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2015-2016学年高中数学 2.4.3直线与抛物线的位置关系练习 新人教A版选修2-1


2.4.3
基 础 梳 理

直线与抛物线的位置关系

设直线 l:y=kx+m,抛物线:y =2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成 关于 x 的方程:ax +bx+c=0. (1)若 a≠0,当Δ ____0 时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ ____0 时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当Δ __

__0 时,直线与抛物线相离,无公共点. (2)若 a=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重 合.因此,直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. (3)若直线 l 与抛物线有两交点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= 1+k |x1-x2|= 1+k ? (x1+x2) -4x1x2, 或|AB|= 1 1+ 2|y1-y2|=
2 2 2 2

2

k

1 1+ 2?

k

(y1+y2) -4y1y2. 想一想:若直线与抛物线只有一个公共点,则这条直线是抛物线的切线吗? 基础梳理 (1)> = < 想一想:解析:不一定,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线只有一个公共 点,此时,直线与抛物线相交而不是相切.

2

自 测 自 评 1.已知直线 y=kx-k 及抛物线 y =2px(p>0),则( A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 2. 过点 M(2, 4)作直线与抛物线 y =8x 只有一个公共点, 则这样的直线的条数是( A.1 条 C.3 条 D.0 条
2 2 2

)

)

B.2 条

3.已知抛物线 y =2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若 线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( A.x=1 B.x=-1
1

)

C.x=2 自测自评

D.x=-2

1.C 2.B 3.B 基 础 巩 固

1.过(1,1)点与抛物线 y =x 只有一个公共点的直线有( A.1 条 B.2 条 C.3 条
2

2

)

D.4 条
2

1.解析:因为点(1,1)在抛物线 y =x 上,所以作与 y =x 只有一个公共点的直线有两 条,其中一条为切线,一条为平行于 x 轴的直线. 答案:B 2.直线 y=2x+4 与抛物线 y=x 交于 A 、B 两点,则△ABO 的面积为( A.2 5 B.4 5 C.6 5 D.8 5
2 2 2

)

2.解析:由?
2

?y=2x+4, ? ? ?y=x ,
2

得 x -2x-4=0,所以 x1+x2=2,x1x2=-4,|AB|= 1+k 4 1 4 ,S△AOB= ?10? =4 5. 2 5 5

(x1+x2) -4x1x2=10,原点到直线的距离 d= 答案:B

3.(2014?吉林高二检 测)设 AB 为抛物线 y =x 上的动弦,且|AB|=2,则弦 AB 的中点

2

M 到 y 轴的最小距离为(
3 A.2 B. 4 5 C.1 D. 4

)

1 ?1 ? 2 3.解析:由题意,抛物线 y =x 的焦点坐标为? ,0?,准线方程为 x=- ,根据抛物 4 4 ? ? 线的定义,∵|AB|=2,∴A,B 到准线的距离和最小为 2(当且仅当 A、B、F 三点共线时取最 1 3 小).∴弦 AB 的中点到准线的距离最小为 1.∴弦 AB 的中点到 y 轴的最小距离为 1- = . 4 4 答案:B 4. 若直线 x-y=2 与抛物线 y =4x 交于 A, B 两点, 则线段 AB 的中点坐标是________. 4.解析:设 A(x2,y1),B(x2,y2),联立直线与抛物线得 方程组?
?x-y=2, ? ?y =4x, ?
2 2

整理得 x

2

-8x+4=0,所以 x2+x2=8,y1+y2=x2+x2-4=4,所以中点坐标为(4,2). 答案:(4,2)

2

能 力 提 升 1 2 5.(2014?成都高二检测)已知抛物线 C 的方程为 x = y,过点 A(0,-1)和点 B(t,3) 2 的直线与抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是( A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.?-∞,- )

? ?

2? ? 2 ? ?∪? ,+∞? 2? ? 2 ?

C.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) 4 5.解析:据已知可得直线 AB 的方程为 y= x-1,

t

4 y= x-1, ? ? t 4 联立直线与抛物线方程,得? 消元整理,得 2x - x+1=0,由于直线与抛 t 1 x = y, ? ? 2
2 2

4 2 物线无公共点,即方程 2x - x+1=0 无解,

t

4 2 故有Δ =(- ) -8<0,解得 t> 2或 t<- 2.

t

答案:D 6.(2014?新课标全国卷Ⅱ)设 F 为抛物 线 C:y =3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的 直线交 C 于 A,B 两点,则|AB|=( A. 30 B.6 C .12 3 D.7 3 )
2

3 3 6.解析:抛物线的焦点坐标为 F( ,0),直线 AB 的斜率 k=tan 30°= ,所以直线 4 3 3 3 ? 3 3 ?y= x- , 1 2 7 3 21 9 3 4 AB 的方程为 y= x- .由? 得 x - x+ =0,故 x1+x2= ,x1x2= . 3 4 3 2 16 2 16 ? ?y2=3x 所以|AB|= 1+k ?|x1-x2|= 答案:C 7.设抛物线的顶点在原点,其焦点 F 在 y 轴上,又抛物线上的点 P(k,-2)与点 F 的 距 离 为 4 , 则
2

1 1+ ? 3

21 2 9 ( ) -4? =12. 2 16

k





________________________________________________________________________. 7.解析:由题设条件可设抛物线方程为 x =-2py(p>0),又点 P 在抛物线上,
2

3

则 k =4p,因为|PF|=4,所以 +2=4,即 p=4, 2 所以 k=±4. 答案:±4 8.(2015?山东烟台一模)已知抛物线 y =2px 的焦点 F 与双曲线 - =1 的右焦点重 7 9 合,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在抛物线上,且|AK|= 2|AF|,则△AFK 的面积 为________.
2

2

p

x2 y2

? ? 2 8.解析: 双曲线 - =1 的右焦点为(4,0),即为抛物线 y =2px 的焦点? ,0?,所 7 9 ?2 ?
p
以 =4 可得 p=8,所以抛物线的方程为 y =16x,其准线为 x=-4,所以 K(-4,0),过 A 2 作 AM 垂直于 准线,垂足为 M,则|AM|=|AF|,则|AK|= 2|AM|,所以∠MAK=45°,|KF| 1 2 =|AF|,所以△AFK 的面积为 |KF| =32. 2 答案:32 9.过抛物线 y =4x 焦点的直线 交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=8,O 为坐标原点, 求△OAB 的重心的横坐标. 9. 解析: 由题意知抛物线焦点 F(1, 0). 设过焦点 F(1, 0)的直线为 y=k(x-1)(k≠0),
2

x2 y2

p

2

A(x1,y1),B(x2,y 2).
代入抛物线方程消去 y,得 k x -2(k +2)x+k =0. 2(k +2) 2 ∵k ≠0,∴x1+x2= ,x1x2=1. 2
2 2 2 2 2

k

∵|AB|= (1+k )(x1-x2)
2 2

2

2

= (1+k )[(x1+x2) -4x1x2] = =8, ∴k =1. 0+x1+x2 ∴△OAB 的重心的横坐标为 x= =2. 3 10.直角三角形的直角顶点在坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y =2p x(p>0)上,且 一直角边的方程是 y=2x,斜边长是 5,求此抛物线的方程. 10.解析:如图
2 2

2) ?4(k + -4? (1+k )? ? k4 ? ?
2

2

2

4

设直角三角形为 AOB,直角顶点为 O,AO 边的方程为 y=2x, 1 则 OB 边的方程为 y=- x. 2 由?
?y=2x, ?
2

? ? 得 A 点坐标为? ,p?. ?2 ? ?y =2px ?
p

1 ? ?y=- x, 2 得 B 点坐标为(8p,-4p). 由? 2 ?y =2px, ? 因为|AB|=5,所以 2 ?p ? 2 (p+4p) +? -8p? =5, ?2 ?

2 13 因为 p>0,解得 p= , 13 所以所求抛物线方程为 y =
2

4 13 x. 13

5


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