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2015年中考试卷:数学(广西南宁卷)及答案


2015 年南宁市中考数学试卷
本试卷分第 I 卷和第 II 卷,满分 120 分,考试时间 120 分钟

第 I 卷(选择题,共 36 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分)每小题都给出代号为(A) 、 (B) 、 (C) 、 (D)四
个结论,其中只有一个是正确的.请考生用 2B 铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑. 1.3 的绝对值是( ). (A)3


(B)-3

(C)

1 3

(D) ?

1 3

考点:绝对值. 专题:计算题. 分析:直接根据绝对值的意义求解. 解答:解:|3|=3. 故选 A. 点评:本题考查了绝对值:若 a>0,则|a|=a;若 a=0,则|a|=0;若 a<0,则|a|=?a. 2.如图 1 是由四个大小相同的正方体组成的几何体,那么它的主视图是( ).

正面 图 1


(A)

(B)

(C)

(D)

考点:简单组合体的三视图. 专题:计算题. 分析:从正面看几何体得到主视图即可.

解答:解:根据题意

的主视图为:



故选 B 点评:此题考查了简单组合体的三视图,主视图是从物体的正面看得到的视图. 3.南宁快速公交(简称:BRT)将在今年底开始动工,预计 2016 年下半年建成并投入试运营,首条 BRT 西起南宁火车站,东至南宁东站,全长约为 11300 米,其中数据 11300 用科学记数法表示为( ). 5 4 3 2 A.0.113× 10 B.1.13× 10 C.11.3× 10 D.113× 10 考点:科学记数法—表示较大的数.


分析:科学记数法的表示形式为 a× 10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当原 数的绝对值<1 时,n 是负数. 4 解答:解:将 11300 用科学记数法表示为:1.13× 10 . 故选 B. n 点评:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a× 10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数, 表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.

n

4.某校男子足球队的年龄分布如图 2 条形图所示,则这些队员年龄的众 数是( ). (A)12 (B)13 (C)14 (D)15 图2 考点:众数;条形统计图. 分析:根据条形统计图找到最高的条形图所表示的年龄数即为众数. 解答:解:观察条形统计图知:为 14 岁的最多,有 8 人, 故众数为 14 岁, 故选 C. 点评:考查了众数的定义及条形统计图的知识,解题的关键是能够读懂条形统计图及了解众数的定义,难 度较小. 5. 如图 3, 一块含 30° 角的直角三角板 ABC 的直角顶点 A 在直线 DE 上, 且 BC//DE, 则∠CAE 等于 ( ) . (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°


考点:平行线的性质. 图3 分析:由直角三角板的特点可得:∠C=30° ,然后根据两直线平行内错角相等,即可求∠CAE 的度数.


解答:解:∵∠C=30° ,BC∥DE, ∴∠CAE=∠C=30° . 故选 A. 点评:此题考查了平行线的性质,解题的关键是:熟记两直线平行同位角相等;两直线平行内错角相等; 两直线平行同旁内角互补. 6.不等式 2 x ? 3 ? 1的解集在数轴上表示为( ).

(A) (B) (C) (D) 考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式. 专题:数形结合. 分析:先解不等式得到 x<2,用数轴表示时,不等式的解集在 2 的左边且不含 2,于是可判断 D 选项正确. 解答:解:2x<4, 解得 x<2, 用数轴表示为:


. 故选 D. 点评:本题考查了在数轴上表示不等式的解集:用数轴表示不等式的解集时,要注意“两定”:一是定界点, 一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意,点是实心还是空心;二是定方向,定方向的原 则是:“小于向左,大于向右”. 7.如图 4,在△ABC 中,AB=AD=DC, ? B=70° ,则 ? C 的度数为( ). (A)35° (B)40° (C)45° (D)50°

考点:等腰三角形的性质.



图4

分析:先根据等腰三角形的性质求出∠ADB 的度数,再由平角的定义得出∠ADC 的度数,根据等腰三角形 的性质即可得出结论. 解答:解:∵△ABD 中,AB=AD,∠B=70° , ∴∠B=∠ADB=70° , ∴∠ADC=180° ?∠ADB=110° , ∵AD=CD, ∴∠C=(180° ?∠ADC)÷ 2=(180° ?110° )÷ 2=35° , 故选:A. 点评:本题考查的是等腰三角形的性质,熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键. 8.下列运算正确的是( ). (A) 4ab ? 2a ? 2ab (B) (3x 2 )3 ? 9 x 6 (C) a ? a ? a
3 4 7

(D) 6 ? 3 ? 2


考点:整式的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方;二次根式的乘除法. 专题:计算题. 分析:A、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果,即可做出判断; B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断; C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果,即可做出判断; D、原式利用二次根式的除法法则计算得到结果,即可做出判断. 解答:解:A、原式=2b,错误;
6

B、原式=27x ,错误; 7 C、原式=a ,正确; D、原式= ,错误, 故选 C 点评:此题考查了整式的除法,同底数幂的乘法,幂的乘方与积的乘方,以及二次根式的乘除法,熟练掌 握运算法则是解本题的关键. 9.一个正多边形的内角和为 540° ,则这个正多边形的每一个外角等于( ). (A)60° (B)72° (C)90° (D)108° 考点:多边形内角与外角. 分析:首先设此多边形为 n 边形,根据题意得:180(n?2)=540,即可求得 n=5,再再由多边形的外角和 等于 360° ,即可求得答案. 解答:解:设此多边形为 n 边形, 根据题意得:180(n?2)=540, 解得:n=5,


∴这个正多边形的每一个外角等于:

=72° .

故选 B. 点评:此题考查了多边形的内角和与外角和的知识.注意掌握多边形内角和定理: (n?2)?180°,外角和等 于 360° . 10.如图 5,已知经过原点的抛物线 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的对称轴是直线 x ? ?1 下列
2

结论中:? ab ? 0 ,? a ? b ? c ? 0 ,?当 ? 2 ? x ? 0时,y ? 0 ,正确的个数是( ). (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 图5

考点:二次函数图象与系数的关系. 分析:①由抛物线的开口向上,对称轴在 y 轴左侧,判断 a,b 与 0 的关系,得到?ab>0;故①错误;


②由 x=1 时,得到 y=a+b+c>0;故②正确; ③根据对称轴和抛物线与 x 轴的一个交点,得到另一个交点,然后根据图象确定答案即可. 解答:解:①∵抛物线的开口向上, ∴a>0, ∵对称轴在 y 轴的左侧, ∴b>0 ∴?ab>0;故①正确; ②∵观察图象知;当 x=1 时 y=a+b+c>0, ∴②正确; ③∵抛物线的对称轴为 x=?1,与 x 轴交于(0,0) , ∴另一个交点为(?2,0) , ∴当?2<x<0 时,y<0;故③正确; 故选 D. 点评: 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系, 会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系, 以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用. 11.如图 6,AB 是⊙O 的直径,AB=8,点 M 在⊙O 上,∠MAB=20° ,N 是弧 MB 的中点, P是 图6 直径 AB 上的一动点,若 MN=1,则△PMN 周长的最小值为( ). (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 考点:轴对称-最短路线问题;圆周角定理. 分析:作 N 关于 AB 的对称点 N′,连接 MN′,NN′,ON′,ON,由两点之间线段最短可知 MN′与 AB 的交 点 P′即为△PMN 周长的最小时的点,根据 N 是弧 MB 的中点可知∠A=∠NOB=∠MON=20° ,故可得出 ∠MON′=60°,故△MON′为等边三角形,由此可得出结论. 解答:解:作 N 关于 AB 的对称点 N′,连接 MN′,NN′,ON′,ON. ∵N 关于 AB 的对称点 N′, ∴MN′与 AB 的交点 P′即为△PMN 周长的最小时的点, ∵N 是弧 MB 的中点, ∴∠A=∠NOB=∠MON=20° , ∴∠MON′=60°, ∴△MON′为等边三角形, ∴MN′=OM=4, ∴△PMN 周长的最小值为 4+1=5. 故选 B.


点评:本题考查的是轴对称?最短路径问题,凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的性质定理,结合 本节所学轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点. 12.对于两个不相等的实数 a、b,我们规定符号 Max{a,b}表示 a、b 中的较大值,如:Max{2,4}=4,按 照这个规定,方程 Max ?x,? x? ? 2 x ? 1 的解为( ).
x

(A) 1 ? 2

(B) 2 ? 2

(C) 1 ? 2或1 ? 2

(D)1 ? 2或 ?1

考点:解分式方程. 专题:新定义. 分析:根据 x 与?x 的大小关系,取 x 与?x 中的最大值化简所求方程,求出解即可.


解答:解:当 x<?x,即 x<0 时,所求方程变形得:?x= 去分母得:x +2x+1=0,即 x=?1; 当 x>?x,即 x>0 时,所求方程变形得:x=
2



,即 x ?2x=1,

2

解得:x=1+ 或 x=1? (舍去) , 经检验 x=?1 与 x=1+ 都为分式方程的解. 故选 D. 点评:此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解 分式方程一定注意要验根.

第 II 卷(非选择题,共 84 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
13.因式分解: ax ? ay ?




考点:因式分解-提公因式法. 专题:因式分解. 分析:观察等式的右边,提取公因式 a 即可求得答案. 解答:解:ax+ay=a(x+y) . 故答案为:a(x+y) . 点评:此题考查了提取公因式法分解因式.解题的关键是注意找准公因式. 14.要使分式

1 有意义,则字母 x 的取值范围是 x ?1




考点:分式有意义的条件. 分析:分式有意义,分母不等于零. 解答:解:依题意得 x?1≠0,即 x≠1 时,分式 有意义.

故答案是:x≠1. 点评:本题考查了分式有意义的条件.从以下三个方面透彻理解分式的概念: (1)分式无意义?分母为零; (2)分式有意义?分母不为零; (3)分式值为零?分子为零且分母不为零. 15.一个不透明的口袋中有 5 个完全相同的小球,把它们分别标号为 1,2,3,4,5,随机提取一个小球, 则取出的小球标号是奇数的概率是 . 考点:概率公式. 分析:首先判断出 1,2,3,4,5 中的奇数有哪些;然后根据概率公式,用奇数的数量除以 5,求出取出的 小球标号是奇数的概率是多少即可. 解答:解:∵1,2,3,4,5 中的奇数有 3 个:1、3、5,


∴取出的小球标号是奇数的概率是:3÷ 5= . 故答案为: . 点评:此题主要考查了概率公式的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:随机事件 A 的概率 P(A) =事件 A 可能出现的结果数÷ 所有可能出现的结果数. 16.如图 7,在正方形 ABCD 的外侧,作等边△ADE,则 ? BED 的度数是 .

图7 考点:正方形的性质;等边三角形的性质. 分析:根据正方形的性质,可得 AB 与 AD 的关系,∠BAD 的度数,根据等边三角形的性质,可得 AE 与 AD 的关系,∠AED 的度数,根据等腰三角形的性质,可得∠AEB 与∠ABE 的关系,根据三角形的内角和, 可得∠AEB 的度数,根据角的和差,可得答案. 解答:解:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD,∠BAD=90° . ∵等边三角形 ADE, ∴AD=AE,∠DAE=∠AED=60° . ∠BAE=∠BAD+∠DAE=90° +60° =150° , AB=AE, ∠AEB=∠ABE=(180° ?∠BAE)÷ 2=15° , ∠BED=∠DAE?∠AEB=60° ?15° =45° , 故答案为:45° . 点评:本题考查了正方形的性质,先求出∠BAE 的度数,再求出∠AEB,最后求出答案.


17.如图 8,点 A 在双曲线 y ? 2 3 ( x ? 0) 上,点 B 在双曲线 y ? k ( x ? 0) 上(点 B 在点 A 的右侧) ,且 AB// x 轴,若四边形 OABC 是菱形,且 ? AOC=60° ,则 k ?
x

x

. y A y

B

考点:菱形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征. 分析: 首先根据点 A 在双曲线 y=

O


C

图8 x 再利用

(x>0) 上, 设 A 点坐标为 (a,

) ,

含 30° 直角三角形的性质算出 OA=2a,再利用菱形的性质进而得到 B 点坐标,即可求出 k 的值. 解答:解:因为点 A 在双曲线 y= (x>0)上,设 A 点坐标为(a, ) ,

因为四边形 OABC 是菱形,且∠AOC=60° , 所以 OA=2a, 可得 B 点坐标为(3a, 可得:k= ) , ,

故答案为: 点评:此题主要考查了待定系数法求反比例函数,关键是根据菱形的性质求出 B 点坐标,即可算出反比例 函数解析式. 18.如图 9,在数轴上,点 A 表示 1,现将点 A 沿 x 轴做如下移动,第一次点 A 向左移动 3 个单位长度到 达点 A1,第二次将点 A1 向右移动 6 个单位长度到达点 A2,第三次将点 A2 向左移动 9 个单位长度到达 点 A3,按照这种移动规律移动下去,第 n 次移动到点 AN,如果点 AN 与原点的距离不小于 20,那么 n 的最小值是 .

图9

考点:规律型:图形的变化类;数轴. 分析:序号为奇数的点在点 A 的左边,各点所表示的数依次减少 3,序号为偶数的点在点 A 的右侧,各点


所表示的数依次增加 3,于是可得到 A13 表示的数为?17?3=?20,A12 表示的数为 16+3=19,则可判断点 An 与原点的距离不小于 20 时,n 的最小值是 13. 解答:解:第一次点 A 向左移动 3 个单位长度至点 A1,则 A1 表示的数,1?3=?2?2; 第 2 次从点 A1 向右移动 6 个单位长度至点 A2,则 A2 表示的数为?2+6=4; 第 3 次从点 A2 向左移动 9 个单位长度至点 A3,则 A3 表示的数为 4?9=?5; 第 4 次从点 A3 向右移动 12 个单位长度至点 A4,则 A4 表示的数为?5+12=7; 第 5 次从点 A4 向左移动 15 个单位长度至点 A5,则 A5 表示的数为 7?15=?8; …; 则 A7 表示的数为 ?8?3=?11 , A9 表示的数为 ?11?3=?14 , A11 表示的数为 ?14?3=?17 , A13 表示的数为 ?17?3=?20, A6 表示的数为 7+3=10,A8 表示的数为 10+3=13,A10 表示的数为 13+3=16,A12 表示的数为 16+3=19, 所以点 An 与原点的距离不小于 20,那么 n 的最小值是 13. 故答案为:13. 点评:本题考查了规律型,认真观察、仔细思考,找出点表示的数的变化规律是解决本题的关键.

考生注意: 第三至第八大题为解答题, 要求在答题卡上写出解答过程, 如果运算结果含有根号, 请保留根号. 三、 (本大题共 2 小题,每小题满分 6 分,共 12 分)
0 19.计算: 2015 ? (?1)2 ? 2 tan45o ? 4 .

考点:实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值. 专题:计算题. 分析:原式第一项利用零指数幂法则计算,第二项利用乘方的意义化简,第三项利用特殊角的三角函数值 计算,最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果. 解答:解:原式=1+1?2× 1+2 =2. 点评:此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 1 20.先化简,再求值: (1+ x ) (1- x )+ x ( x +2)-1,其中 x = . 2 考点:整式的混合运算—化简求值. 专题:计算题.
. .

分析:先利用乘法公式展开,再合并得到原式=2x,然后把 x= 代入计算即可. 解答:解:原式=1?x +x +2x?1 =2x, 当 x= 时,原式=2× =1. 点评:本题考查了整式的混合运算?化简求值:先按运算顺序把整式化简,再把对应字母的值代入求整式的 值.有乘方、乘除的混合运算中,要按照先乘方后乘除的顺序运算,其运算顺序和有理数的混合运算顺序 相似.
2 2

四、 (本大题共 2 小题,每小题满分 8 分,共 16 分) 21.如图 10,在平面直角坐标系中,已知 ? ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-1,1) ,B(-3,1) ,C(-1,
4) . (1)画出△ABC 关于 y 轴对称的;

(2)将△ABC 绕着点 B 顺时针旋转 90° 后得到△A2BC2,请在图中画出△A2BC2,并求出线段 BC 旋转过 程中所扫过的面积(结果保留 ? ).

图 10 考点:作图-旋转变换;作图-轴对称变换. 专题:作图题. 分析: (1)根据题意画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1 即可; (2)根据题意画出△ABC 绕着点 B 顺时针旋转 90° 后得到△A2BC2,线段 BC 旋转过程中扫过的面积为扇 形 BCC2 的面积,求出即可. 分组 分数段(分) 频数 关于 y 轴对称的△A1B1C1; 解答: 解: (1) 如图所示, 画出△ABC A 2 36≤x<41


(2)如图所示,画出△ABC 绕着点 线段 BC 旋转过程中所扫过得面积

B C D E

41≤x<46 46≤x<51 51≤x<56 56≤x<61

5 15 m 10

B 顺时针旋转 90° 后得到△A2BC2, S= = .

点评:此题考查了作图?旋转变换,对称轴变换,以及扇形面积,作出正确的图形是解本题的关键. 22.今年 5 月份,某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试,为了了解该校九年级(1)班同学的中考体 育情况,对全班学生的中考体育成绩进行了统计,并绘制以下不完整的频数分布表(图 11-1)和扇形 统计图(图 11-2),根据图表中的信息解答下列问题: (1)求全班学生人数和 m 的值; (2)直接写出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段; (3)该班中考体育成绩满分(60 分)共有 3 人,其中男生 2 人,女生 1 人,现需从这 3 人中随机选取 2 人到八年级进行经验交流,请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率.

图 11-1 考点:列表法与树状图法;频数(率)分布表;扇形统计图;中位数.

图 11-2


分析: (1)利用 C 分数段所占比例以及其频数求出总数即可,进而得出 m 的值; (2)利用中位数的定义得出中位数的位置; (3)利用列表或画树状图列举出所有的可能,再根据概率公式计算即可得解. 解答:解: (1)由题意可得:全班学生人数:15÷ 30%=50(人) ; m=50?2?5?15?10=18(人) ; (2)∵全班学生人数:50 人, ∴第 25 和第 26 个数据的平均数是中位数, ∴中位数落在 51?56 分数段; (3)如图所示: 将男生分别标记为 A1,A2,女生标记为 B1 A1 A2 (A1,A2) A1 (A2,A1) A2 (B1,A1) (B1,A2) B1 P(一男一女)= = . 点评:此题主要考查了列表法求概率以及扇形统计图的应用,根据题意利用列表法得出所有情况是解题关 键 B1 (A1,B1) (A2,B1)

五、 (本大题满分 8 分)
23.如图 12,在□ABCD 中,E、F 分别是 AB、DC 边上的点,且 AE=CF, (1)求证:△ADE≌△CBF; (2)若 ? DEB=90° ,求证四边形 DEBF 是矩形. 考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;矩形的判定. 专题:证明题. 图 12 分析: (1)由在?ABCD 中,AE=CF,可利用 SAS 判定△ADE≌△CBF. (2)由在?ABCD 中,且 AE=CF,利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可证得四边形 DEBF 是平行四边形,又由∠DEB=90° ,可证得四边形 DEBF 是矩形. 解答:证明: (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD=CB,∠A=∠C, 在△ADE 和△CBF 中,


, ∴△ADE≌△CBF(SAS) . (2)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∵AE=CF, ∴BE=DF, ∴四边形 ABCD 是平行四边形, ∵∠DEB=90° , ∴四边形 DEBF 是矩形. 点评:此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质.注意有一个角是 直角的平行四边形是矩形,首先证得四边形 ABCD 是平行四边形是关键.

六、 (本大题满分 10 分)
24.如图 13-1,为美化校园环境,某校计划在一块长为 60 米,宽为 40 米的长方形空地上修建一个长方形 花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为 a 米. (1)用含 a 的式子表示花圃的面积; (2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 3 ,求出此时通道的宽;
8

(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价 y1 (元)、 y2 (元)与修建面积 x(m2 ) 之间的函数关系如 图 13-2 所示,如果学校决定由该公司承建此项目,并要求修建的通道的宽度不少于 2 米且不超过 10 米,那么通道宽为多少时,修建的通道和花圃的总造价最低,最低总造价为多少元?

图 13-2 图 13-1 考点:一次函数的应用;一元二次方程的应用. 分析: (1)用含 a 的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可;


(2)根据通道所占面积是整个长方形空地面积的 ,列出方程进行计算即可; (3)根据图象,设出通道和花圃的解析式,用待定系数法求解,再根据实际问题写出自变量的取值范围即 可. 解答:解: (1)由图可知,花圃的面积为(40?2a) (60?2a) ; (2)由已知可列式:60× 40?(40?2a) (60?2a)= × 60× 40, 解以上式子可得:a1=5,a2=45(舍去) , 答:所以通道的宽为 5 米; (3)设修建的道路和花圃的总造价为 y, 由已知得 y1=40x, y2= ,

则 y=y1+y2=
2



x 花圃=(40?2a) (60?2a)=4a ?200a+2400; 2 x 通道=60× 40?(40?2a) (60?2a)=?4a +200a, 当 2≤a≤10,800≤x 花圃≤2016,384≤x 通道≤1600, ∴384≤x≤2016, 所以当 x 取 384 时,y 有最小值,最小值为 2040,即总造价最低为 23040 元, 2 当 x=383 时,即通道的面积为 384 时,有?4a +200a=384, 解得 a1=2,a2=48(舍去) , 所以当通道宽为 2 米时,修建的通道和花圃的总造价最低为 23040 元. 点评:本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用,解题的关键是表示出花圃的长和宽.

七、 (本大题满分 10 分)
25.如图 14,AB 是⊙O 的直径,C、G 是⊙O 上两点,且 AC = CG,过点 C 的直线 CD ? BG 于点 D,交 BA 的延长线于点 E,连接 BC,交 OD 于点 F. (1)求证:CD 是⊙O 的切线. (2)若 OF ? 2 ,求 ? E 的度数.
FD 3

(3)连接 AD,在(2)的条件下,若 CD= 3 ,求 AD 的长. 图 14 考点:圆的综合题. 分析: (1) 如图 1, 连接 OC, AC, CG, 由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG, 根据同圆的半径相等得到 OC=OB, 于是得到∠OCB=∠OBC,等量代换得到∠OCB=∠CBG,根据平行线的判定得到 OC∥BG,即可得到结论;


(2)由 OC∥BD,得到△OCF∽△BDF,△EOC∽△EBD,得到 的性质即可得到结论; (3)如图 2,过 A 作 AH⊥DE 于 H,解直角三角形得到 BD=3,DE=3 AD= = = .



,根据直角三角形

,BE=6,在 Rt△DAH 中,

解答: (1)证明:如图 1,连接 OC,AC,CG, ∵AC=CG, ∴ ,

∴∠ABC=∠CBG, ∵OC=OB, ∴∠OCB=∠OBC, ∴∠OCB=∠CBG, ∴OC∥BG, ∵CD⊥BG, ∴OC⊥CD, ∴CD 是⊙O 的切线; (2)解:∵OC∥BD, ∴△OCF∽△BDF,△EOC∽△EBD, ∴ ∴ , ,

∵OA=OB, ∴AE=OA=OB, ∴OC= OE, ∵∠ECO=90° , ∴∠E=30° ; (3)解:如图 2,过 A 作 AH⊥DE 于 H, ∵∠E=30° ∴∠EBD=60° ,

∴∠CBD=

EBD=30° ,

∵CD= , ∴BD=3,DE=3 ∴AE= BE=2, ∴AH=1, ∴EH= , ∴DH=2 ,

,BE=6,

在 Rt△DAH 中,AD=

=

=



点评:本题考查了切线的判定和性质,锐角三角函数,勾股定理相似三角形的判定和性质,圆周角定理, 正确的作出辅助线是解题的关键.

八、(本小题满分 10 分)
26.在平面直角坐标系中,已知 A、B 是抛物线 y=ax2(a>0)上两个不同的点,其中 A 在第二象限,B 在第一 象限. (1)如图 15-1 所示,当直线 AB 与 x 轴平行, ? AOB=90° ,且 AB=2 时,求此抛物线的解析式和 A、 B 两点的横坐标的乘积. (2)如图 15-2 所示,在(1)所求得的抛物线上,当直线 AB 与 x 轴不平行, ? AOB 仍为 90° 时,A、 B 两点的横坐标的乘积是否为常数?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. (3)在(2)的条件下,若直线 y=?2x?2 分别交直线 AB,y 轴于点 P、C,直线 AB 交 y 轴于点 D,且 ? BPC= ? OCP,求点 P 的坐标.

图 15-2 图 15-1 考点:二次函数综合题.


分析: (1) 如图 1, 由 AB 与 x 轴平行, 根据抛物线的对称性有 AE=BE=1, 由于∠AOB=90° , 得到 OE= AB=1, 求出 A(?1,1) 、B(1,1) ,把 x=1 时,y=1 代入 y=ax 得:a=1 得到抛物线的解析式 y=x ,A、B 两点的 横坐标的乘积为 xA?xB=?1 (2)如图 2,过 A 作 AM⊥x 轴于 M,BN⊥x 轴于 N 得到∠AMO=∠BNO=90° ,证出△AMO∽△BON, 2 得到 OM?ON=AM?BN,设 A(xA,yA) ,B(xB,yB) ,由于 A(xA,yA) ,B(xB,yB)在 y=x 图象上, 得到 yA= ,yB=
2 2 2

,即可得到结论;
2

(3)设 A(m,m ) ,B(n,n ) .作辅助线,证明△AEO∽△OFB,得到 mn=?1.再联立直线 m:y=kx+b 2 与抛物线 y=x 的解析式,由根与系数关系得到:mn=?b,所以 b=1;由此得到 OD、CD 的长度,从而得到 PD 的长度;作辅助线,构造 Rt△PDG,由勾股定理求出点 P 的坐标. 解答: 解: (1)如图 1,∵AB 与 x 轴平行, 根据抛物线的对称性有 AE=BE=1, ∵∠AOB=90° , ∴OE= AB=1, ∴A(?1,1) 、B(1,1) , 2 把 x=1 时,y=1 代入 y=ax 得:a=1, 2 ∴抛物线的解析式 y=x , A、B 两点的横坐标的乘积为 xA?xB=?1 (2)xA?xB=?1 为常数, 如图 2,过 A 作 AM⊥x 轴于 M,BN⊥x 轴于 N, ∴∠AMO=∠BNO=90° , ∴∠MAO+∠AOM=∠AOM+∠BON=90° , ∴∠MAO=∠BON, ∴△AMO∽△BON, ∴ ,

∴OM?ON=AM?BN, 设 A(xA,yA) ,B(xB,yB) , ∵A(xA,yA) ,B(xB,yB)在 y=x2 图象上, ∴,yA= xA2,yB= xB2, ∴?xA?xB=yA?yB= xA2? xB2, ∴xA? xB=?1 为常数; (3)设 A(m,m2) ,B(n,n2) , 如图 3 所示,过点 A、B 分别作 x 轴的垂线,垂足为 E、F,则易证△AEO∽△OFB. ∴ ,即 ,整理得:mn(mn+1)=0,

∵mn≠0,∴mn+1=0,即 mn=?1. 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,联立 ∵m,n 是方程的两个根,∴mn=?b. ,得:x ?kx?b=0.
2

∴b=1. ∵直线 AB 与 y 轴交于点 D,则 OD=1. 易知 C(0,?2) ,OC=2,∴CD=OC+OD=3. ∵∠BPC=∠OCP,∴PD=CD=3. 设 P(a,?2a?2) ,过点 P 作 PG⊥y 轴于点 G,则 PG=?a,GD=OG?OD=?2a?3. 2 2 2 在 Rt△PDG 中,由勾股定理得:PG +GD =PD , 2 2 2 2 即: (?a) +(?2a?3) =3 ,整理得:5a +12a=0, 解得 a=0(舍去)或 a=? 当 a=? ∴P(? 时,?2a?2= , ) . , ,

点评:本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质,勾股定理、相似三角形的 判定和性质、一元二次方程等知识点,有一定的难度.第(3)问中,注意根与系数关系的应用.


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