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理科独立重复试验、条件概率


24 条件概率、独立事件、独立重复试验 【知识要点】
1.条件概率:对于任何两个事件 A 和 B,在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率叫做条件概率, P(AB) 用符号 P(B|A)来表示,其公式为 P(B|A)= . P(A) 2.条件概率具有的性质:①0≤P(B|A)≤1; ② 如果 B 和 C 是两互斥事件,则 P(B∪C|A)=P(B|A)+ P(C|A). 3.计算条件概率有两种方法. P(AB) n(AB) (1)利用定义 P(B|A)= ; (2)若 n(C)表示试验中事件 C 包含的基本事件的个数, 则 P(B|A)= P(A) n(A) 4.相互独立事件:对于事件 A、B,若 A 的发生与 B 的发生互不影响,则称 A、B 是相互独立事件. 5. 相互独立事件同时发生概率 (1)P(AB)=P(A)·P(B).(2)若 A 与 B 相互独立,则 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都相互独立. 6.独立重复试验 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每 一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的. 7.二项分布 在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 k,在每次试验中事件 A 发生的概率为 p,那么在 k n-k n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X=k)=Ck (k=0,1,2,?,n),此时 np (1-p) 称随机变量 X 服从二项分布,记作 X~B(n,p),并称 p 为成功概率. 题型一:条件概率 1.把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件 A, “第二次出现正面”为事件 B,则 P(B|A) 等于( 1 A. 2 ). 1 B. 4 1 C. 6 1 D. 8

2.(2011· 辽宁)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数” ,事件 B=“取 到的 2 个数均为偶数” ,则 P(B|A)等于( A. 1 8 1 B. 4 2 C. 5 ). 1 D. 2

3.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良学科网的概率是 0.75,连续两为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 4.袋中有 6 个黄色、4 个白色的乒乓球,作不放回抽样,每次任取一球,取 2 次,求 (1 在第一次取到白球的条件下,第二次取到黄色球的概率; (2 第二次才取到黄色球的概率。 题型二:相互独立事件同时发生概率 1.设两个独立事件 A 和 B 同时不发生的概率为 则事件 A 发生的概率 P(A)是______ 2,2014 新课标全国卷Ⅰ] 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都 有同学参加公益活动的概率为( )

1 ,A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相同, 9

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2 3 3.[2014· 湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 和 .现安排甲组研 3 5 发新产品 A,乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立.求至少有一种新产品研发成功的概率.

4.加工某种零件需要经过四道工序,已知一、二、三、四道工序的合格率分别为 序互不影响. (I)求该种零件的合格率; (II)从加工好的零件中任取 3 件,求至少取到 2 件合格品的概率;

9 8 7 6 、 、 、 且各道工 10 9 8 7

(Ⅲ)假设某人依次抽取 4 件加工好的零件检查,求恰好连续 2 次抽到合格品的概率 题型三:独立重复试验与二项分布 1 1.小王通过英语听力测试的概率是 ,他连续测试 3 次,那么其中恰有 1 次获得通过的概率是( 3 4 A. 9 2 B. 9 C. 4 27 2 D. 27

).

2.袋中有红、 黄、 绿色球各一个, 每次任取一个, 有放回地抽取三次, 球的颜色全相同的概率是________ 3.设 10 件产品中有 4 件次品,6 件正品,求下列事件的概率: (1)从中任取 5 件恰有 2 件次品; (2)从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品; 1 15, ?,则使 P(X=k)取最大值的 k 值为( 4.如果 X~B? 4? ? A.3 B.4 C.5

).

D.3 或 4

5.(2011· 山东)红队队员甲、 乙、 丙与蓝队队员 A、 B、 C 进行围棋比赛, 甲对 A、 乙对 B, 丙对 C 各一盘. 已 知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立.求红队至少两名队 员获胜的概率;

6.一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有 6 个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是 1 相互独立的,并且概率都是 .,求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 3

题型四:事件独立、对立、互斥的应用 1.[2014· 安徽卷] 甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜, 2 1 则判定获胜局数多者赢得比赛. 假设每局甲获胜的概率为 , 乙获胜的概率为 , 各局比赛结果相互独立. 3 3 求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率;

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2.(2011· 广东)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局 才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( 3 A. 4 2 B. 3 3 C. 5 1 D. 2 ).

3.甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为 0.6,被甲或乙解出的概率为 0.92. 求该题被乙独立解出的概率;

常见的独立事件题型:放回摸球问题 1.设 10 件产品中有 4 件次品,6 件正品,求下列事件的概率: (1)从中任取 5 件恰有 2 件次品; (2)从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品; 2.袋中有红、 黄、 绿色球各一个, 每次任取一个, 有放回地抽取三次, 球的颜色全相同的概率是________ 常见的独立事件题型:投篮、射击、天气预报、食品检验等问题 1.设甲、乙两名同学投篮,甲投中的概率为 0.7,乙投中的概率为 0.8,两人是否投中相 互之间没有影响,求: (I)两人各投篮 1 次,只有 1 人投中的概率; (II)每人各投篮 2 次,甲投中 1 次、乙投中 2 次的概率. 2.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率;

(2)求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

3.某气象站天气预报的准确率为 80%,计算(结果保留到小数点后面第 2 位) (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率;

(2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率;

(3)5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确的概率.

4.有一批食品出厂前要进行五项指标检验,如果有两项指标不合格,则这批食品不能出厂.已知每项指 标抽检是相互独立的,且每项抽检出现不合格的概率都是 0.2. (1)求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字);

(2)求直至五项指标全部验完毕,才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字).0.4096.

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常见的独立事件题型:比赛问题 1.甲、乙两人进行乒乓球比赛,在每一局比赛中,甲获胜的概率为 P(0 ? P ? 1) . (Ⅰ) 如果甲、乙两人共比赛 4 局,乙四局全负的概率不小于甲恰好胜 3 局的概率,试求 P 的取值范围; (Ⅱ) 如果 P ?

2 ,采用 3 局 2 胜制的比赛规则时,求甲获胜的概率; 3 1 吗?为什么? 4

(Ⅲ) 如果甲、乙两人比赛 10 局,那么甲恰好胜 5 局的概率可能是

2.某次乒乓球比赛的决赛在甲、乙两名选手之间举行,比赛采用五局三胜制,按以往比赛经验,甲胜乙 2 的概率为 . 3 (1)求比赛三局甲获胜的概率; (2)求甲获胜的概率. 3.高三(1)班、高三(2)班每班已选出 3 名学生组成代表队,进行乒乓球对抗赛. 比赛规则是:①按 “单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛;②代表队中每名队员至少参加一盘比赛,不得参加两盘单打 比赛.已知每盘比赛双方胜出的概率均为 . (Ⅰ)根据比赛规则,高三(1)班代表队共可排出多少种不同的出场阵容? (Ⅱ)高三(1)班代表队连胜两盘的概率是多少?

1 2

常见的独立事件题型:电路问题 1.(2011· 湖北高考)如图,用 K、A1、A2 三类不同的元件连接成一个系统,当 K 正常工作且 A1、A2 至少 有一个正常工作时,系统正常工作,已知 K、A1、A2 正常工作的概率依次为 0.9,0.8,0.8,则系统正常工 作的概率为( ).A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576

2.用 A,B,C,D 表示四类不同的元件连 接成系统 M.当元件 A,B 至少有一个正常工作且 元件 C,D 至少有一个正常工作时,系统 M 正常 工作.已知元件 A,B,C,D 正常工作的概率依次为 0.5,0.6,0.7,0.8,求元件连接成的系统 M 正常工作的概率.

A

C

M

1 3 3 3.三个元件 T1、 T2、 T3 正常工作的概率分别为 , , , 将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接 2 4 4
入电路. (Ⅰ)在如图的电路中,电路不发生故障的概率是多少? (Ⅱ)三个元件连成怎样的电路,才能使电路中不发生故障的概率最大?请画出此时电路图,并说明理 由.

B

D

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