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《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解两直线的位置关系


《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法

两直线的位置关系

[知识能否忆起] 一、两条直线的位置关系 斜截式 方 程 相 交 垂 直 y=k1x+b1 y=k2x+b2 k1≠k2 1 k1=- 或 k2 k1k2=-1 k1=k2 且 b1≠b2 一般式
2 A1x+B1y+C1=0(A2 1+B1≠0) 2

A2x+B2y+C2=0(A2 2+B2≠0)

A1B2-A2B1≠0

?当A2B2≠0时,记为A1≠B1? A2 B2? ?
A1A2+B1B2=0 A2 ?当B1B2≠0时,记为A1· =-1? B1 B2 ? ?

{A1B2-A2B1=0,
平 行

B2C1-B1C2≠0 或 A1C2-A2C1≠0

{A1B2-A2B1=0,

?当A2B2C2≠0时,记为A1=B1≠C1? A2 B2 C2? ?
A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)

重 合

k1=k2 且 b1=b2

?当A2B2C2≠0时,记为A1=B1=C1? A2 B2 C2? ?

二、两条直线的交点 设两条直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,两条直线的交点坐标 就是方程组{A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 的解,若方程组有唯一解,则两条直线 相交, 此解就是交点坐标; 若方程组无解, 则两条直线无公共点,此时两条直线平行;反之, 亦成立. 三、几种距离 1.两点间的距离 平面上的两点 A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式: d(A,B)=|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. 2.点到直线的距离 |Ax1+By1+C| 点 P(x1,y1)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= . A2+B2 3.两条平行线间的距离

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两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离 d= [小题能否全取]

|C1-C2| A2+B2

.

1.(教材习题改编)已知 l1 的倾斜角为 45° ,l2 经过点 P(-2,-1),Q(3,m).若 l1⊥l2, 则实数 m 为( A.6 C.5 ) B.-6 D.-5

m+1 解析:选 B 由已知得 k1=1,k2= . 5 ∵l1⊥l2,∴k1k2=-1, m+1 ∴1× =-1,即 m=-6. 5 2.(教材习题改编)点(0,-1)到直线 x+2y=3 的距离为( A. 5 5 B. 5 1 D. 5 |0+2×?-1?-3| d= = 5. 5 ) )

C.5 解析:选 B

3.点(a,b)关于直线 x+y+1=0 的对称点是( A.(-a-1,-b-1) C.(-a,-b)

B.(-b-1,-a-1) D.(-b,-a)

解析:选 B 设对称点为(x′,y′),则
?y′-b ? ×?-1?=-1, ?x′-a

x′+a y′+b + +1=0, 2 2

解得 x′=-b-1,y′=-a-1. 4.l1:x-y=0 与 l2:2x-3y+1=0 的交点在直线 mx+3y+5=0 上,则 m 的值为( A.3 C.-5 解析:选 D 由 x-y=0, 所以 m+3+5=0,m=-8. 5 . 与 直 线 4x + 3y - 5 = 0 平 行 , 并 且 到 它 的 距 离 等 于 3 的 直 线 方 程 是 ______________________. B.5 D.-8 )

{

x-3y+1=0, 得 l1 与 l2 的交点坐标为(1,1).

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解析:设所求直线方程为 4x+3y+m=0,由 3= 答案:4x+3y+10=0 或 4x+3y-20=0

|m+5|

,得 m=10 或-20. 42+32

1.在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在,两条直线都有斜率 时,可根据斜率的关系作出判断,无斜率时,要单独考虑. 2.在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时,直线方程必须先化为 Ax +By+C=0 的形式,否则会出错.

两直线的平行与垂直

典题导入 [例 1] (2012· 浙江高考)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x +(a+1)y+4=0 平行”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[自主解答] 由 a=1,可得 l1∥l2;反之,由 l1∥l2,可得 a=1 或 a=-2. [答案] A

在本例中若 l1⊥l2,试求 a. 解:∵l1⊥l2,∴a×1+2×(a+1)=0, 2 ∴a=- . 3

由题悟法 1.充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键,对于斜率都存在且不重合的 两条直线 l1 和 l2,l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1· k2=-1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一 条直线的斜率是多少一定要特别注意. 2.(1)若直线 l1 和 l2 有斜截式方程 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则直线 l1⊥l2 的充要 条件是 k1· k2=-1. (2)设 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.则 l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. 以题试法

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1.(2012· 大同模拟)设 a,b,c 分别是△ABC 中角 A,B,C 所对的边,则直线 xsin A+ ay+c=0 与 bx-ysin B+sin C=0 的位置关系是( A.平行 C.垂直 B.重合 D.相交但不垂直 )

sin A b 解析: 选 C 由已知得 a≠0, sin B≠0, 所以两直线的斜率分别为 k1=- , k2= , a sin B sin A b 由正弦定理得 k1· k2=- · =-1,所以两条直线垂直. a sin B

两直线的交点与距离问题

典题导入 [例 2] (2012· 浙江高考)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直 线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x2+a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x2+(y+4)2=2 到 直线 l:y=x 的距离,则实数 a=________. 0-?-4? [自主解答] 因曲线 C2:x2+(y+4)2=2 到直线 l:y=x 的距离为 - 2=2 2- 2 2= 2,所以曲线 C1 与直线 l 不能相交,故 x2+a>x,即 x2+a-x>0. |x0-y0| -x0+x2 0+a 设 C1:y=x +a 上一点为(x0,y0),则点(x0,y0)到直线 l 的距离 d= = 2 2
2



?x0-1?2+a-1 2? ? 4 4a-1
2 [答案] 9 4 ≥ 4 2

9 = 2,所以 a= . 4

由题悟法 1.点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求.注意直线方程为一般式. 2.点到与坐标轴垂直的直线的距离,可用距离公式求解.也可用如下方法去求解: (1)点 P(x0,y0)到与 y 轴垂直的直线 y=a 的距离 d=|y0-a|. (2)点 P(x0,y0)到与 x 轴垂直的直线 x=b 的距离 d=|x0-b|. 以题试法 2 13 2.(2012· 通化模拟)若两平行直线 3x-2y-1=0,6x+ay+c=0 之间的距离为 ,则 c 13 的值是________. 6 a c 解析:由题意得 = ≠ , 3 -2 -1

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得 a=-4,c≠-2, c 则 6x+ay+c=0 可化为 3x-2y+ =0, 2



?c+1? ?2 ? 2 13
13 = 13

,解得 c=2 或-6.

答案:2 或-6

对 称 问 题

典题导入 [例 3] (2012· 成都模拟)在直角坐标系中,A(4,0),B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直 线 AB 反射后,再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路 程是( ) B.6 D.2 5

A.2 10 C.3 3

[自主解答] 如图,设点 P 关于直线 AB,y 轴的对称点分别为 D,C, 易求得 D(4,2),C(-2,0),由对称性知,D,M,N,C 共线,则△PMN 的 周长= |PM|+ |MN|+ |PN| = |DM|+ |MN|+ |NC|= |CD|= 40 = 2 10 即为光 线所经过的路程. [答案] A 由题悟法 对称问题主要包括中心对称和轴对称 (1)中心对称 ①点 P(x,y)关于 O(a,b)的对称点 P′(x′,y′)满足

{x′=2a-x,
(2)轴对称

y′=2b-y.

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.

① 点 A(a , b) 关 于 直 线 Ax + By + C = 0(B≠0) 的 对 称 点 A′(m , n) , 则 有
? n-b ? A? ? × - =-1, ?m-a ? B?

a+m b+n A· +B· +C=0. 2 2

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 以题试法

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3.(2012· 南京调研)与直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程为( A.3x+4y+5=0 B.3x+4y-5=0 C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0

)

解析:选 A 与直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程是 3x-4(-y)+5=0,即 3x+4y+5=0.

1.(2012· 海淀区期末)已知直线 l1:k1x+y+1=0 与直线 l2:k2x+y-1=0,那么“k1= k2”是“l1∥l2”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

解析:选 C 由 k1=k2,1≠-1,得 l1∥l2;由 l1∥l2 知 k1×1-k2×1=0,所以 k1=k2.故 “k1=k2”是“l1∥l2”的充要条件. 1 2.当 0<k< 时,直线 l1:kx-y=k-1 与直线 l2:ky-x=2k 的交点在( 2 A.第一象限 C.第三象限 解析:选 B B.第二象限 D.第四象限 解 方 程 组 {kx-y=k-1, ky-x=2k, 得 两 直 线 的 交 点 坐 标 为 )

? k ,2k-1?,因为 0<k<1,所以 k <0,2k-1>0,故交点在第二象限. ?k-1 k-1 ? 2 k-1 k-1 ? ?
3. (2012· 长沙检测)已知直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0, 直线 l2 的方程为 6x+8y+1=0, 则直线 l1 与 l2 的距离为( 8 A. 5 C.4 ) 3 B. 2 D.8

解析:选 B ∵直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0,直线 l2 的方程为 6x+8y+1=0,即为 1 3 3x+4y+ =0,∴直线 l1 与直线 l2 的距离为 2 = . 2 3 + 42 2 4.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 恒过定点( A.(0,4) C.(-2,4) B.(0,2) D.(4,-2) )

?1+7? ?2 ?

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解析:选 B 由于直线 l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2).又 由于直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,故直线 l2 恒过定点(0,2). 5.已知直线 l1:y=2x+3,若直线 l2 与 l1 关于直线 x+y=0 对称,又直线 l3⊥l2,则 l3 的斜率为( A.-2 1 C. 2 ) 1 B.- 2 D.2

解析:选 A 依题意得,直线 l2 的方程是-x=2(-y)+3, 1 3 1 即 y= x+ ,其斜率是 , 2 2 2 由 l3⊥l2,得 l3 的斜率等于-2. 6. (2012· 岳阳模拟)直线 l 经过两直线 7x+5y-24=0 和 x-y=0 的交点, 且过点(5,1). 则 l 的方程是( ) B.3x-y+4=0 D.x-3y-4=0

A.3x+y+4=0 C.x+3y-8=0

解析:选 C 设 l 的方程为 7x+5y-24+λ(x-y)=0,即(7+λ)x+(5-λ)y-24=0,则(7 +λ)×5+5-λ-24=0.解得 λ=-4.l 的方程为 x+3y-8=0. 7.(2012· 郑州模拟)若直线 l1:ax+2y=0 和直线 l2:2x+(a+1)y+1=0 垂直,则实数 a 的值为________. 1 解析:由 2a+2(a+1)=0 得 a=- . 2 1 答案:- 2 8.已知平面上三条直线 x+2y-1=0,x+1=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划 分为六部分,则实数 k 的所有取值为________. 解析:若三条直线有两条平行,另外一条与这两条直线相交,则符合要求,此时 k=0 或 2;若三条直线交于一点,也符合要求,此时 k=1,故实数 k 的所有取值为 0,1,2. 答案:0,1,2 9.(2013· 临沂模拟)已知点 P(4,a)到直线 4x-3y-1=0 的距离不大于 3,则 a 的取值 范围是________. |4×4-3×a-1| |15-3a| |15-3a| 解析:由题意得,点到直线的距离为 = .又 ≤3,即|15- 5 5 5 3a|≤15,解得,0≤a≤10,所以 a∈[0,10].

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答案:[0,10] 1 1 10.(2013· 舟山模拟)已知 + =1(a>0,b>0),求点(0,b)到直线 x-2y-a=0 的距离 a b 的最小值. a+2b 1 1 1? 1 ? 2b a? 解: 点(0, b)到直线 x-2y-a=0 的距离为 d= = (a+2b)? ?a+b?= 5?3+ a +b? 5 5 ≥ 3 5+2 10 2+ 2 1 (3+2 2)= ,当且仅当 a2=2b2,a+b=ab,即 a=1+ 2,b= 时取 5 2 5

3 5+2 10 等号.所以点(0,b)到直线 x-2y-a=0 的距离的最小值为 . 5 11.(2012· 荆州二检)过点 P(1,2)的直线 l 被两平行线 l1:4x+3y+1=0 与 l2:4x+3y+6 =0 截得的线段长|AB|= 2,求直线 l 的方程. 解:设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1), 由 y=kx+2-k, 解得 A?

{

x+3y+1=0,

?3k-7 -5k+8? , ?; ?3k+4 3k+4 ?
x+3y+6=0, 解得 B?

由 y=kx+2-k, ∵|AB|= 2, ∴

{

?3k-12 8-10k? , ?. ? 3k+4 3k+4 ?

? 5 ?2 ? 5k ?2 ?3k+4? +?3k+4? = 2, ? ? ? ?

整理,得 7k2-48k-7=0, 1 解得 k1=7 或 k2=- . 7 因此,所求直线 l 的方程为 x+7y-15=0 或 7x-y-5=0. 12.已知直线 l:3x-y+3=0,求: (1)点 P(4,5)关于 l 的对称点; (2)直线 x-y-2=0 关于直线 l 对称的直线方程. 解:设 P(x,y)关于直线 l:3x-y+3=0 的对称点为 P′(x′,y′). y′-y ∵kPP′· kl=-1,即 ×3=-1.① x′-x

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又 PP′的中点在直线 3x-y+3=0 上, x′+x y′+y ∴3× - +3=0.② 2 2 -4x+3y-9 ? ?x′= 5 , 由①②得? 3x+4y+3 ? ?y′= 5 . (1)把 x=4,y=5 代入③④得 x′=-2,y′=7, ∴P(4,5)关于直线 l 的对称点 P′的坐标为(-2,7). -4x+3y-9 (2)用③④分别代换 x-y-2=0 中的 x,y,得关于 l 的对称直线方程为 - 5 3x+4y+3 -2=0, 5 化简得 7x+y+22=0. ③ ④

1.点 P 到点 A(1,0)和直线 x=-1 的距离相等,且点 P 到直线 y=x 的距离为 的点 P 的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

2 ,这样 2

解析:选 C ∵点 P 到点 A 和定直线距离相等, ∴P 点轨迹为抛物线,方程为 y2=4x. 设 P(t2,2t),则
2 2 |t -2t| = ,解得 t1=1,t2=1+ 2,t3=1- 2,故 P 点有三个. 2 2

2.(2012· 福建模拟)若点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,则 m2+n2 的最小值是( A.2 C.4 B.2 2 D.2 3

)

解析:选 C 设原点到点(m,n)的距离为 d,所以 d2=m2+n2,又因为(m,n)在直线 4x +3y-10=0 上,所以原点到直线 4x+3y-10=0 的距离为 d 的最小值,此时 d= 2,所以 m2+n2 的最小值为 4. 3.在直线 l:3x-y-1=0 上求一点 P,使得 P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大. |-10| = 42+32

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解:如图所示,设点 B 关于 l 的对称点为 B′,连接 AB′并延长 交 l 于 P,此时的 P 满足|PA|-|PB|的值最大.设 B′的坐标为(a,b), 则 kBB′· kl=-1, b-4 即 3· =-1. a 则 a+3b-12=0.①

? b+4? 又由于线段 BB′的中点坐标为?a, ?,且在直线 l 上, 2 ? ?2
a b+4 则 3× - -1=0,即 3a-b-6=0.② 2 2 解①②,得 a=3,b=3,即 B′(3,3). y-1 x-4 于是 AB′的方程为 = ,即 2x+y-9=0. 3-1 3-4 解 3x-y-1=0,

{

x+y-9=0, 得 x=2, y=5,

{

即 l 与 AB′的交点坐标为 P(2,5).

1 1. 点(1, cos θ)(其中 0≤θ≤π)到直线 xsin θ+ycos θ-1=0 的距离是 , 那么 θ 等于( 4 5π A. 6 π C. 6 π 5π B. 或 6 6 π 7π D. 或 6 6

)

|sin θ+cos2θ-1| 1 解析:选 B 由已知得 = , sin2θ+cos2θ 4 1 即|sin θ-sin2θ|= , 4 ∴4sin2θ-4sin θ-1=0 或 4sin2θ-4sin θ+1=0,

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1± 2 1 ∴sin θ= 或 sin θ= . 2 2 ∵0≤θ≤π,∴0≤sin θ≤1, 1 π 5π ∴sin θ= ,即 θ= 或 . 2 6 6 2.已知直线 l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线 l2 与 l1 关于 l 对称,则 l2 的方程是 ( ) A.x-2y+1=0 C.x+y-1=0 B.x-2y-1=0 D.x+2y-1=0

解析:选 B l1 与 l2 关于 l 对称,则 l1 上任一点关于 l 的对称点都在 l2 上,故 l 与 l1 的 交 点 (1,0) 在 l2 上 . 又 易 知 (0 , - 2) 为 l1 上 一 点 , 设 其 关 于 l 的 对 称 点 (x , y) , 则
?x+0 y-2 ? - -1=0, 2 ? 2

y+2 ×1=-1, 得{x=-1, y=-1. 即(1,0),(-1,-1)为 l2 上 x

两点,可得 l2 方程为 x-2y-1=0. 3.光线沿直线 l1:x-2y+5=0 射入,遇直线 l:3x-2y+7=0 后反射,求反射光线所 在的直线方程. 解:法一:由 x-2y+5=0, 得 x=-1, y=2. 即反射点 M 的坐标为(-1,2). 又取直线 x-2y+5=0 上一点 P(-5,0),设 P 关于直线 l 的对称点 P′(x0,y0),由 PP′ 2 y0 ⊥l 可知,kPP′=- = . 3 x0+5 而 PP′的中点 Q 的坐标为? x0-5 y0 即 3· -2· +7=0. 2 2 2 3 ? ? y0 17 32 =- , ?x -5?-y0+7=0. 得? ?x0=- , y0=- . 由? 3 2 0 13 13 x + 5 ? 0 ? ? 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为 29x-2y+33=0. 法二: 设直线 x-2y+5=0 上任意一点 P(x0, y0)关于直线 l 的对称点为 P′(x, y), 则 2 =- , 3 y0-y x0-x

{

x-2y+7=0,

{

?x0-5 y0? ?,Q 点在 l 上, ? 2 ,2?

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又 PP′的中点 Q?

?x+x0 y+y0? ?在 l 上, ? 2 , 2 ?

x+x0 y+y0 即 3× -2× +7=0, 2 2 由?

?y0-y

2 =- , 3 ?x0-x

x+x0 × -?y+y0?+7=0. 2

可得 P 点的坐标为 x0= -5x+12y-42 12x+5y+28 ,y0= , 13 13

代入方程 x-2y+5=0 中,化简得 29x-2y+33=0, 故所求反射光线所在的直线方程为 29x-2y+33=0.


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