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江苏省镇江一中2014—2015学年第一学期数学试卷2


镇江第一中学 2014-2015 学年第一学期数学试卷
一 填空题

1. 若 k ? R ,则 k ? 3 是方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线的 k ?3 k ?3

条件。

1 2.已知 P:| 2x-3 |>1;q: 2 >0,则 ? p 是 ? q 的_____ x

+x-6

___条件.

3.已知双曲线的两条准线将两焦点间的线段三等分,则双曲线的离心率是______________. 4. 曲线 y ? x3 在 P(1,1) 处的切线方程为 .

5.已知 P 是抛物线 y2=4x 上的一点,A(2,2)是平面内的一定点,F 是抛物线的焦点,当 P 点坐标是______ _时,PA+PF 最小. 6. 双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 左支上一点 ( a, b) 到其渐近线 y ? x 的距离是 2 , 则 a ? b 的值为 .

7.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线的方程为 y ? x ,则此双曲线两条准线间距离为___. m 4

8.设 P 为曲线 C : y ? x 2 ? x ? 1上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是 [?1,3] ,则 点 P 纵坐标的取值范围是________.

4 3 x ? bx 有三个单调区间,则 b 的取值范围是 . 3 1 2 2 10.已知命题 p :" ?x ? [1, 2], x ? ln x ? a ? 0" 与命题 q :" ?x ? R, x ? 2ax ? 8 ? 6a ? 0" 2
9. 若函数 y ? ? 都是真命题,则实数 a 的取值范围是 .

11.函数 y ? x ? 2 sin x在区间[?

2? 2? , ] 上的最大值为 3 3

x2 y 2 12.设 A, F 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点与右焦点,若在其右准线上存在点 a b
P ,使得线段 PA 的垂直平分线恰好经过点 F ,则椭圆的离心率的取值范围是________.
13 . 已 知 抛 物 线 y ? 2 px( p ? 0)上一点M( 1 ,m) 到 其 焦 点 的 距 离 为 5 , 双 曲 线
2

x2 ?

y2 ? 1 的左顶点为 A,若双曲线一条渐近线与直线 AM 垂直,则实数 a= a

1

14.若椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上任一点到其上顶点的最大距离恰好等于该椭圆的中心 a 2 b2
.

到其准线的距离,则该椭圆的离心率的取值范围是

二 填空题 15.已知 P:对任意 a∈[1,2],不等式 | m ? 5 |? a 2 ? 8 恒成立;

Q:函数 f ( x) ? x 3 ? mx2 ? (m ? 6) x ? 1存在极大值和极小值。求使“P 且 ? Q”为真命题的 m 的取 值范围。

16.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ACB ? 90 , E, F , G 分别是 AA 1 , AC, BB 1 的中
0

点,且 CG ? C1G .

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(Ⅰ)求证: CG // 平面BEF ; (Ⅱ)求证: CG ? 平面 AC 1 1G .
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2

17.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1的右焦点为 F,右准线为 l ,且直线 y ? x 与 l 相交于 A 点. m2 ? m m
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(Ⅰ)若⊙C 经过 O、F、A 三点,求⊙C 的方程; (Ⅱ)当 m 变化时, 求证:⊙C 经过除原点 O 外的另一个定点 B; (Ⅲ)若 AF AB ? 5 时,求椭圆离心率 e 的范围.
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18.已知圆 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,相互垂直的两条直线 l1 、 l2 都过点 A(a, 0) . (Ⅰ)若 l1 、 l2 都和圆 C 相切,求直线 l1 、 l2 的方程; (Ⅱ) 当 a ? 2 时, 若圆心为 M (1, m) 的圆和圆 C 外切且与直线 l1 、l2 都相切, 求圆 M 的 方程; (Ⅲ)当 a ? ?1 时,求 l1 、 l2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值. 新课 标第 一网 已知椭圆焦点在 x 轴上且长轴长 | A 1 A2 |? 6 ,焦距 | F 1 作一直线, 1F 2 |? 4 2 ,过椭圆焦点 F 交椭圆于两点 M, N, 设 MN 的倾斜角为 ? , 当 ? 取什么值时, |MN|等于椭圆的短轴长?

3

19.双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,O 为原点,点 A 在双曲 a2 b2

线的右支上,点 B 在双曲线左准线上, OF2 ? OA ? OA? OB. , F2 O ? AB (1)求双曲线的离心率 e; (2)若此双曲线过 C(2, 3 ) ,求双曲线的方程; (3)在(2)的条件下,D1、D2 分别是双曲线的虚轴端点(D2 在 y 轴正半轴上) ,过 D1 的直线 l 交双曲线 M、N, D2 M ? D2 N , 求直线l 的方程。

20 已知椭圆焦点在 x 轴上且长轴长 | A 1 A2 |? 6 ,焦距 | F 1 作一直 1F 2 |? 4 2 ,过椭圆焦点 F 线,交椭圆于两点 M, N,设 MN 的倾斜角为 ? ,当 ? 取什么值时,|MN|等于椭圆的短 轴长?

4

1.充分不必要; 2.充分不必要条件; 3. e ? 6. ?

3 . 4. y ? 3x ? 2 . 5. (1,2) ;
? ? 1? ?

1 2

; 7. 2 2 ; 8. [ , 3] ; 9. b ? 0 . 10. ? ??, ?4? ? ? ?2, ? 4 2

3

?1 ? 1 ; 12. ? ,1? ; 13. 4 3 ?2 ? 15.若 P 真,则 m ? [2,8] ;
11. 3 ?

?

; 14. [

2 ,1) 2

若 Q 真,则 ? ? 0 即 m ? 6或m ? ?3 。www.xkb1.com 当 P 真且 ?Q 为真时, m ? [2,6] 16.证:(Ⅰ)连接 AG 交 BE 于 D ,连接 DF , EG . ∵ E , G 分别是 AA1 , BB1 的中点,∴ AE ∥ BG 且 AE = BG ,∴四边形 AEGB 是矩形. ∴ D 是 AG 的中点…………………………………………………(3 分) 又∵ F 是 AC 的中点,∴ DF ∥ CG ………………………………………………………(5 分) 则由 DF ? 面BEF , CG ? 面BEF ,得 CG ∥ 面BEF …………………………………(7 分) (注:利用面面平行来证明的,类似给分) (Ⅱ) ∵在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, C1C ⊥底面 A1B1C1 ,∴ C1C ⊥ AC 1 1.
0 又∵ ?AC 1C1CB ………(9 分) 1 ⊥ AC 1 1 ,∴ AC 1 1 ⊥面 B 1 1B 1 ? ?ACB ? 90 ,即 C1 B

CG ……………………………(12 分) 而 CG ? 面 B1C1CB ,∴ AC 1 1⊥
又 CG ? C1G ,∴ CG ? 平面 AC 1 1G ………………………………………(14 分) 17.解:(Ⅰ)

a2 ? m2 ? m, b2 ? m,?c2 ? m2 ,即 c ? m , ? F (m,0) ,准线 x ? 1 ? m ,? A(1 ? m,1 ? m) …………………(2 分)
设⊙C 的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将 O、F、A 三点坐标代入得:

?F ? 0 ? 2 , ?m ? Dm ? 0 ? 2 ? 2m ? D ? E ? 0 ? ?F ? 0 ? 解得 ? D ? ? m ………………………………………………………(4 分) ? E ? ?2 ? m ?
∴⊙C 的方程为 x ? y ? mx ? (2 ? m) y ? 0 …
2 2

(Ⅱ)设点 B 坐标为 ( p, q) ,则 p ? q ? mp ? (2 ? m)q ? 0 ,整理得:
2 2

p2 ? q2 ? 2q ? m( p ? q) ? 0 对任意实数 m 都成立………) ?p?q ? 0 ? p ? 0 ? p ? ?1 ∴? 2 , 解得 或? , ? 2 ? p ? q ? 2q ? 0 ? q ? 0 ?q ? 1 故当 m 变化时,⊙C 经过除原点 O 外的另外一个定点 B (?1,1) …
(Ⅲ)由 B (?1,1) 、 F (m,0) 、 A(1 ? m,1 ? m) 得 AF ? (?1, ?1 ? m) , AB ? (?2 ? m, ?m) ∴ AF ? AB ? m ? 2m ? 2 ? 5 ,
2

5

解得 ?3 ? m ? 1 ……………………………………………(12 分)

?m 2 ? m ? 0 又? ,∴ 0 ? m ? 1 ……… m ? 0 ?

m2 1 又椭圆的离心率 e ? ( 0 ? m ? 1) ? ? 2 2 1 m ?m m ?m 1? m m
∴椭圆的离心率的范围是 0 ? e ?

2 …… 2
1 ( x ? a ) …… k

18.解: (1)根据题意得 l1 , l 2 的斜率都存在,设 l1 : y ? k ( x ? a ), 则l 2 : y ? ? (1 分)

? 2k ? ak ?2 ? 2 k ? 1 ? 则? ? 2?a ? 2 ? 2 ? k ?1

k ? ?1, a ? ?2 ? 2 2

? l1 , l 2的方程分别是 l1 : y ? x ? 2 2 ? 2与l 2 : y ? ? x ? 2 2 ? 2; 或l1 : y ? x ? 2 2 ? 2与l 2 : y ? ? x ? 2 2 ? 2
分) (2)设圆的半径为 r ,则

…………………… ( 6

2 2 2 ? ?r ? 2 ( ? 1 - 2) ? m ? 2r 解得 ? ? 2 2 2 ? ( ?m ? ? 7 ? 1 ? 2) ? m ? (2 ? r ) 所以所求圆 M 的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 7 ) 2 ? 4 ……………………(11 分) (3)当 a ? ?1 时, l1 、 l2 被圆 C 所截得弦的中点分别是 E、F,当 a ? ?1 时, l1 、 l2 被圆 C

所截得弦长分别是 d1、d 2 ;圆心为 B,则 AEBF 为矩形, 所以 BE ? BF
2 2

? AB 2 ? 1 ,即 (4 ? (

d1 2 d ) ) ? (4 ? ( 2 ) 2 ) ? 1 2 2
……………………(14 分)

2 ? d12 ? d 2 ? 28,

所以 d1 ? d 2 ?

2 2 d12 ? d 2 ? 2 14

即 l1 、 l2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值 2 14

……………………(16 分)

6


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