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河北省唐山市开滦第二中学2014-2015学年高一数学下学期期中试题


开滦二中 2014~2015 学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题: (在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 本大题共 12 小 题,每小题 5 分 ,共 60 分.) 1、若 a , b, c 为实数,则下列命题正确的是(
2 2 A.若 a ? b ,则 ac ? bc

) B.若 a ? b ? 0 ,则 a ? ab ? b
2 2

C.若 a ? b ? 0 ,则

1 1 ? a b

D.若 a ? b ? 0 ,则

b a ? a b


? ? 2.已知 ?ABC 中, A ? 30 , C ? 105 , b ? 8 ,则 a 等于(

A .4

B. 4 2

C. 4 3

D. 4 5 )

3.已 知 等 比 数 列 ?an ? 中 , a1 ? a2 ? 1, a4 ? a5 ? ?8 , 则 公 比 q ? ( (A) ?2 (B) 2 (C) ?

1 2

(D)

1 2
,则△ABC

4.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 是( ) A. 钝角三角形

B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形

?x ? 0 ? 5.已知实数 x,y 满足 ? y ? 0 ,则 z=4x+y 的最大值为( ?x ? y ? 2 ?
A 、10 B、8 C、2 D、0

)

6 等差数列 {an } ( 中,已知a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27, 则前9项和S9 的值为 A.66 7.若不等式 A. B. C. 中, 前 n 项和为 C. B.99 C.144 D.297 )



的解集是 R,则 m 的范围是( D. ,已知 D. , 则

8. 设等比数列 A. B.





9. 如图,D, C , B 三点在地面同一直线上, DC ? a ,

A



?
B C

?

1

D

——————————————————————————————————————————————————————————————— ——————————————————————————————————————————————————————————— 密 封 线 内 密 不 封 要 线 答 内 题 不 要 答 题 ——————————————————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————————————————

C , D 两点测得 A 点仰角分别是 ? , ? ?a ? ? ? ,则 A 点离地面的高度 AB 等于(
(A)



a sin ? ? sin ? sin ?? ? ? ? a sin ? ? cos ? sin ?? ? ? ?

(B)

a sin ? ? sin ? cos?? ? ? ? a cos? ? sin ? cos?? ? ? ?
5 ,且 a1 ? 5 ,设 ?a n ?的 n 项和为 Sn ,则使得 Sn 取得 7
C.7 或 8 D.8 或 9 )

(C)

(D)

10.已知数列 ?a n ?满足 an ?1 ? an ? 最大值的序号 n 的值为( ) A.7 B.8

11.在 ?ABC中,A ? 600,b ? 1, S ?ABC ? 3, 则

a?b?c ?( sin A ? sin B ? sin C

A.

8 3 3

B. 2 3

C.

26 3 3

D.

2 39 3

12. 已知关于 x 的不等式 为 A. 1 ( ) B. C. 2

在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a 的最小值

D.

考场号 座位号 准考证号

开滦二中 2014~2015 学年度高一年级期中考试数学试题 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线上) 13.若关于 x 的不等式 ax -6x+a <0 的解集是(1,m),则 m=________. 14 .在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,若 a ?
2 2

2 ,b ? 2 ,

sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为

?x ? y ? 1 ? 2 2 15.已知点 P ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 , O 为坐标原点,则 x ? y 的最小值为 ?2 x ? y ? 2 ?
_______________ . 16.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, cos
2

A 1 b ? ? ,则 ?ABC 的形 2 2 2c

状为_______________. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤) 。 17. (本小题满分 10 分)
2

(1)已知 x<

5 1 ,求函数 y=4x-2+ 的最大值; 4 4x ? 5

(2)已知 x>0,y>0 且 +

1 x

9 =1,求 x+y 的最小值. y

18. (本题满分 12 分)已知 ?an ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 ,且 a1,a3 , a9 成等比 数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 2

? ? 的前 n 项和 S
an

n

.

19、 (本题满分 12 分)如图,在 D 是 边 AC 的 中 点 , 且

? ABC 中 ,

AB ? AD ? 1 , BD ?
(1) 求 cos A 的值; (2)求 sin C 的值.

2 3 . 3

20. 设数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2an ? 2 ,数列 ?bn ? 满足 bn ? (1)求数 列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

1 . (n ? 1) log 2 an

21、△ABC 的内角 A、B 、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a ? b cos C ? c sin B (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值。

22 、 ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列 {an } 的 前

n 项 和 S n ? 2n , 数 列 {bn } 满 足

b1 ? ?1, bn?1 ? bn ? (2n ? 1)
(1)求数列 {an } 的通项 an ; (2)求数列 {bn } 的通项 bn ;

? n ? 1 ,2 ,3 ,?? .

3

(3)若 cn ?

an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . n

4

高一数学期中试题答案 一选择题 1~5 B B A A B 二、填空题 13、2 三、解答题 17、(1)x< 14、 6-10 B A A A C 11-12 D D

? 6

15、

1 2

16、直角三角形

5 ,∴4x-5<0. 4

∴y=4x-5+

1 1 +3=-[(5-4x)+ ]+3 4x ? 5 ?5 ? 4x ?
1 +3=1,ymax=1. ———— 5 分 ?5 ? 4x ?

≤-2

?5 ? 4x ?

(2)∵x>0,y>0 且 +

1 x

9 =1, y

∴x+y=(x+y) ? + ——————10 分

?1 ?x

y 9x 9? y 9x =16,即 x+y 的最小值为 16 ? =10+ + ≥10+2 x y y? x y
n ?1

18、 (1) an ? n ;———6 分(2) Sn = 2

? 2 .————12 分

19、 (1)在 ? ABD 中, AB ? AD ? 1 , BD ?

2 3 , 3
2

?2 3? 1 ?1 ? ? ? 2 2 2 3 ? AB ? AD ? BD 1 ? ? ? ;---6 分 ? cos A ? 2 ? 1? 1 3 2 ? AB ? AD
2 2

(2)由(1)知, cos A ?

1 2 2 2 ,且 0 ? A ? ? ,? sin A ? 1 ? cos A ? . 3 3

? D 是边 AC 的中点,? AC ? 2 AD ? 2 .
在 ?ABC 中, cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 12 ? 22 ? BC 2 1 ? ? , 2 ? AB ? AC 2 ? 1? 2 3

解得 BC ?

BC AB 33 ? .由正弦定理得, , sin A sin C 3

5

AB ? sin A ? sin C ? ? BC

1?

2 2 3 ? 2 66 .————12 分 33 33 3
n ————12 分 n ?1
acsinB= ac

20、 (1) an ? 2 n ——6 分 (2) Tn ? 21、(1) B=

(2)∵△ABC 的面积 S=

由题意及余弦定理得 4=a +c -2accos

2

2

a +c =4+

2

2

ac

又 a +c ≥2ac

2

2

4+

ac≥2ac

ac≤

等号当且仅当 a=c 时成立

∴S=

ac≤

=

因此△ABC 面积的最大值为 22、 (1)∵ S n ? 2 n , ∴ S n?1 ? 2 n?1 , (n ? 2) . ∴ an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 (n ? 2) .
1?1 当 n ? 1 时, 2 ? 1 ? S1 ? a1 ? 2 ,

∴ an ? ?

?2 (n ? 1), ?2
n ?1

(n ? 2).

(2)∵ bn?1 ? bn ? (2n ? 1) ∴ b2 ? b1 ? 1 , b3 ? b2 ? 3,

b4 ? b3 ? 5, bn ? bn?1 ? 2n ? 3 ,
以上各式相加得:

bn ? b1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? 2n ? 3? ?

? n ? 1??1 ? 2n ? 3? ?
2

? n ? 1?

2

6

? b1 ? ?1 ?bn ? n2 ? 2n
(3)由题意得 cn ? ?

??2 (n ? 1), ?(n ? 2) ? 2
n ?1

(n ? 2).

∴ Tn ? ?2 ? 0 ? 21 ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n?1 , ∴ 2Tn ? ?4 ? 0 ? 2 2 ? 1? 23 ? 2 ? 2 4 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n , ∴ ? Tn ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? ? ? 2 n?1 ? (n ? 2) ? 2 n

?

2(1 ? 2 n ?1 ) ? (n ? 2) ? 2 n 1? 2

= 2 n ? 2 ? (n ? 2) ? 2 n ? ?2 ? (n ? 3) ? 2 n , ∴

Tn ? 2 ? (n ? 3) ? 2 n
1



7


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