程为 y= a? a 2? ?x-4?,令 x=0 得 y=-2. a? ? a? 1 ∴△OAF 的面积为 ×? × - =4, 2 ?4? ? 2? ∴a2=64,∴a=± 8. ∴抛物线方程为 y2=± 8x. 题型二 圆锥曲线的性质 例2 (1)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A, B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为 A. 2 B.2 2 C.4 D.8 ( )

(2)设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1, F2, 若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2| =4∶3∶2,则曲线 C 的离心率等于 1 3 2 A. 或 B. 或 2 2 2 3 1 2 3 C. 或 2 D. 或 2 3 2 审题破题 ( )

(1)利用抛物线的几何性质结合方程组求解; (2)由于已知圆锥曲线的两个焦

点,所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线,再由离心率的定义即可求解. 答案 解析 (1)C (2)A x2 y2 (1)设 C: 2- 2=1. a a

x2 y2 ∵抛物线 y2=16x 的准线为 x=-4,联立 2- 2=1 和 x=-4 得 A(-4, 16-a2),B(- a a

4,- 16-a2), ∴|AB|=2 16-a2=4 3, ∴a=2,∴2a=4.∴C 的实轴长为 4. |F1F2| 3 1 (2)当曲线 C 为椭圆时,e= = = ; |PF1|+|PF2| 4+2 2 |F1F2| 3 3 当曲线 C 为双曲线时,e= = = . |PF1|-|PF2| 4-2 2 反思归纳 (1)求椭圆或双曲线的离心率的方法: c ①直接求出 a 和 c,代入 e= ; a c ②建立关于 a,b,c 的方程或不等式,然后把 b 用 a,c 代换.通过解关于 的方程或不 a 等式求得离心率的值或范围. (2)研究圆锥曲线的几何性质,实质是求参数 a、b、c 或者建立 a、b、c 的关系式(等式或 不等式),然后根据概念讨论相应的几何性质. x2 y2 变式训练 2 (1)已知 O 为坐标原点,双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,以 OF 为直 a b → → → 径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点 A,B,若(AO+AF)· OF=0,则双曲线的 离心率 e 为 A.2 答案 C → → → 解析 如图,设 OF 的中点为 T,由(AO+AF)· OF=0 可知 AT⊥OF, c c? 又 A 在以 OF 为直径的圆上,∴A? ?2,2?, b 又 A 在直线 y= x 上, a ∴a=b,∴e= 2. x2 y2 (2)已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左顶点与抛物线 y2=2px (p>0)的焦点的距离为 4, a b 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为 ( A.2 3 答案 B 解析 B.2 5 b C.4 3 bp , D.4 5 ) B.3 C. 2 D. 3 ( )

?y=ax 由? p ?x=-2
bp

?y=-2a ,解得? p ?x=-2
b 1 ? ?a=2 ,得? , ? ?p=4

?-2a=-1 由题意得? p ?-2=-2

p 又知 +a=4,故 a=2,b=1, 2 c= a2+b2= 5,∴焦距 2c=2 5. 题型三 直线与圆锥曲线的位置关系 例3 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1), B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程. → → → (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求 λ 的值. 审题破题 (1)联立方程,利用焦点弦公式求解;(2)先求出 A、B 坐标,利用关系式表示

出点 C 坐标,再利用点 C 在抛物线上求解. p 解 (1)直线 AB 的方程是 y=2 2(x- ),与 y2=2px 联立,从而有 4x2-5px+p2=0, 2 5p 所以 x1+x2= . 4 由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x. (2)由 p=4 知 4x2-5px+p2=0 可化为 x2-5x+4=0, 从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2). → 设OC=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2) =(4λ+1,4 2λ-2 2),
2 又 y2 3=8x3,所以[2 2(2λ-1)] =8(4λ+1),

即(2λ-1)2=4λ+1,解得 λ=0 或 λ=2. 反思归纳 解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤: (1)设方程及点的坐标; (2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程(注意二次项系数是否为零); (3)应用根与系数的关系及判别式; (4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解. 变式训练 3 已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A,B,l2 与 → → 轨迹 C 相交于点 D,E,求AD· EB的最小值. 解 (1)

设动点 P 的坐标为(x,y),由题意有 ?x-1?2+y2-|x|=1. 化简得 y2=2x+2|x|. 当 x≥0 时,y2=4x;当 x<0 时,y=0. 所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2=4x (x≥0)和 y=0 (x<0). (2)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k,则 l1 的方程为 y=k(x-1). ? ?y=k?x-1?, 由? 2 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0. ?y =4x ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是上述方程的两个实根, 4 于是 x1+x2=2+ 2,x1x2=1. k 1 因为 l1⊥l2,所以 l2 的斜率为- . k 设 D(x3,y3),E(x4,y4), 则同理可得 x3+x4=2+4k2,x3x4=1. → → → → → → 故AD· EB=(AF+FD)· (EF+FB) → → → → → → → → =AF· EF+AF· FB+FD· EF+FD· FB → → → → =|AF|· |FB|+|FD|· |EF| =(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1) =x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1 4? 2 =1+? ?2+k2?+1+1+(2+4k )+1 1? 2 2 1 =8+4? =16. ?k +k2?≥8+4×2 k · k2 1 → → 当且仅当 k2= 2,即 k=± 1 时,AD· EB取最小值 16. k

典例

x2 y2 (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1(- a b

1,0),且点 P(0,1)在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y2=4x 相切,求直线 l 的方程. 规范解答 解 (1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1(-1,0),所以 c=1. x2 y2 1 将点 P(0,1)代入椭圆方程 2+ 2=1,得 2=1,即 b=1, a b b 所以 a2=b2+c2=2. x2 所以椭圆 C1 的方程为 +y2=1. 2

[4 分]

(2)由题意可知,直线 l 的斜率显然存在且不等于 0,设直线 l 的方程为 y=kx+m,由

x ? ? 2 +y2=1, ? ? ?y=kx+m, 消去 y 并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0. 因为直线 l 与椭圆 C1 相切, 所以 Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0. 整理得 2k2-m2+1=0. 2 ? ?y =4x, 由? ?y=kx+m, ? 消去 y 并整理得 k2x2+(2km-4)x+m2=0. 因为直线 l 与抛物线 C2 相切, 所以 Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理得 km=1. 2 2 ? ? ?k= , ?k=- , 2 2 综合①②,解得? 或? ? ? ?m= 2 ?m=- 2. 所以直线 l 的方程为 y= 评分细则 2 2 x+ 2或 y=- x- 2. 2 2 [14 分] ②[10 分] ①[7 分]

2

(1)得到 b=1 给 2 分;(2)两个判别式应用中,得到化简后的方程均给 1 分,

判别式等于 0 没化简不扣分;(3)k、m 的值不全扣 2 分. 阅卷老师提醒 用判别式. (2)直线和圆锥曲线是高考热点,判别式、弦长公式、设而不求思想是常用工具. (1)对于直线和圆锥曲线相切的问题,除曲线为 y2=ax 形式的,一般都利

y2 1. (2013· 四川)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2- =1 的渐近线的距离是 3 1 3 A. B. C.1 D. 3 2 2 答案 B

(

)

π x2 y2 y2 x2 2.(2013· 湖北)已知 0<θ< , 则双曲线 C1: 2 - 2 =1 与 C2: 2 - 2 =1 的( 4 cos θ sin θ sin θ sin θtan2θ A.实轴长相等 C.焦距相等 答案 D B.虚轴长相等 D.离心率相等

y2 解析 抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),双曲线 x2- =1 的渐近线是 y=± 3x,即 3x± y= 3 | 3± 0| 3 0,∴所求距离为 = .选 B. 2 2 2 ? 3? +?± 1? )

sin2θ+cos2θ 1 解析 双曲线 C1:e= = 2 , cos2θ cos θ sin2θ+sin2θtan2θ 1 双曲线 C2:e= =1+tan2θ= 2 , sin2θ cos θ ∴C1,C2 离心率相等. x2 y2 3. 已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是 ( 2-k 2k-1 1 ? A.? B.(1,+∞) ?2,2? 1 ? C.(1,2) D.? ?2,1? 答案 C 解析 由题意可得,2k-1>2-k>0, ? ?2k-1>2-k, 即? 解得 1<k<2,故选 C. ? ?2-k>0,

)

x2 y2 4. (2013· 江西)抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 相交于 A、B 两 3 3 点,若△ABF 为等边三角形,则 p=________. 答案 6 解析 因为△ABF 为等边三角形, p p 所以由题意知 B? ,-2?, ? 3 ? x2 y2 代入方程 - =1 得 p=6. 3 3 x2 y2 5. (2013· 湖南)设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点,若 a b |PF1|+|PF2|=6a 且△PF1F2 的最小内角为 30° ,则双曲线 C 的离心率为______. 答案 3

解析 不妨设|PF1|>|PF2|, 则|PF1|-|PF2|=2a, 又∵|PF1|+|PF2|=6a,∴|PF1|=4a,|PF2|=2a. 又在△PF1F2 中,∠PF1F2=30° , 由正弦定理得,∠PF2F1=90° ,∴|F1F2|=2 3a, 2 3a ∴双曲线 C 的离心率 e= = 3. 2a 2 2 x y 6. (2013· 辽宁)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,椭圆 C 与过原点的直线相交 a b 4 于 A, B 两点, 连接 AF, BF.若|AB|=10, |AF|=6, cos∠ABF= , 则 C 的离心率 e=________. 5 5 答案 7 4 解析 如图,在△ABF 中,|AB|=10,|AF|=6,且 cos∠ABF= , 5 设|BF|=m, 由余弦定理,得

4 62=102+m2-20m·, 5 ∴m2-16m+64=0,∴m=8. 1 因此|BF|=8,AF⊥BF,c=|OF|= |AB|=5. 2 设椭圆右焦点为 F′,连接 BF′,AF′, 由对称性,|BF′|=|AF|=6, ∴2a=|BF|+|BF′|=14. c 5 ∴a=7,因此离心率 e= = . a 7

专题限时规范训练
一、选择题 3 1. (2013· 广东)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于 ,则 C 的方程 2 是 x2 y2 A. - =1 4 5 x2 y2 C. - =1 2 5 答案 B c 3 解析 由题意知:c=3,e= = ,∴a=2;b2=c2-a2=9-4=5,故所求双曲线方程为 a 2 x2 y2 - =1. 4 5 2. 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该 抛物线焦点的距离为 3,则|OM|等于 A.2 2 答案 B p p 解析 由题意设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则 M 到焦点的距离为 xM+ =2+ =3, 2 2 ∴p=2,∴y2=4x.
2 ∴y0 =4×2=8,

x2 y2 B. - =1 4 5 x2 y2 D. - =1 2 5

(

)

( C.4 D.2 5

)

B.2 3

∴|OM|= 4+y2 0= 4+8=2 3. x2 y2 3. 已知双曲线 C: 2- 2=1 (a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F2 作双曲线 C 的 a b 一条渐近线的垂线,垂足为 H,若 F2H 的中点 M 在双曲线 C 上,则双曲线 C 的离心率 为 A. 2 答案 A b a 解析 取双曲线的渐近线 y= x,则过 F2 与渐近线垂直的直线方程为 y=- (x-c),可 a b 2 2 2 a ab a + c x2 ab ? ?, , ?, 解得点 H 的坐标为? 则 F H 的中点 M 的坐标为 代入双曲线方程 , 2 ?c c ? a2 2c? ? 2c B. 3 C.2 D.3 ( )

?a2+c2?2 a2b2 y2 c - 2=1 可得 - 2 2=1,整理得 c2=2a2,即可得 e= = 2,故应选 A. b 4a2c2 4c b a y2 → → 4. 设 F1、F2 分别是双曲线 x2- =1 的左、右焦点,若点 P 在双曲线上,且PF1· PF2=0, 9 → → 则|PF1+PF2|等于 ( ) A. 10 C. 5 答案 B → → → → 如图,由PF1· PF2=0,可得PF1⊥PF2,又由向量加法的 B.2 10 D.2 5

解析

平行四边形法则可知?PF1QF2 为矩形, 因为矩形的对角线相等, → → → 故有|PF1+PF2|=|PQ|=2c=2 10, 所以选 B. 5. 已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,P、Q 是抛物线上的两个点,若△PQF 是边长为 2 的正三角形,则 p 的值是 A.2± 3 C. 3± 1 答案 A
2

( B.2+ 3 D. 3-1
2

)

p ? y1 ? Q? y2 ,y2?(y1≠y2). 解析 依题意得 F? 设 P? 由抛物线定义及|PF|=|QF|, ?2,0?, ?2p,y1?, ?2p ? 2 2 y1 p y2 p 2 ?1 ? 得 + = + ,∴y1 =y2 2,∴y1=-y2.又|PQ|=2,因此|y1|=|y2|=1,点 P 2p,y1 .又点 ? ? 2p 2 2p 2 1 p P 位于该抛物线上,于是由抛物线的定义得|PF|= + =2,由此解得 p=2± 3,故选 A. 2p 2 x2 2 6. (2013· 浙江)如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别是 4 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( )

A. 2 答案 D 解析

B. 3

3 C. 2

D.

6 2

x2 y2 |F1F2|=2 3.设双曲线的方程为 2- 2=1. a b

∵|AF2|+|AF1|=4,|AF2|-|AF1|=2a, ∴|AF2|=2+a,|AF1|=2-a. 在 Rt△F1AF2 中,∠F1AF2=90° , ∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2, 即(2-a)2+(2+a)2=(2 3)2,

c 3 6 ∴a= 2,∴e= = = .故选 D. a 2 2 x2 y2 7. 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切,且双 a b 曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为 x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 5 4 4 5 2 2 x y x2 y2 C. - =1 D. - =1 3 6 6 3 答案 A x2 y2 b 解析 ∵双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x, a b a 圆 C 的标准方程为(x-3)2+y2=4, ∴圆心为 C(3,0). 又渐近线方程与圆 C 相切, 即直线 bx-ay=0 与圆 C 相切, 3b ∴ 2 =2,∴5b2=4a2. a +b2 x2 y2 又∵ 2- 2=1 的右焦点 F2( a2+b2,0)为圆心 C(3,0), a b ∴a2+b2=9. 由①②得 a =5,b =4. x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 5 4 8. (2012· 安徽)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若 |AF|=3,则△AOB 的面积为 2 A. B. 2 2 答案 C 解析 如图所示,由题意知,抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0), 又|AF|=3, 由抛物线定义知:点 A 到准线 x=-1 的距离为 3, ∴点 A 的横坐标为 2. 将 x=2 代入 y2=4x 得 y2=8, 由图知点 A 的纵坐标 y=2 2, ∴A(2,2 2), ∴直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1). ( 3 2 C. 2 D.2 2 )
2 2

(

)





?y=2 2?x-1?, 联立直线与抛物线的方程? 2 ?y =4x,

1 ? ?x=2, ?x=2, 解之得? 或? ?y=2 2. ?y=- 2 ? 1 ? 由图知 B? ?2,- 2?, 1 1 ∴S△AOB= |OF|· |yA-yB|= ×1×|2 2+ 2| 2 2 3 = 2.故选 C. 2 二、填空题 x2 y2 9. 已知 F1、F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点.若|F2A|+ 25 9 |F2B|=12,则|AB|=________. 答案 8 解析 如图所示,由椭圆定义得 |AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20, 又|AF2|+|BF2|=12, 所以|AF1|+|BF1|=8,即|AB|=8. x2 y2 x2 y2 10.已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)与双曲线 C2: - =1 有相同的渐近线,且 C1 a b 4 16 的右焦点为 F( 5,0),则 a=________,b=________. 答案 1 x2 y2 x2 y2 x2 y2 解析 与双曲线 - =1 有共同渐近线的双曲线的方程可设为 - =λ,即 - = 4 16 4 16 4λ 16λ 1(λ≠0). 1 由题意知 c= 5,则 4λ+16λ=5?λ= ,则 a2=1,b2=4.又 a>0,b>0,故 a=1,b=2. 4 x2 y2 11.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6,4), 25 16 则|PM|+|PF1|的最大值为________. 答案 15 解析 |PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,易知 M 点在 2

椭圆外,连接 MF2 并延长交椭圆于 P 点,此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|+|PF1| 的最大值为 10+|MF2|=10+ ?6-3?2+42=15. x2 y2 a2 12.过双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左焦点 F 作圆 x2+y2= 的切线,切点为 E,延长 FE a b 4 交双曲线的右支于点 P,若 E 为 PF 的中点,则双曲线的离心率为________. 10 答案 2 解析 设双曲线的右焦点为 F′,由于 E 为 PF 的中点,坐标原点 O 为 FF′的中点,所 a 以 EO∥PF′,又 EO⊥PF,所以 PF′⊥PF,且|PF′|=2× =a,故|PF|=3a,根据勾 2 10a 10 股定理得|FF′|= 10a.所以双曲线的离心率为 = . 2a 2

三、解答题

x2 y2 13.(2012· 安徽)如图,F1、F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的 a b 左、右焦点,A 是椭圆 C 的顶点,B 是直线 AF2 与椭圆 C 的 另一个交点,∠F1AF2=60° . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值. 解 (1)由题意可知,△AF1F2 为等边三角形,a=2c, 1 所以 e= . 2 (2)方法一 a2=4c2,b2=3c2,直线 AB 的方程为 y=- 3(x-c), 8 3 3 ? 将其代入椭圆方程 3x2+4y2=12c2,得 B? c,- c , 5 ? ?5 ?8c-0?=16c. 所以|AB|= 1+3· ?5 ? 5 1 1 16 3 2 3 2 由 S△AF1B= |AF1|· |AB|· sin∠F1AB= a· c· = a =40 3,解得 a=10,b=5 3. 2 2 5 2 5 方法二 设|AB|=t.因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a. 由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a 可知,|BF1|=3a-t, 8 再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60° 可得,t= a. 5 1 8 3 2 3 2 由 S△AF1B= a·a· = a =40 3知, 2 5 2 5 x2 y2 14.(2013· 课标全国Ⅱ)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)右焦点的直线 x a b 1 +y- 3=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2 (1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最 大值. 解 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x2 y2 1 1 2+ 2=1 a b x2 y2 2 2 2+ 2=1 a b ?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? ①-②,得 + =0. a2 b2 y1-y2 因为 =-1,设 P(x0,y0), x1-x2 1 因为 P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 , 2 1 1 所以 y0= x0,即 y1+y2= (x1+x2). 2 2 a=10,b=5 3.

① ②

所以可以解得 a2=2b2,即 a2=2(a2-c2),即 a2=2c2, 又因为 c= 3,所以 a2=6, x2 y2 所以 M 的方程为 + =1. 6 3 (2)因为 CD⊥AB,直线 AB 方程为 x+y- 3=0, 所以设直线 CD 方程为 y=x+m, x2 y2 将 x+y- 3=0 代入 + =1 得: 6 3 4 3 3? 3x2-4 3x=0,即 A(0, 3),B? , ? 3 ,- 3 ? 4 6 所以可得|AB|= ; 3 x2 y2 将 y=x+m 代入 + =1 得: 6 3 3x2+4mx+2m2-6=0, 设 C(x3,y3),D(x4,y4), 2 2 则|CD|= 2 ?x3+x4?2-4x3x4= 18-2m2, 3 又因为 Δ=16m2-12(2m2-6)>0,即-3<m<3, 1 8 6 所以当 m=0 时, |CD|取得最大值 4, 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 |AB|·|CD|= . 2 3


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