当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学经典高考难题集锦(解析版)


2015 年 10 月 18 日姚杰的高中数学组卷
一.解答题(共 10 小题) 1. (2012?宣威市校级模拟)设点 C 为曲线 (x>0)上任一点,以点 C 为圆心的圆与 x

轴交于点 E、A,与 y 轴交于点 E、B. (1)证明多边形 EACB 的面积是定值,并求这个定值; (2)设直线 y=﹣2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若|EM

|=|EN|,求圆 C 的方程. 2. (2010?江苏模拟)已知直线 l:y=k(x+2 )与圆 O:x +y =4 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点,三角形 ABO 的面积为 S. (Ⅰ)试将 S 表示成的函数 S(k) ,并求出它的定义域; (Ⅱ)求 S 的最大值,并求取得最大值时 k 的值. 3. (2013?越秀区校级模拟) 已知圆满足: ①截 y 轴所得弦长为 2; ②被 x 轴分成两段圆弧, 其弧长的比为 3:1;③圆心到直线 l:x﹣2y=0 的距离为 .求该圆的方程.
2 2

4. (2013?柯城区校级三模)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 y 轴上,且过点(2,1) . (Ⅰ)求抛物线的标准方程; (Ⅱ)是否存在直线 l:y=kx+t,与圆 x +(y+1) =1 相切且与抛物线交于不同的两点 M, N,当∠MON 为钝角时,有 S△ MON=48 成立?若存在,求出直线的方程,若不存在,说明 理由.
2 2

5. (2009?福建) (1)已知矩阵 M 5) ,试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标. (2)已知直线 l:3x+4y﹣12=0 与圆 C: 点个数; (3)解不等式|2x﹣1|<|x|+1.

所对应的线性变换把点 A(x,y)变成点 A′(13,

(θ 为参数 )试判断他们的公共

第 1 页(共 23 页)

6. (2009?东城区一模)如图,已知定圆 C:x +(y﹣3) =4,定直线 m:x+3y+6=0,过 A (﹣1,0)的一条动直线 l 与直线相交于 N,与圆 C 相交于 P,Q 两点,M 是 PQ 中点. (Ⅰ)当 l 与 m 垂直时,求证:l 过圆心 C; (Ⅱ)当 时,求直线 l 的方程; (Ⅲ)设 t= 由. ,试问 t 是否为定值,若为定值,请求出 t 的值;若不为定值,请说明理

2

2

7. (2009?天河区校级模拟)已知圆 C: (x+4) +y =4,圆 D 的圆心 D 在 y 轴上且与圆 C 外切,圆 D 与 y 轴交于 A、B 两点,定点 P 的坐标为(﹣3,0) . (1)若点 D(0,3) ,求∠APB 的正切值; (2)当点 D 在 y 轴上运动时,求∠APB 的最大值; (3)在 x 轴上是否存在定点 Q,当圆 D 在 y 轴上运动时,∠AQB 是定值?如果存在,求 出 Q 点坐标;如果不存在,说明理由. 8. (2007?海南)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y ﹣12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P (0,2)且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A,B. (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在常数 k,使得向量 说明理由. 9.如图,已知圆心为 O,半径为 1 的圆与直线 l 相切于点 A,一动点 P 自切点 A 沿直线 l 向右移动时,取弧 AC 的长为 ,直线 PC 与直线 AO 交于点 M.又知当 AP= 时,点 与 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请
2 2

2

2

P 的速度为 v,求这时点 M 的速度.

第 2 页(共 23 页)

10.过原点 O 作圆 x +y ﹣2x﹣4y+4=0 的任意割线交圆于 P1,P2 两点,求 P1P2 的中点 P 的 轨迹.

2

2

第 3 页(共 23 页)

2015 年 10 月 18 日姚杰的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一.解答题(共 10 小题) 1. (2012?宣威市校级模拟)设点 C 为曲线 (x>0)上任一点,以点 C 为圆心的圆与 x

轴交于点 E、A,与 y 轴交于点 E、B. (1)证明多边形 EACB 的面积是定值,并求这个定值; (2)设直线 y=﹣2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若|EM|=|EN|,求圆 C 的方程. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)由题意,由于以点 C 为圆心的圆与 x 轴交于点 E、A,与 y 轴交于点 E、B,所 以先得到点 E 为原点,利用方程的思想设出圆心 C 的坐标,进而利用面积公式求解; (2)由于|EM|=|EN|此可以转化为点 E 应在线段 MN 的垂直平分线上,利用圆的性质 可得 EC 与 MN 垂直建立 t 的方程求解即可. 解答: 解:
菁优网版权所有

(1)证明:点

(t>0) ,

因为以点 C 为圆心的圆与 x 轴交于点 E、A,与 y 轴交于点 E、B. 所以点 E 是直角坐标系原点,即 E(0,0) . 于是圆 C 的方程是 . 由|CE|=|CA|=|CB|知,圆心 C 在 Rt△ AEB 斜边 AB 上, 于是多边形 EACB 为 Rt△ AEB, 其面积 . .则

所以多边形 EACB 的面积是定值,这个定值是 4. (2)若|EM|=|EN|,则 E 在 MN 的垂直平分线上,即 EC 是 MN 的垂直平分线, ,kMN=﹣2. 所以由 kEC?kMN=﹣1,得 t=2, 2 2 所以圆 C 的方程是(x﹣2) +(y﹣1) =5. 点评: (1)重点考查了利用方程的思想用以变量 t 写出圆的方程,判断出圆心 O 在 AB 上, 故四边形为直角三角形,还考查了三角形的面积公式; (2)重点考查了垂直平分线的等价式子,还考查了方程的求解思想,及两直线垂直 的实质解直线的斜率互为负倒数.
第 4 页(共 23 页)

2. (2010?江苏模拟)已知直线 l:y=k(x+2 )与圆 O:x +y =4 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点,三角形 ABO 的面积为 S. (Ⅰ)试将 S 表示成的函数 S(k) ,并求出它的定义域; (Ⅱ)求 S 的最大值,并求取得最大值时 k 的值. 考 直线与圆的位置关系;二次函数的性质. 点: 专 计算题;压轴题. 题: 分 (Ⅰ)先求出原点到直线的距离,并利用弦长公式求出弦长,代入三角形的面积公式进 析:行化简. (Ⅱ)换元后把函数 S 的解析式利用二次函数的性质进行配方,求出函数的最值,注意 换元后变量范围的改变. 解 解: (Ⅰ)直线 l 方程 , 答: 原点 O 到 l 的距离为 (3 分)
菁优网版权所有

2

2

弦长

(5 分)

?ABO 面积 ∵|AB|>0,∴﹣1<K<1(K≠0) ,? ∴ (Ⅱ) 令

?

(﹣1<k<1 且 K≠0) (8 分) , ,

∴ . ∴当 t= 时, 时,Smax=2(12 分)

点 本题考查点到直线的距离公式、 弦长公式的应用, 以及利用二次函数的性质求函数的最 评:大值,注意换元中变量范围的改变. 3. (2013?越秀区校级模拟) 已知圆满足: ①截 y 轴所得弦长为 2; ②被 x 轴分成两段圆弧, 其弧长的比为 3:1;③圆心到直线 l:x﹣2y=0 的距离为
第 5 页(共 23 页)

.求该圆的方程.

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 设出圆 P 的圆心坐标,由圆被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3:1,得到圆 P 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为 90°,根据垂径定理得到圆截 x 轴的弦长,找出 r 与 b 的关 系式,又根据圆与 y 轴的弦长为 2,利用垂径定理得到 r 与 a 的关系式,两个关系式 联立得到 a 与 b 的关系式; 然后利用点到直线的距离公式求出 P 到直线 x﹣2y=0 的距
菁优网版权所有

离,让其等于

,得到 a 与 b 的关系式,将两个 a 与 b 的关系式联立即可求出 a 与 b

的值,得到圆心 P 的坐标,然后利用 a 与 b 的值求出圆的半径 r,根据圆心和半径写 出圆的方程即可. 解答: 解:设圆 P 的圆心为 P(a,b) ,半径为 r, 则点 P 到 x 轴,y 轴的距离分别为|b|,|a|. 由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为 90°, 知圆 P 截 x 轴所得的弦长为 .故 r =2b 2 2 2 2 又圆 P 被 y 轴所截得的弦长为 2,所以有 r =a +1.从而得 2b ﹣a =1; 又因为 P (a, b) 到直线 x﹣2y=0 的距离为 , 所以 = , 即有 a﹣2b=±1,
2 2

由此有



解方程组得


2

,于是 r =2b =2,
2 2 2

2

2

所求圆的方程是: (x+1) +(y+1) =2,或(x﹣1) +(y﹣1) =2. 点评: 本小题主要考查轨迹的思想, 考查综合运用知识建立曲线方程的能力, 是一道中档题. 4. (2013?柯城区校级三模)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 y 轴上,且过点(2,1) . (Ⅰ)求抛物线的标准方程; 2 2 (Ⅱ)是否存在直线 l:y=kx+t,与圆 x +(y+1) =1 相切且与抛物线交于不同的两点 M, N,当∠MON 为钝角时,有 S△ MON=48 成立?若存在,求出直线的方程,若不存在,说明 理由.

考点: 直线与圆的位置关系;平面向量数量积的运算;抛物线的标准方程. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
第 6 页(共 23 页)

菁优网版权所有

2 分析: (Ⅰ) 设抛物线方程为 x =2py,把点(2,1)代入运算求得 p 的值,即可求得抛物 线的标准方程.

(Ⅱ) 由直线与圆相切可得

.把直线方程代入抛物线方程

并整理,由△ >0 求得 t 的范围.利用根与系数的关系及

,求得

,求得点 O 到直线的距离,从而求得 ,由此函数在(0,4)单调递增,故有 而得出结论. 2 解答: 解: (Ⅰ) 设抛物线方程为 x =2py, 2 由已知得:2 =2p,所以 p=2, 2 所以抛物线的标准方程为 x =4y. (Ⅱ) 不存在. 因为直线与圆相切,所以
2

,从



把直线方程代入抛物线方程并整理得:x ﹣4kx﹣4t=0. 2 2 由△ =16k +16t=16(t +2t)+16t>0,得 t>0 或 t<﹣3. 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 x1+x2=4k 且 x1?x2=﹣4t, ∴ ∵∠MON 为钝角,∴ ∵ ,解得 0<t<4, , .

点 O 到直线的距离为 (0,4)单调递增, ∴

,∴

,易证



,故不存在直线,当∠MON 为钝角时,S△ MON=48 成立.

点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,两个向量的数量积公式的应用,点到直线的距离 公式,利用函数的单调性求函数的值域,属于中档题.
第 7 页(共 23 页)

5. (2009?福建) (1)已知矩阵 M 5) ,试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标. (2)已知直线 l:3x+4y﹣12=0 与圆 C: 点个数; (3)解不等式|2x﹣1|<|x|+1.

所对应的线性变换把点 A(x,y)变成点 A′(13,

(θ 为参数 )试判断他们的公共

考点: 直线与圆的位置关系;二阶矩阵;绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;压轴题;转化思想. 分析: (1)由矩阵的线性变换列出关于 x 和 y 的一元二次方程组,求出方程组的解集即可 得到点 A 的坐标;可设出矩阵 M 的逆矩阵,根据逆矩阵的定义得到逆矩阵与矩阵 M 的乘积等于单位矩阵,得到一个一元二次方程组,求出方程组的解集即可得到 M 的 逆矩阵; (2)把圆的参数方程化为普通方程后,找出圆心坐标与半径,然后利用点到直线的 距离公式求出圆心到直线的距离 d 与半径 r 比较大小得到直线与圆的位置关系,即可 得到交点的个数;
菁优网版权所有

(3)分三种情况 x 大于等于 ,x 大于等于 0 小于 和 x 小于 0,分别化简绝对值后, 求出解集,即可得到原不等式的解集.三个题中任选两个作答即可. 解答: 解: (1)由题意可知 (x,y)=(13,5) ,即 ,

解得

,所以 A(2,﹣3) ;

设矩阵 M 的逆矩阵为

,则

?

=

,即





,解得 a=﹣1,b=3,c=﹣1,d=2

所以矩阵 M 的逆矩阵为


2 2

(2)把圆的参数方程化为普通方程得(x+1) +(y﹣2) =4,圆心(﹣1,2) ,半径 r=2 则圆心到已知直线的距离 d= 交,
第 8 页(共 23 页)

= <2=r,得到直线与圆的位置关系是相

所以直线与圆的公共点有两个; (3)当 x≥ 时,原不等式变为:2x﹣1<x+1,解得 x<2,所以原不等式的解集为[ , 2) ; 当 0≤x< 时,原不等式变为:1﹣2x<x+1,解得 x>0,所以原不等式的解集为(0, ) ; 当 x<0 时,原不等式变为:1﹣2x<﹣x+1,解得 x>0,所以原不等式无解. 综上,原不等式的解集为[0,2) . 点评: 此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换, 灵活运用点到直线的距离公 式化简求值,掌握直线与圆的位置关系的判断方法,会利用讨论的方法求绝对值不等 式的解集,是一道综合题. 6. (2009?东城区一模)如图,已知定圆 C:x +(y﹣3) =4,定直线 m:x+3y+6=0,过 A (﹣1,0)的一条动直线 l 与直线相交于 N,与圆 C 相交于 P,Q 两点,M 是 PQ 中点. (Ⅰ)当 l 与 m 垂直时,求证:l 过圆心 C; (Ⅱ)当 时,求直线 l 的方程; (Ⅲ)设 t= 由. ,试问 t 是否为定值,若为定值,请求出 t 的值;若不为定值,请说明理
2 2

考 直线与圆的位置关系;平面向量数量积的运算;直线的一般式方程. 点: 专 压轴题. 题: 分 (Ⅰ)根据已知,容易写出直线 l 的方程为 y=3(x+1) .将圆心 C(0,3)代入方程易 析:知 l 过圆心 C. (Ⅱ)过 A(﹣1,0)的一条动直线 l.应当分为斜率存在和不存在两种情况;当直线 l 与 x 轴垂直时,进行验证.当直线与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1) ,
菁优网版权所有

第 9 页(共 23 页)

由于弦长 ,利用垂径定理,则圆心 C 到弦的距离|CM|=1.从而解得斜率 K 来得出直线 l 的方程为. (Ⅲ)同样,当 l 与 x 轴垂直时,要对设 t= ,进行验证.当 l 的斜率存在时,设

直线 l 的方程为 y=k (x+1) , 代入圆的方程得到一个二次方程. 充分利用“两根之和”和“两 根之积”去找 .再用两根直线方程联立,去找 .从而确定 t= 的代数表达式,

再讨论 t 是否为定值. 解 解: (Ⅰ)由已知 ,故 kl=3, 答: 所以直线 l 的方程为 y=3(x+1) . 将圆心 C(0,3)代入方程易知 l 过圆心 C. (3 分) (Ⅱ)当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=﹣1 符合题意; (4 分) 当直线与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1) ,由于 所以|CM|=1.由 ,解得 .



故直线 l 的方程为 x=﹣1 或 4x﹣3y+4=0. (8 分) (Ⅲ)当 l 与 x 轴垂直时,易得 M(﹣1,3) , 又 A(﹣1,0)则 , ,故 , .即 t=﹣5. (10

分) 2 2 2 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1) ,代入圆的方程得(1+k )x +(2k 2 ﹣6k)x+k ﹣6k+5=0. 则 , ,





=



又由





则 故 t=



. 综上,t 的值为定值,且 t=﹣5. (14 分)
第 10 页(共 23 页)

另解一:连接 CA,延长交 m 于点 R,由(Ⅰ)知 AR⊥m.又 CM⊥l 于 M, 故△ ANR∽△AMC.于是有|AM|?|AN|=|AC|?|AR|. 由 故 ,得|AM|?|AN|=5. (14 分)

另解二: 连接 CA 并延长交直线 m 于点 B, 连接 CM, CN, 由 (Ⅰ) 知 AC⊥m, 又 CM⊥l, 所以四点 M,C,N,B 都在以 CN 为直径的圆上, 由相交弦定理得 . (14 分)

点 (1)用直线方程时,一定要注意分为斜率存在和不存在两种情况.一般是验证特殊, 评:求解一般. (2)解决直线与圆相交弦相关计算时一般采用垂径定理求解. (3)涉及到直线和圆、圆锥曲线问题时,常常将直线代入曲线方程得到一个一元二次 方程,再充分利用“两根之和”和“两根之积”整体求解.这种方法通常叫做“设而不求”. 7. (2009?天河区校级模拟)已知圆 C: (x+4) +y =4,圆 D 的圆心 D 在 y 轴上且与圆 C 外切,圆 D 与 y 轴交于 A、B 两点,定点 P 的坐标为(﹣3,0) . (1)若点 D(0,3) ,求∠APB 的正切值; (2)当点 D 在 y 轴上运动时,求∠APB 的最大值; (3)在 x 轴上是否存在定点 Q,当圆 D 在 y 轴上运动时,∠AQB 是定值?如果存在,求 出 Q 点坐标;如果不存在,说明理由. 考 直线和圆的方程的应用. 点: 专 计算题;证明题;压轴题. 题: 2 2 分 (1)由已知中圆 C: (x+4) +y =4,点 D(0,3) ,我们易求出 CD 的长,进而求出圆 析:D 的半径,求出 A,B 两点坐标后,可由 tan∠APB=kBP 得到结果. (2)设 D 点坐标为(0,a) ,圆 D 半径为 r,我们可以求出对应的圆 D 的方程和 A,B 两点的坐标,进而求出∠APB 正切的表达式(含参数 r) ,求出其最值后,即可根据正 切函数的单调性,求出∠APB 的最大值; (3)假设存在点 Q(b,0) ,根据∠AQB 是定值,我们构造关于 b 的方程,若方程有 解,则存在这样的点,若方程无实根,则不存在这样的点. 解 解: (1)∵|CD|=5, 答:∴圆 D 的半径 r=5﹣2=3,此时 A、B 坐标分别为 A(0,0) 、B(0,6) ∴tan∠APB=kBP=2(3 分) 2 2 (2)设 D 点坐标为(0,a) ,圆 D 半径为 r,则(r+2) =16+a ,A、B 的坐标分别为 (0,a﹣r) , (0,a+r)
菁优网版权所有

2

2





第 11 页(共 23 页)



=

=

∵|r+2| ≥16, ∴r≥2, ∴8r﹣6≥10, ∴ ∴ (3)假设存在点 Q(b,0) ,由 . (8 分) , ,得

2

∵a =(r+2) ﹣16, ∴
2

2

2

欲使∠AQB 的大小与 r 无关,则当且仅当 b =12,即 此时有 ,即得∠AQB=60°为定值,



故存在 或 ,使∠AQB 为定值 60°. (13 分) 2 2 点 本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用,其中根据已知中圆 C: (x+4) +y =4,圆 评:D 的圆心 D 在 y 轴上且与圆 C 外切,圆 D 与 y 轴交于 A、B 两点,确定圆 D 的方程, 进而求出 A,B 的方程是解答本题的关键. 8. (2007?海南)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y ﹣12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P (0,2)且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A,B. (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在常数 k,使得向量 说明理由. 考点: 直线和圆的方程的应用;向量的共线定理. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ)先把圆的方程整理成标准方程,进而求得圆心,设出直线方程代入圆方程整理 后,根据判别式大于 0 求得 k 的范围, (Ⅱ)A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,根据(1)中的方程和韦达定理可求得 x1+x2 的表达
菁优网版权所有

2

2



共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请

第 12 页(共 23 页)

式, 根据直线方程可求得 y1+y2 的表达式, 进而根据以



共线可推知 (x1+x2)

=﹣3(y1+y2) ,进而求得 k,根据(1)k 的范围可知,k 不符合题意. 2 2 解答: 解: (Ⅰ)圆的方程可写成(x﹣6) +y =4,所以圆心为 Q(6,0) ,过 P(0,2) 且斜率为 k 的直线方程为 y=kx+2. 代入圆方程得 x +(kx+2) ﹣12x+32=0, 2 2 整理得(1+k )x +4(k﹣3)x+36=0. ① 2 2 2 2 直线与圆交于两个不同的点 A,B 等价于△ =[4(k﹣3) ]﹣4×36(1+k )=4 (﹣8k ﹣6k)>0, 解得 ,即 k 的取值范围为 . ,
2 2

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则

由方程①, 又 y1+y2=k(x1+x2)+4. ③ 而 所以 与



. 共线等价于(x1+x2)=﹣3(y1+y2) , . ,故没有符合题意的常数 k.

将②③代入上式,解得 由(Ⅰ)知

点评: 本题主要考查了直线与圆的方程的综合运用.常需要把直线方程与圆的方程联立,利 用韦达定理和判别式求得问题的解. 9.如图,已知圆心为 O,半径为 1 的圆与直线 l 相切于点 A,一动点 P 自切点 A 沿直线 l 向右移动时,取弧 AC 的长为 ,直线 PC 与直线 AO 交于点 M.又知当 AP= 时,点

P 的速度为 v,求这时点 M 的速度.

考 直线与圆的位置关系. 点: 专 压轴题. 题: 分 设 AP 的长为 x,AM 的长为 y,用 x 表示 y,并用复合函数求导法则对时间 t 进行求导.
菁优网版权所有

第 13 页(共 23 页)

析: 解 解:如图,作 CD⊥AM,并设 AP=x,AM=y,∠COA=θ, 答: 由题意弧 AC 的长为 ,半径 OC=1,可知 θ= ,考虑 θ∈(0,π) . ∵△APM∽△DCM,∴ .

∵DM=y﹣(1﹣cos

) ,DC=sin

,∴





上式两边对时间 t 进行求导,则 y′t=y′x?x′t. ∴y′t=



时,x′t=v,代入上式得点 M 的速度



点 本题是难度较大题目,考查了弦长、弧度、相似、特别是复合函数的导数,以及导数的 评: 几何意义; 同时也考查了逻辑思维能力和计算能力. 10.过原点 O 作圆 x +y ﹣2x﹣4y+4=0 的任意割线交圆于 P1,P2 两点,求 P1P2 的中点 P 的 轨迹.
2 2

第 14 页(共 23 页)

考点: 直线与圆的位置关系;轨迹方程. 专题: 计算题;压轴题;数形结合. 2 2 分析: 设割线 OP1P2 的直线方程为 y=kx 与圆的方程联立得(1+k )x ﹣2(1+2k)x+4=0,
菁优网版权所有

再由韦达定理得:

,因为 P 是 P1P2 的中点,所以

,再由 P 点在直线 y=kx 上,得到

,代入上式得

整理即可.要注意范围. 解答: 解:设割线 OP1P2 的直线方程为 y=kx 代入圆的方程, 得:x +k x ﹣2x﹣4kx+4=0 2 2 即(1+k )x ﹣2(1+2k)x+4=0 设两根为 x1,x2 即直线与圆的两交点的横坐标; 由韦达定理得:
2 2 2

又设 P 点的坐标是(x,y) P 是 P1P2 的中点,所以 又 P 点在直线 y=kx 上,



,代入上式得

两端乘以 即 x +y =x+2y
2 2

,得

(0<x< ) 这是一个一点 为中心,以 为半径的圆弧,

所求轨迹是这个圆在所给圆内的一段弧. 点评: 本题主要考查直线与圆的位置关系,韦达定理,中点坐标公式及点的轨迹方程.

第 15 页(共 23 页)

考点卡片
1.二次函数的性质 【知识点的认识】 其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中 学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移. 【解题方法点拨】 2 以 y=ax +bx+c 为例: ①开口、对称轴、最值与 x 轴交点个数,当 a>0(<0)时,图象开口向上(向下) ;对 称轴 x=﹣ ;最值为:f(﹣ ) ;判别式△ =b ﹣4ac,当△ =0 时,函数与 x 轴只有一个交
2

点;△ >0 时,与 x 轴有两个交点;当△ <0 时无交点. ②根与系数的关系.若△ ≥0,且 x1、x2 为方程 y=ax +bx+c 的两根,则有 x1+x2=﹣ , x1?x2= ; ③二次函数其实也就是抛物线,所以 x =2py 的焦点为(0, ) ,准线方程为 y=﹣ , 含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离. ④平移:当 y=a(x+b) +c 向右平移一个单位时,函数变成 y=a(x﹣1+b) +c; 2 例题:y=2x +x﹣3 那么由 2>0,可知抛物线开口向上,对称轴为 x=﹣ ,最小值为 f(﹣ )=﹣ △ =1+24=25>0,故方程 2x +x﹣3=0 有两个根,其满足 x1+x2=﹣ ;x1?x2=﹣ ; 另外,方程可以写成(y+
2 2 2 2 2 2

, ;

)=2(x+ ) ,当沿 x 轴向右 ,在向下平移

2

时,就变

成 y=2x ; 【命题方向】 重点关注高中所学的抛物线的焦点、 准线和曲线的平移. 另外在解析几何当做要灵活运 用韦达定理. 2.向量的共线定理 【概念】 共线向量又叫平行向量,指的是方向相同或方向相反的向量. 【定理】 假设向量 =(1,2) ,向量 =(2,4) ,则 =2 ,那么向量 与向量 平行,且有 1×4 ﹣2×2=0,即当向量 =(x1,y1)与向量 =(x2,y2)平行时,有 x1?y2﹣x2?y1=0,这也是 两向量平行的充要条件.
第 16 页(共 23 页)

【例题解析】 例:设 与 是两个不共线的向量,且向量 解; ∵向量 ∴2=k.﹣1=λk 解得,λ=﹣0.5 故答案为﹣0.5. 根据向量共线的充要条件,若向量 与 共线,就能得到含 λ 的等式, 与 与 共线,则 λ= ﹣0.5 . =k ( )

共线, ∴存在常数 k, 使得

解出 λ 即可. 【考点分析】 向量共线定理和向量垂直定理是向量里面最重要的两个定理,要学会应用这两个定理 去判别向量之间的关系. 3.平面向量数量积的运算 【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为①( ± ) = =
2 2 2

±2 ? +

2

.②( ﹣ ) ( + )



2

.③ ?( ? )≠( ? )? ,从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些

是相同的,有些不一样. 【例题解析】 例:由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“ ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“( ③“t≠0,mt=nt?m=n”类比得到“ ④“|m?n|=|m|?|n|”类比得到“| |=| |?| |”; )? = ”; ” )? = ? ”; ”;

⑤“(m?n)t=m(n?t)”类比得到“(

⑥“

”类比得到



以上的式子中,类比得到的结论正确的是 ①② .

解:∵向量的数量积满足交换律, ∴“mn=nm”类比得到“ 即①正确; ∵向量的数量积满足分配律,
第 17 页(共 23 页)

”,

∴“(m+n)t=mt+nt”类比得到“( 即②正确; ∵向量的数量积不满足消元律, ∴“t≠0,mt=nt?m=n”不能类比得到“ 即③错误; ∵| |≠| |?| |,

)? =

”,

?

”,

∴“|m?n|=|m|?|n|”不能类比得到“| 即④错误; ∵向量的数量积不满足结合律,

|=| |?| |”;

∴“(m?n)t=m(n?t)”不能类比得到“( 即⑤错误; ∵向量的数量积不满足消元律, ∴ ”不能类比得到 ,

)? =

”,

即⑥错误. 故答案为:①②. 向量的数量积满足交换律,由“mn=nm”类比得到“ 配律,故“(m+n)t=mt+nt”类比得到“( 元律,故“t≠0,mt=nt?m=n”不能类比得到“ “|m?n|=|m|?|n|”不能类比得到“| (n?t) ”不能类比得到“ ( )? = ”;向量的数量积满足分 ”;向量的数量积不满足消 ? ”;| |≠| |?| |,故

|=| |?| |”;向量的数量积不满足结合律,故“(m?n)t=m ) ? = ”; 向量的数量积不满足消元律, 故 ”

不能类比得到



【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握,这个知识点和三角函数联系比较多,也是一个常考 点,题目相对来说也不难,所以是拿分的考点,希望大家都掌握. 4.直线的一般式方程 【直线的一般式方程】 直线方程表示的是只有一个自变量,自变量的次数为一次,且因变量随着自变量的变 化而变化.直线的一般方程的表达式是 ay+bx+c=0.
第 18 页(共 23 页)

5.轨迹方程 【知识点的认识】 1.曲线的方程和方程的曲线 在平面内建立直角坐标系以后,坐标平面内的动点都可以用有序实数对(x,y)表示,这就 是动点的坐标.当点按某种规律运动形成曲线时,动点坐标(x,y)中的变量 x、y 存在着 某种制约关系,这种制约关系反映到代数中,就是含有变量 x、y 的方程. 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C(看做适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与 一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程就叫做曲线的方程,这条曲线就叫做方程的曲线. 2.求曲线方程的一般步骤(直接法) (1)建系设点:建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任一点 M 的坐标; (2)列式:写出适合条件 p 的点 M 的集合{M|p(M)}; (3)代入:用坐标表示出条件 p(M) ,列出方程 f(x,y)=0; (4)化简:化方程 f(x,y)=0 为最简形式; (5)证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点 【常用解法】 (1)直接法:根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何有关公式(如 两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等)进行整理、化简.这种求轨迹方程 的过程不需要特殊的技巧. (2)定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆 等) ,可用定义直接探求.关键是条件的转化,即转化为某一基本轨迹的定义条件. (3)相关点法:用所求动点 P 的坐标(x,y)表示已知动点 M 的坐标(x0,y0) ,即得到 x0=f(x,y) ,y0=g(x,y) ,再将 x0,y0 代入 M 满足的条件 F(x0,y0)=0 中,即得所求.一 般地,定比分点问题、对称问题可用相关点法求解,相关点法的一般步骤是:设点→转换→ 代入→化简. (4)待定系数法 (5)参数法 (6)交轨法. 6.直线与圆的位置关系 【知识点的认识】 1.直线与圆的位置关系

2.判断直线与圆的位置关系的方法
第 19 页(共 23 页)

直线 Ax+By+C=0 与圆(x﹣a) +(y﹣b) =r (r>0)的位置关系的判断方法: (1)几何方法:利用圆心到直线的 d 和半径 r 的关系判断. 圆心到直线的距离 d= ①相交:d<r ②相切:d=r ③相离:d>r (2)代数方法:联立直线与圆的方程,转化为一元二次方程,用判别式△ 判断. 由 ①相交:△ >0 ②相切:△ =0 ③相离:△ <0. 7.直线和圆的方程的应用 【知识点的知识】 1、直线方程的形式: 消元,得到一元二次方程的判别式△

2

2

2

2、圆的方程: (1)圆的标准方程: (x﹣a) +(y﹣b) =r (r>0) ,其中圆心 C(a,b) ,半径为 r. 2 2 2 特别地,当圆心为坐标原点时,半径为 r 的圆的方程为:x +y =r . 其中,圆心(a,b)是圆的定位条件,半径 r 是圆的定形条件. (2)圆的一般方程: 2 2 2 2 x +y +Dx+Ey+F=0(D +E ﹣4F>0) 其中圆心(﹣ ,﹣ ) ,半径 r= .
2 2 2

8.抛物线的标准方程
第 20 页(共 23 页)

【知识点的认识】 抛物线的标准方程的四种种形式: (1)y =2px,焦点在 x 轴上,焦点坐标为 F( ,0) , (p 可为正负) (2)x =2py,焦点在 y 轴上,焦点坐标为 F(0, ) , (p 可为正负) 四种形式相同点:形状、大小相同; 四种形式不同点:位置不同;焦点坐标不同. 下面以两种形式做简单的介绍: 2 2 标准方程 y =2px(p>0) ,焦点在 x 轴上 x =2py(p>0) ,焦点在 y 轴上 图形
2 2

顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率 准线

(0,0) x轴 焦点在 x 轴长上 ( ,0) 无 e=1 x=﹣

(0,0) y轴 焦点在 y 轴长上 (0, ) 无 e=1 y=﹣

9.二阶矩阵 【知识点的知识】 1、矩阵

由 m×n 个数 a( 2, …, m; j=1, 2, …, n) 排成的 m 行 n 列的数表 ij i=1, 称为 m 行 n 列矩阵,简称 m×n 矩阵.为表示这个数是一个整体,总是加一个括弧,并用大

第 21 页(共 23 页)

写黑体字母表示它, 记作

这 m×n 个数称为矩阵 A 的元素,

简称为元,数 aij 位于矩阵的第 i 行第 j 列,称为矩阵的(i,j)元.以数 aij 为(i,j)元的 矩阵可简记作(aij)或(aij)m×n.矩阵 A 也记作 Am×n. 注意: ①矩阵的记号是在数表外加上括弧,与行列式的记号(在数表外加上双竖线)是不同的, 这是两个不同的概念. ②矩阵的行数和列数不一定相等. 2.二阶矩阵 由四个数 a,b,c,d 排成的正方形数表称为二阶矩阵,其中 称为矩阵的元素,

矩阵通常用大写字母 A,B,C,…或(aij)表示(其中 i,j 分别为元素 aij 所在的行和列) . 2.矩阵的乘法 行矩阵[a11 a12]与列矩阵 的乘法规则为 ,二阶矩阵

与列矩阵 换律和消去律.

的乘法规则为=

.矩阵乘法满足结合律,不满足交

10.绝对值不等式的解法 【知识点的认识】 绝对值不等式的解法 1、绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集 a=0 不等式 a>0 a<0 ? ? |x|<a {x|﹣a<x<a} {x|x≠0} R |x|>a {x|x>a,或 x<﹣a} 2、|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法: (1)|ax+b|≤c?﹣c≤ax+b≤c; (2)|ax+b|≥c?ax+b≥c 或 ax+b≤﹣c; (3)|x﹣a|+|x﹣b|≥c(c>0)和|x﹣a|+|x﹣b|≤c(c>0)型不等式的解法: 方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想. 方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 【解题方法点拨】 1、解绝对值不等式的基本方法:
第 22 页(共 23 页)

(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式; (2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通 不等式; (3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解. 2.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式 (组)进行求解.含有多个绝对值符号的不等式,一般可用零点分段法求解,对于形如|x﹣ a|+|x﹣b|>m 或|x﹣a|+|x﹣b|<m (m 为正常数) ,利用实数绝对值的几何意义求解较简便. 3.不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c 的解就是数轴上到 A(a) ,B(b)两点的距离之和不小于 c 的点所 对应的实数,只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置,就可以得出不等式的解. 4.不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是 ab≥0,左侧“=”成立的条件是 ab≤0 且 |a|≥|b|;不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是 ab≤0,左侧“=”成立的条件是 ab≥0 且|a|≥|b|.

第 23 页(共 23 页)


相关文章:
高中数学经典高考难题集锦(解析版) (7)
高中数学经典高考难题集锦(解析版) (7)_数学_高中教育_教育专区。2015 年 10 月 18 日姚杰的高中数学组卷一.选择题(共 17 小题) 1. (2013?浙江)设△ ...
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(6)
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(6)_数学_高中教育_教育专区。2015 年 10 月 18 日姚杰的高中数学组卷一.选择题(共 17 小题) 1. (2010?安徽)甲从正...
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(8)
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(8)_数学_高中教育_教育专区。2015 年 10 月 18 日姚杰的高中数学组卷一.选择题(共 16 小题) 1. (1999?广东)若 A. B...
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(10)
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(10)_数学_高中教育_教育专区。2015 年 10 月 18 日姚杰的高中数学组卷一.填空题(共 17 小题) 1. (2014?永川区校级学业...
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(2)
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(2)_数学_高中教育_教育专区。2015 年 10 月 18 日姚杰的高中数学组卷一.选择题(共 6 小题) 1. (2013?四川)设函数 (a...
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(1)
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(1)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学经典高考难题集锦(解析版)(1)_数学_高中教育_教育...
高中数学经典高考难题集锦(解析版)
高中数学经典高考难题集锦(解析版)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学经典高考难题集锦(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2015 ...
高中数学经典高考难题集锦(解析版) (3)
高中数学经典高考难题集锦(解析版) (3)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学经典高考难题集锦(解析版) (3)_数学_高中教育_教育...
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(9)
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(9)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学经典高考难题集锦(解析版)(9)_数学_高中教育_教育...
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(4)
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(4)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学经典高考难题集锦(解析版)(4)_数学_高中教育_教育...
更多相关标签:
高中数学难题集锦 | 高中电磁学难题解析 | 高中物理经典例题解析 | 相似三角形难题集锦 | 初一上册数学难题集锦 | 初中物理难题集锦 | 高考数学难题集锦 | 中考数学难题集锦 |