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第3部分 第10讲


第三部分

第十讲

时间:40 分钟,满分:55 分 一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将唯一正确答案的代号填在题后 的括号中. 1.(2012· 四川卷)函数 y=ax-a(a>0,a≠1)的图象可能是( )

解析 选 C.当 a>1 时单调递增,-a<0,故 A 不正确;因为 y=ax-a(a>0,a≠1)恒不过点 (1,1),所以 B 不正确;当 0<a<1 时单调递减,-1<-a<0,故 C 正确,D 不正确. 2.设 a<b,函数 y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( )

解析 选 C.可知 x=a,x=b 为 y=(x-a)2(x-b)=0 的两个解.当 x<a 时,则 x<b,所以 f(x)<0,当 a<x<b 时,则 f(x)<0,当 x>b 时,则 f(x)>0,故选 C. 3.(2012· 山东卷)函数 y= cos6x - 的图象大致为( 2x-2 x )

解析 选 D.函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除 A,令 y=0,得 cos6x=0,所以 π π k π 6x= +kπ,x= + π,函数零点有无穷多个,排除 C,且 y 轴右侧第一个零点为( ,0),又函 2 12 6 12 数 y=2x-2 B. 4.(2011· 新课标)已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时,f(x)=x2,那么函数 y=f(x) 的图象与函数 y=|lgx|的图象的交点共有( A.10 个 C.8 个 ) B .9 个 D.1 个
-x

π cos6x - 为增函数,当 0<x< 时,y=2x-2 x>0,cos6x>0,所以函数 y= x - >0,排除 12 2 -2 x

解析 选 A.根据 f(x)的性质及 f(x)在[-1,1]上的解析式可作图如下:

可验证当 x=10 时,y=|lg10|=1;当 0<x<10 时,|lgx|<1;当 x>10 时,|lgx|>1. 结合图象知,y=f(x)与 y=|lgx|的图象的交点共有 10 个. 二、填空题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分,请将答案填写在题中的横线上. 5.(2012· 天津卷)已知函数 y= 取值范围是__________. 解析 填(0,1)∪(1,2). 函数 y=

|x2-1|
x-1

的图象与函数 y=kx 的图象恰有两个交点,则实数 k 的

|x2-1| |?x-1??x+1?|
x- 1 = x- 1



当 x>1 时,y= 当 x<1 时, y=

|x2-1|
x- 1

=|x+1|=x+1;

|x2-1|
x- 1

?-x-1,-1≤x<1 ? =-|x+1|=? ?x+1,x<-1 ?



综上函数 y=

? |x2-1| ?
x- 1

x+1,x>1 ,

=?-x-1,-1≤x<1

? ?x+1,x<-1

作出函数的图象,要使函数 y 与 y=kx 有两个不同的交点, 则直线 y=kx 必须在深色或浅色区域内,如图, 则此时当直线经过浅色区域时 B(1,2),k 满足 1<k<2, 当经过深色区域时,k 满足 0<k<1, 综上实数的取值范围是(0,1)∪(1,2). 6. 已知函数 f(x)对任意实数 x 都有 f(2+x)=f(2-x), 若方程 f(x)=0 有 4 个不相等的实数解, 则这 4 个解的和为_________________________________________________________________. 解析 填 8.设 t=2+x 是方程 f(x)=0 的一个解,则 f(t)=0,因为 f(2+x)=f(2-x),所以 f(t) =f(4-t)=0,从而 4-t 也是方程 f(x)=0 的解. 同理,若 s 是方程 f(x)=0 的解,则 4-s 也是方程 f(x)=0 的解,于是这 4 个解的和是 8,或 利用 f(x)的图象关于直线 x=2 对称求解. 三、解答题:本大题共 2 小题,第 7、8 题分别为 12 分、13 分,共 25 分,解答应写出文字 说明和推演步骤. 7.作出下列函数的图象:

(1)y=

x+2 ; x-1

(2)y=|log2x-1|. 解析 (1)因为 y= x+ 2 3 3 =1+ ,由 y= 向右、向上各平移一个单位而得到,如下图所示; x x- 1 x- 1

(2)y=|log2x-1|, 可由 y=log2x 先向下平移一个单位, 再将 x 轴下方的图象翻折至 x 轴上方, 如下图所示.

8.方程 kx= 1-?x-2?2有两个不相等的实根,求实数 k 的取值范围. 解析 令 y1=kx,y2= 1-?x-2?2, 则 y1=kx 表示过原点的直线,
2 因为 y2 2+(x-2) =1(y≥0)表示圆心在(2,0),半径为 1 的半圆,如图.

由 d=

|2k| 3 =1(k>0)?k= . 2 3 1+ k 3 时,直线与半圆有两个交点. 3 3 ). 3

故 0≤k<

所以方程有两个不相等的实根时,k 的取值范围为[0,


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