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高中数学立体几何方法题型总结


立体几何 重要定理: 1)直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这两条直线垂直于这个
平面. 2)直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直 线和交线平行. 3)平面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 4)两个平面垂直性质判定:如果一个平面与一条直线垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这个平面. 两个平面垂直性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面. P 5)推论:如果两个相交平面都垂直于第三平面,则它们交线垂直于第三平面. ? ? 证明:如图,找 O 作 OA、OB 分别垂直于 l 1 ,l 2 , B M A 因为 PM ? ? , OA ? ? , PM ? ? , OB ? ? 则 PM ? OA, PM ? OB . O
θ

一:夹角问题 ① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次 .

② 直线的倾斜角、 到

的角、 与

的夹角的取值范围依次是



异面直线所成角:范围: (0?,90?] (1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线构成三角形;解三角形求出角。(常用 到余弦定理 cos? ?

a2 ? b2 ? c2 ) 2ab

a θ b

c

(2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易 发现两条异面直线间的关系; (3)向量法。转化为向量的夹角 cos? ?

AB ? AC AB ? AC

(计算结果可能是其补角)

直线与平面所成的角错误!未找到引用源。

o ?0 , b? = b? ? 时 或 ∥

斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面的垂线段、斜 线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和 斜足的连线,是产生线面角的关键; 向量法:设直线 l 的方向向量为 l ,平面 ? 的法向量为 n , l 与 ? 所成的角为 ? , l 与 n 的夹角为 ? ,则有

?

?

?

?

? ? l ?n sin ? ? cos ? ? ? ? 的求法 l n
错误!未找到引用源。二面角 ? ? l ? ? 的平面角,错误!未找到引用源。 (1)定义法:在棱 l 上取一点 P,两个半平面内分别作 l 的垂线(射线)m、n,则射线 m 和 n 的夹角 ? 为二 面角 ? —l— ? 的平面角。

(2)三垂线法: (三垂线定理法:A∈α 作或证 AB⊥β 于 B,作 BO⊥棱于 O,连 AO, 则 AO⊥棱 l,∴∠AOB 为所求。 ) 向量法:设 n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的两个面 ? , ? 的法向量,则向量 n1 , n2 的夹

??

?? ?

??

?? ?

?? ?? ? n1 ? n2 角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,则 cos ? ? ?? ?? . ? n1 n2
二、空间距离问题
两异面直线间的距离 方法一:转化为线面距离。如图,m 和 n 为两条异面直线, n ? ? 且 m // ? ,则异面直 m 和 n 之间的距离可转化为直线 m 与平面 ? 之间的距离。
? m

n

方法二:高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行计算,直 接计算公垂线段的长度。 点到直线的距离:一般用三垂线定理作出垂线再求解; ? 向量法:点到直线距离:在直线 l 上找一点 ? ,过定点 ? 且垂直于直线 l 的向量为 n ,则定点 ? 到直线 l 的距

??? ? ? ?? ? n ??? ? ??? ? ? 离为 d ? ?? cos???, n? ? ? n
点到平面的距离

P

方法一:几何法。步骤 1:过点 P 作 PO ?

? 于 O,线段 PO 即为所求。

步骤 2:计算线段 PO 的长度。(直接解三角形;等体积法和等面积法;换点法)

? A

O

等体积法步骤:①在平面内选取适当三点,和已知点构成三棱锥;②求出此三棱锥的体积 V 和所取三点构成三角形 的面积 S;③由 V= 方法二:坐标法。
n

1 S·h,求出 h 即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离. 3
P O

d ? AP ? cos ? n ? AP ? ?

n ? AP n
α A

θ

线面距、面面距均可转化为点面距

三、平行与垂直问题
证明直线与平面的平行: (1)转化为线线平行; (2)转化为面面平行. 证明平面与平面平行: (1)转化为线面平行; (2)转化为线面垂直. 证明线线垂直: (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; 方法(2) :用线面垂直实现。
l m α
α A l

方法(3) :三垂线定理及其逆定理。
P O

PO ? ? ? l ?? ? ? ? ? l ? m l ? OA ? ? l ? PA m ? ?? l ?? ? ?

证明线面垂直: (1)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (2)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (3)转化 为该直线垂直于另一个平行平面; (4)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

方法(1) :用线线垂直实现。

方法二:用面面垂直实现。

β

l m

α
面面垂直:
β l

l ? AC ? ? ?? ? ? l ? AB ? ? ??l ?? ? ?? ? m ?? l ?? AC ? AB ? A? l ? m, l ? ? ? ? ? AC, AB ? ? ?

方法一:用线面垂直实现。
α

l ??? ??? ? ? l ? ??

方法二:计算所成二面角为直角。


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