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空间向量与平行、垂直关系


[学业水平训练] 1.已知平面 α 的一个法向量是 n=(1,1,1),A(2,3,1),B(1,3,2),则直线 AB 与平面 α 的关系 是( ) A.AB∥α B.AB⊥α C.AB?α D.AB∥α 或 AB?α → 解析:选 D.AB=(-1,0,1). → → 于是 n· AB=-1+0+1=0,所以AB⊥n,因此 AB∥α 或 AB?α. 2. 设平面 α 的法向量

为(1,2, -2), 平面 β 的法向量为(-2, -4, k), 若 α∥β, 则 k 等于( A.2 B.-4 C.4 D.-2 解析:选 C.因为 α∥β,所以它们的法向量必共线, 1 2 -2 即 = = , k -2 -4 ∴k=4,故选 C. 1 3. 若直线 l 的方向向量为(2,1, m), 平面 α 的法向量为(1, , 2), 且 l⊥α, 则 m 的值为( 2 A.1 B.2 C.4 D.-4 解析:选 C.∵l⊥α, ∴l 的方向向量与平面 α 的法向量共线. 1 ∴(2,1,m)=λ(1, ,2),解得 m=4. 2 → → 4.已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),则平面 ABC 的一个单位法向量为( ) 1 2 2 1 2 2 A.(- ,- ,- ) B.(- , ,- ) 3 3 3 3 3 3 1 2 2 1 2 2 C.(- , , ) D.( , , ) 3 3 3 3 3 3 解析:选 B.设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z), ?2x+2y+z=0, ? 则有? ? ?4x+5y+3z=0, 取 x=1,则 y=-2,z=2. 所以 n=(1,-2,2). 1 2 2 由于|n|=3,所以平面 ABC 的一个单位法向量可以是(- , ,- ). 3 3 3 5.如图 PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,E 是 CD 的中点,F 是 AD 上一点,当 BF⊥PE 时,AF∶FD 的值为( ) A.1∶2 B.1∶1 C.3∶1 D.2∶1

)

)

1 解析:选 B.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为 1,PA=a,则 B(1,0,0),E( , 2 1,0),P(0,0,a).

设点 F 的坐标为(0,y,0), → → 1 则BF=(-1,y,0),PE=( ,1,-a). 2 ∵BF⊥PE, → → ∴BF· PE=0, 1 1 解得 y= ,即点 F 的坐标为(0, ,0), 2 2 ∴F 为 AD 的中点, ∴AF∶FD=1∶1. 6. 平面 α, β 的法向量分别为 m=(1,2, -2), n=(-2, -4, k), 若 α⊥β, 则 k 等于________. 解析:由 α⊥β 知,m· n=0. ∴-2-8-2k=0, 解得 k=-5. 答案:-5 7.已知 A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),则平面 ABC 的一个法向量为__________. 解析:设平面 ABC 的一个法向量 n=(x,y,z), → → 由题意可得:AB=(-1,1,0),BC=(1,0,-1). → ? AB=0, ?n· 由? → ? BC=0, ?n·
? ?-x+y=0, 得? ?x-z=0. ? 令 x=1,得 y=z=1.∴n=(1,1,1). 答案:(1,1,1)(答案不唯一)

→ → 8. 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点, 如果AB=(2, -1, -4), AD=(4,2,0), → → → AP=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP是平面 ABCD 的法向量;④AP → ∥BD.其中正确的是________. → → 解析:由于AP· AB=-1×2+(-1)×2+(-4)×(-1)=0, → → AP· AD=4×(-1)+2×2+0×(-1)=0,所以①②③正确. 答案:①②③ 9.如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点. (1)指出直线 MN 的一个以 A 为起点的方向向量; → (2)若∠PDA=45° ,求证MN为平面 PCD 的一个法向量. 解:(1)取 PD 的中点 E,连结 NE,AE, 1 ∵N 是 PC 的中点,∴NE 綊 DC. 2 1 又 DC 綊 AB,AM= AB, 2 1 ∴AM 綊 CD,∴NE 綊 AM, 2

∴四边形 AMNE 是平行四边形, ∴MN∥AE. → ∴AE为直线 MN 的一个以 A 为起点的方向向量. (2)在 Rt△PAD 中,∠PDA=45° , ∴AP=AD,∴AE⊥PD. 又 MN∥AE, ∴MN⊥PD. ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD, 又 CD⊥AD,PA∩AD=D, ∴CD⊥平面 PAD. ∵AE?平面 PAD, ∴CD⊥AE. 又 MN∥AE, ∴CD⊥MN.又∵CD∩PD 于 D, ∴MN⊥平面 PCD. → ∴MN为平面 PCD 的一个法向量. 10.如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,CD 的中点, 求证: (1)AD⊥D1F. (2)平面 AED⊥平面 A1FD1. 证明: 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ,设正方体的棱长为 1 ,则 1 1 A(0,0,0),D(0,1,0),E(1,0, ),F( ,1,0),D1(0,1,1). 2 2 1 → → (1)因为AD=(0,1,0),D1F=( ,0,-1), 2 → → 所以AD· D1F=0, → → 所以AD⊥D1F,即 AD⊥D1F. 1 → (2)因为AE=(1,0, ), 2 → → 1 1 → → 所以AE· D1F= - =0,所以AE⊥D1F,所以 AE⊥D1F.由(1)知 AD⊥D1F,又 AD∩AE=A, 2 2 所以 D1F⊥平面 AED.又 D1F?平面 A1FD1,所以平面 AED⊥平面 A1FD1. [高考水平训练] 1.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,若 E 为 A1C1 的中点,则直线 CE 垂直于( ) A.AC B.BD C.A1D D.A1A 解析:选 B. 建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为 1. 1 1 ? 则 A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0), D(0, 0,0), A1(1,0,1), C1(0,1,1), E? ?2,2,1?, 1 1 → ,- ,1?, ∴CE=? 2 ? ?2 → → AC=(-1,1,0),BD=(-1,-1,0), → → A1D=(-1,0,-1),A1A=(0,0,-1). → → ∵CE· BD=0, ∴CE⊥BD. 2.如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别是棱 BC,DD1 上的

点,如果 B1E⊥平面 ABF,则线段 CE 与 DF 长度和的值等于________.

解析:以 D1 为坐标原点,D1A1,D1C1,D1D 分别为 x,y,z 轴建立空 间直角坐标系,设 CE=x,DF=y, → 则易知 E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1-y),B(1,1,1),则B1E=(x-1,0,1), → FB=(1,1,y), 由于 AB⊥B1E,故若 B1E⊥平面 ABF, → → 只需 B1E⊥FB,即FB· B1E=(1,1,y)· (x-1,0,1)=0,得 x+y=1. 答案:1 3.如图,三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 的中点,BB1⊥平 面 ABC. 求证:AB1⊥平面 A1BD. 证明:取 BC 中点 O,连结 AO.因为△ABC 为正三角形, 所以 AO⊥BC. 因为在正三棱柱 ABCA1B1C1 中,平面 ABC⊥平面 BCC1B1, 所以 AO⊥平面 BCC1B1, → → → 取 B1C1 中点 O1,以 O 为原点,OB,OO1,OA的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角 坐标系,则 B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2, 3),A(0,0, 3),B1(1,2,0), → → → 所以AB1=(1,2,- 3),BD=(-2,1,0),BA1=(-1,2, 3). → → 因为AB1· BD=-2+2+0=0, → → AB1· BA1=-1+4-3=0, → → → → 所以AB1⊥BD,AB1⊥BA1. 又因为 BD∩BA1=B,所以 AB1⊥平面 A1BD. 4.已知四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90° ,PD⊥ 底面 ABCD,且 PD=DA=CD=2AB=2,M 点为 PC 的中点. (1)求证:BM∥平面 PAD; (2)在平面 PAD 内找一点 N,使 MN⊥平面 PBD. 解:(1)证明:∵PD⊥底面 ABCD,CD∥AB,CD⊥AD. ∴以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系 Dxyz(如图所示).

由于 PD=CD=DA=2AB=2, 所以 D(0,0,0),A(2,0,0), B(2,1,0),C(0,2,0), P(0,0,2),M(0,1,1), → → ∴BM=(-2,0,1),DC=(0,2,0),

→ ∵DC⊥平面 PAD, → ∴DC是平面 PAD 的法向量, → → 又∵DC· BM=0, → ∴BM∥平面 PAD. ∴BM∥平面 PAD. (2)设 N(x,0,z)是平面 PAD 内一点, → → → 则MN=(x,-1,z-1),DP=(0,0,2),DB=(2,1,0), 若 MN⊥平面 PBD, → → ? DP=0 ?MN· 则? , → → ? DB=0 ?MN·

? ?2?z-1?=0 ?x= ? ∴? ,即? 2 ?2x-1=0 ? ? ?z=1

1 .

1 ? ∴在平面 PAD 内存在点 N? ?2,0,1?, 使 MN⊥平面 PBD.


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