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2014年上海市闸北区高考数学三模试卷(理科)


一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果,每个空格 填对得 4 分,否则一律得零分. 1. (4 分)函数 的最小正周期为 _________ .

2. (4 分)函数 y=log2(x﹣1)的反函数是 _________ . 3. (4 分)已知集合 A={x||x﹣1|<1,x∈R},B={x|

x ﹣4x+3<0},则 A∩ B= _________ . 4. (4 分)已知 cosx= ,x∈(﹣ ,0) ,则 = _________ .
2

5. (4 分) (x﹣ ) 的展开式中 x 的系数为 _________
2

6

2

. (用数字作答)

6. (4 分)设 i 是虚数单位,复数 1+i 为方程 x ﹣2x+m=0(m∈R)的一个根,则 m=

_________ .

7. (4 分) 从 4 名男同学和 3 名女同学中随机选出 3 人参加演讲比赛, 则女同学被抽到的数学期望为 _________ . 8. (4 分)某圆锥体的侧面展开图是半圆,当侧面积是 2π 时,则该圆锥体的体积是 _________ . 9. (4 分)已知△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 = ,则 B= _________ .

10. (4 分)极坐标系中,A,B 分别是直线 3ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0 和圆 ρ=2cosθ 上的动点,则 A,B 两点之间距离的 最小值是 _________ . 11. (4 分)对于正项数列{an},定义 Hn= Hn= ,则数列{an}的通项公式为 _________ . 为{an}的“光阴”值,现知某数列的“光阴”值为

12. (4 分)过点(2﹣ ,0) (n∈N )且方向向量为(2,1)的直线交椭圆 △ OAnBn 面积为 Sn,则 Sn= _________ .

*

+y =1 于 An,Bn 两点,记原点为 O,

2

13. (4 分)将正整数 1,2,3,4,…,n (n≥2)任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中 的任意两个数 a,b(a>b)的比值 ,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.若 aij 表示某个 n 行 n 列数表

2

中第 i 行第 j 列的数(1≤i≤n,1≤j≤n) ,且满足 aij= _________ .

,当 n=4 时数表的“特征值”为

14. (4 分)如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AB⊥ BC,AB=2,CD=1,BC=a(a>0) ,P 为线段 AD(含端点) 上一个动点,设 =x , ? =y,对于函数 y=f(x) ,给出以下四个结论:

① 当 a=2 时,函数 f(x)的值域为[1,4];

② 对任意 a>0,都有 f(1)=1 成立; ③ 对任意 a>0,函数 f(x)的最大值都等于 4; ④ 存在实数 a>0,使得函数 f(x)最小值为 0. 其中所有正确结论的序号是 _________ .

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上,将代表答 案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分 15. (5 分)执行如图所示的程序框图.若输入 x=3,则输出 k 的值是( )

A.3

B.4

C.5

D.6

16. (5 分) 某初级中学领导采用系统抽样方法, 从该校预备年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查. 现 将 800 名学生从 1 到 800 进行编号,求得间隔数 k= =16,即每 16 人抽取一个人.在 1~16 中随机抽取一个数, ) D.37 )

如果抽到的是 7,则从 33~48 这 16 个数中应取的数是( A.40 B.39 C.38
2 2

17. (5 分)已知 F1、F2 为双曲线 C:x ﹣y =2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠ F1PF2=( A. B. C. D.

18. (5 分)函数 y=f(x)的定义域为[﹣2,0)∪ (0,2],其图象上任一点 P(x,y)都位于椭圆 C: 下列判断 ① 函数 y=f(x)一定是偶函数; ② 函数 y=f(x)可能既不是偶函数,也不是奇函数; ③ 函数 y=f(x)可能是奇函数; ④ 函数 y=f(x)如果是偶函数,则值域是[﹣1,0)或(0,1]; ⑤ 函数 y=f(x)值域是(﹣1,1) ,则一定是奇函数. 其中正确的命题个数有( )个.

+y =1 上,

2

A.1

B.2

C.3

D.4

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步 骤. 19. (12 分)如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ BAC=90°,AB=AA1=2,AC=2,E 为 A1C!中点,求直线 CC1 与 平面 BCE 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)

20. (14 分)如图,某污水处理厂要在一正方形污水处理池 ABCD 内修建一个三角形隔离区以投放净化物质,其形 状为三角形 APQ,其中 P 位于边 CB 上,Q 位于边 CD 上.已知 AB=20 米,∠ PAQ= = ,当 f(θ)越大,则污水净化效果越好. ,设∠ PAB=θ,记 f(θ)

(1)求 f(θ)关于的函数解析式,并求定义域; (2)求 f(θ)最大值,并指出等号成立条件?

21. (14 分)数列{an}的首项 a1=a,an+an+1=3n﹣54,n∈N (1)求数列{an}的通项公式; (3)设{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn 的最小值为﹣243,求 a 的取值范围? 22. (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,原点为 O,抛物线 C 的方程为 x =4y,线段 AB 是抛物线 C 的一条动弦. (1)求抛物线 C 的准线方程和焦点坐标 F; (2)求 ? =﹣4,求证:直线 AB 恒过定点;
2 2 2 2

*

(3)当|AB|=8 时,设圆 D:x +(y﹣1) =r (r>0) ,若存在且仅存在两条动弦 AB,满足直线 AB 与圆 D 相切, 求半径 r 的取值范围? 23. (18 分)定义函数 y=f(x) ,x∈D(D 为定义域)图象上的点到坐标原点的距离为函数的 y=f(x) ,x∈D 的模.若 模存在最大值,则称之为函数 y=f(x) ,x∈D 的长距;若模存在最小值,则称之为函数 y=f(x) ,x∈D 的短距. (1)分别判断函数 f1(x)= 与 f2(x)= 是否存在长距与短距,若存在,请求出;

(2)求证:指数函数 y=a (a>0,a≠1)的短距小于 1; (3)对于任意 x∈[1,2]是否存在实数 a,使得函数 f(x)= 请求出 a 的取值范围;不存在,则说明理由? 的短距不小于 2 且长距不大于 4.若存在,

x

2014 年上海市闸北区高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果,每个空格 填对得 4 分,否则一律得零分. 1. (4 分) (2014?闸北区三模)函数 的最小正周期为 π .

考点: 专题: 分析: 解答:

三角函数的周期性及其求法. 计算题;三角函数的图像与性质. 根据三角函数的周期公式直接加以计算,即可得到函数的周期.
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解:∵ 函数 ∴ 函数

中,振幅 A=1,初相 φ= 的最小正周期为 T= =π

,且 ω=2

点评:

故答案为:π 本题给出三角函数的表达式,求它的周期,着重考查了三角函数的图象与性质的知识,属于基础题. y=2 +1,x∈R .
x

2. (4 分) (2014?闸北区三模)函数 y=log2(x﹣1)的反函数是 考点: 专题: 分析: 解答: 反函数. 计算题.

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把 y 看作常数,求出 x:x=2 +1,x,y 互换,得到 y=log2(x﹣1)的反函数:y=2 +1,x∈R. 解:把 y 看作常数,求出 x: x﹣1=2 ,x=2 +1, x,y 互换,得到 y=log2(x﹣1)的反函数: x y=2 +1,x∈R, x 故答案为:y=2 +1,x∈R. 本题考查对数函数的反函数的求法,解题时要认真审题,注意对数式和指数式的相互转化.
2 y y

y

x

点评:

3. (4 分) (2014?闸北区三模)已知集合 A={x||x﹣1|<1,x∈R},B={x|x ﹣4x+3<0},则 A∩ B= (1,2) . 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 集合. 解绝对值不等式,求得 A,即一元二次不等式求得 B,再根据两个集合的交集的定义求得 A∩ B. 解:∵ 集合 A={x||x﹣1|<1,x∈R}={x|﹣1<x﹣1<1}={x|0<x<2}, 2 B={x|x ﹣4x+3<0}={x|1<x<3}, ∴ A∩ B={x|1<x<2}, 故答案为: (1,2) . 本题主要考查绝对值不等式、 一元二次不等式的解法, 两个集合的交集的定义和求法, 属于基础题.
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点评:

4. (4 分) (2014?闸北区三模)已知 cosx= ,x∈(﹣

,0) ,则

=



考点: 专题:

二阶矩阵;三角函数中的恒等变换应用. 矩阵和变换.

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分析: 解答:

由 cosx= ,x∈(﹣ 解:∵ cosx= ,x∈(﹣ ∴ sinx=﹣ , ∴

,0) ,得 sinx=﹣ ,再由 ,0) ,

=sinx﹣cosx,能求出结果.

=sinx﹣cosx=﹣

=﹣ .

故答案为:﹣ . 点评: 本题考查二阶矩阵的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意三角函数的性质的灵活运用.
6 2

5. (4 分) (2014?闸北区三模) (x﹣ ) 的展开式中 x 的系数为 15 . (用数字作答)

考点: 专题: 分析: 解答:

二项式系数的性质. 二项式定理. 2 在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 2,求出 r 的值,即可求得展开式中 x 的系数.
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解: (x﹣ ) 的展开式的通项公式为 Tr+1=
2

6

?(﹣1) ?x =15,

r

6﹣2r



令 6﹣2r=2,求得 r=2,故展开式中 x 的系数为

点评:

故答案为:15. 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的 性质,属于中档题.
2

6. (4 分) (2014?闸北区三模)设 i 是虚数单位,复数 1+i 为方程 x ﹣2x+m=0(m∈R)的一个根,则 m= 考点: 专题: 分析: 解答: 复数代数形式的混合运算. 数系的扩充和复数. 根据复数方程根的特点,利用复数方程的特点即可得到结论. 2 解:∵ 1+i 为方程 x ﹣2x+m=0(m∈R)的一个根, 2 ∴ (1+i) ﹣2(1+i)+m=0(m∈R) , 即 2i﹣2﹣2i+m=0, 解得 m=2, 故答案为:2 本题主要考查复数的有关计算,利用复数相等是解决本题的关键,比较基础.
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2



点评:

7. (4 分) (2014?闸北区三模)从 4 名男同学和 3 名女同学中随机选出 3 人参加演讲比赛,则女同学被抽到的数学 期望为 .

考点: 专题: 分析: 解答:

离散型随机变量的期望与方差. 计算题;概率与统计. 设随机变量 ξ 表示所选 3 人中女生的人数,则 ξ 可能取的值为 0,1,2,3,求出相应的概率,即 可求出女同学被抽到的数学期望. 解:设随机变量 ξ 表示所选 3 人中女生的人数,则 ξ 可能取的值为 0,1,2,3,
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∴ P(ξ=0)= ∴ Eξ= +2×

=

,P(ξ=1)= = = .

=

,P(ξ=2)=

=

,P(ξ=3)=

=

+3×

故答案为: . 点评: 本题考查离散型随机变量的期望,确定离散型随机变量的取值,求出相应的概率是关键.

8. (4 分) (2014?闸北区三模)某圆锥体的侧面展开图是半圆,当侧面积是 2π 时,则该圆锥体的体积是



考点: 专题: 分析: 解答:

旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 空间位置关系与距离. 由圆锥体侧面展开图的半径是圆锥的母线长,展开图的弧长是底面圆的周长,可以求出圆锥的母线 和底面圆半径,从而得出高和体积.
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解:如图,设侧面展开图半圆的半径为 R,侧面面积 S 侧= πR2=2π; ∴ R=2.又设圆锥的底面圆半径为 r,则 2πr=πR, ∴ r= R=1; ∴ 圆锥的高 h= =
2

=


2

∴ 该圆锥体的体积是:V 圆锥= ?πr ?h= ?π?1 ? 故答案为: .

=



点评:

本题通过圆锥体的侧面展开图来求圆锥体的体积,关键是弄清楚侧面展开图与圆锥体的关系是什 么.

9. (4 分) (2014?闸北区三模)已知△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 .

=

,则 B=

考点: 专题: 分析: 解答:

正弦定理. 解三角形. 利用正弦定理把等式中角的正弦转化成边,整理求得 a,b 和 c 的关系式,代入余弦定理求得 cosB 的值,进而求得 B.
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解:∵ ∴ 且 =

=

, ,整理得 a +c ﹣b =ac,
2 2 2

∵ cosB= ∴ B= . .

= ,0<B<0,

故答案为: 点评:

本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用.主要是利用了正弦和余弦定理完成边角问题的转 化.

10. (4 分) (2014?闸北区三模)极坐标系中,A,B 分别是直线 3ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0 和圆 ρ=2cosθ 上的动点,则 A, B 两点之间距离的最小值是 1 . 考点: 专题: 分析: 解答: 简单曲线的极坐标方程. 坐标系和参数方程. 把极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心到直线的距离为 d,则 d﹣r 即为所求. 解:直线 3ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0 即 3x﹣4y+7=0, 2 2 2 圆 ρ=2cosθ,即 ρ =2ρcosθ,化为直角坐标方程为 (x﹣1) +y =1,表示以(1,0)为圆心、半径 r=1 的圆.
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求得圆心到直线的距离为 d=

=2,

点评:

∴ A,B 两点之间距离的最小值是 d﹣r=1, 故答案为:1. 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法, 点到直线的距离公式的应用, 直线和圆的位 置关系,属于基础题. 为{an}的“光阴”值,现知某 .

11. (4 分) (2014?闸北区三模)对于正项数列{an},定义 Hn= 数列的“光阴”值为 Hn= ,则数列{an}的通项公式为

考点: 专题: 分析:

数列递推式. 计算题;等差数列与等比数列.
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根据“光阴”值的定义,及 Hn= 结论.

,可得 a1+2a2+…+nan=n(n+2) ,再写一式,两式相减,即可得到

解答:

解:∵ Hn= ∴ a1+2a2+…+nan= ∵ Hn= ,



,∴ a1+2a2+…+nan=n(n+2) ,①

∴ a1+2a2+…+(n﹣1)an﹣1=(n﹣1) (n+1) ,② ① ﹣② 得 nan=n(n+2)﹣(n﹣1) (n+1)=2n+1, ∴ an= =2+ ,
*

故答案为:an=2+ ,n∈N . 点评: 本题考查新定义,考查数列的通项,解题的关键是理解新定义,通过再写一式,两式相减得到结

论.
* 2

12. (4 分) (2014?闸北区三模)过点(2﹣ ,0) (n∈N )且方向向量为(2,1)的直线交椭圆 两点,记原点为 O,△ OAnBn 面积为 Sn,则 Sn= 1 .

+y =1 于 An,Bn

考点: 专题: 分析:

椭圆的简单性质;极限及其运算. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 由题意可得直线的方程,与椭圆的方程联立可得根与系数的关系,利用弦长公式可得|AnBn|,再利 用点到直线的距离公式可得原点 O 到直线 AnBn 的距离 dn.利用三角形的面积计算公式可得
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Sn= 解答: 解:如图所示,

.再利用极限的运算法则即可得出.

过点(2﹣ ,0) (n∈N )且方向向量为(2,1)的直线 ln 的方程为:

*



联立

,化为

=0.

∴ x1+x2=2﹣ ,x1x2= ∴ |AnBn|=



=

=



原点 O 到直线 AnBn 的距离 dn=

=



∴ Sn= ∴ =

= =1.



故答案为:1.

点评:

本题考查了直线的方向向量与斜率的关系、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的 关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、极限的运算法则等基础知识与 基本技能方法,考查了计算能力和推理能力,属于难题.

13. (4 分) (2014?闸北区三模)将正整数 1,2,3,4,…,n (n≥2)任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表, 计算各行和各列中的任意两个数 a,b(a>b)的比值 ,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.若 aij 表示

2

某个 n 行 n 列数表中第 i 行第 j 列的数(1≤i≤n,1≤j≤n) ,且满足 aij= 表的“特征值”为 .

,当 n=4 时数

考点: 专题: 分析: 解答:

特征值与特征向量的计算. 计算题;矩阵和变换. 写出当 n=4 时的图表,由特征值的定义可得答案. 解:当 n=4 时,数表为 21 1 6 11 17 22 2 7 13 18 23 3 9 14 19 24 5 10 15 20
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16 12 8 4 25

数表的“特征值”为 . 故答案为: . 点评: 本题考查类比推理和归纳推理,属基础题.

14. (4 分) (2014?闸北区三模)如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AB⊥ BC,AB=2,CD=1,BC=a(a>0) ,P 为线段 AD(含端点)上一个动点,设 =x , ? =y,对于函数 y=f(x) ,给出以下四个结论:

① 当 a=2 时,函数 f(x)的值域为[1,4]; ② 对任意 a>0,都有 f(1)=1 成立; ③ 对任意 a>0,函数 f(x)的最大值都等于 4; ④ 存在实数 a>0,使得函数 f(x)最小值为 0. 其中所有正确结论的序号是 ② ③ ④ .

考点: 专题: 分析:

平面向量数量积的运算. 平面向量及应用. 如图所示,建立直角坐标系.可得 B(0,0) ,A(2,0) ,C(0,a) ,D(1,a) .利用数量积的
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坐标运算可得 f(x)=

=(1+a )x ﹣(4+a )x+4.x∈[0,1].通过对 a 分类讨论,利

2

2

2

解答:

用二次函数的单调性即可得出. 解:如图所示,建立直角坐标系. 则 B(0,0) ,A(2,0) ,C(0,a) ,D(1,a) . ∵ =x ,



=(2,0)+x(﹣1,a)=(2﹣x,xa) .

∴ =(x﹣2,﹣xa) , =(0,a)﹣(2﹣x,xa)=(x﹣2,a﹣ax) . ∴
2

=(x﹣2) ﹣ax(a﹣ax)
2 2

2

=(1+a )x ﹣(4+a )x+4.x∈[0,1]. ① 当 a=2 时,y=f(x)=5x ﹣8x+4= 当 x= 时,函数 y 取得最小值 ; 又 f(0)=4,f(1)=1,∴ 函数 f(x)的最大值为 4. 因此函数 f(x)的值域为:
2 2




2

② 对任意 a>0,都有 f(1)=1+a ﹣(4+a )+4=1 成立,正确; ③ 对任意 a>0,函数 f(x)= + .



时,0<

,而 f(0)=4,f(1)=1,因此函数 f(x)的最大值等于 4;



时,

,∴ 函数 f(x)在[0,1]内单调递减,而 f(0)=4 取得最大值.

综上可知:对任意 a>0,函数 f(x)的最大值都等于 4. ④ 由③ 可知:当 时,当 时,函数 f(x)取得最小值 ,令

=0, 解得 a=2 当 ,当 a=2 时, 时,使得函数 f(x)最小值为 0. ,∴ 函数 f(x)在[0,1]内单调递减,而 f(1)=1 取得最小值. 0,使得函数 f(x)最小值为 0.

综上可知:存在实数 a=2 综上可知:只有② ③ ④ 正确. 故答案为:② ③ ④ .

点评:

本题综合考查了向量的坐标运算、数量积的运算性质、二次函数的单调性、分类讨论的思想方法 等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上,将代表答 案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分 15. (5 分) (2014?闸北区三模)执行如图所示的程序框图.若输入 x=3,则输出 k 的值是( )

A.3 考点: 专题: 分析: 解答:

B.4

C.5

D.6

点评:

程序框图. 算法和程序框图. 根据框图的流程依次计算程序运行的结果,直到满足条件 x>24,跳出循环体,确定输出 k 的值. 解:由程序框图知:当输入 x=3 时,第一次循环 x=3+5=8,k=1; 第二次循环 x=8+5=13,k=2; 第三次循环 x=13+5=18,k=3; 第四次循环 x=18+5=23,k=4; 第五次循环 x=23+5=28,k=5. 满足条件 x>24,跳出循环体,输出 k=5. 故选:C. 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用 方法.
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16. (5 分) (2014?闸北区三模)某初级中学领导采用系统抽样方法,从该校预备年级全体 800 名学生中抽 50 名学 生做牙齿健康检查.现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号,求得间隔数 k= =16,即每 16 人抽取一个人.在 1~ )

16 中随机抽取一个数,如果抽到的是 7,则从 33~48 这 16 个数中应取的数是( A.40 B.39 C.38 D.37 考点: 专题: 分析: 解答:

点评:

系统抽样方法. 计算题. 各组被抽到的数,应是第一组的数加上间隔的正整数倍,倍数是组数减一. 解:根据系统抽样的原理: 应取的数是:7+16×2=39 故选 B 本题主要考查系统抽样,系统抽样要注意两点:一是分组的组数是由样本容量决定的,二是随机性
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是由第一组产生的数来决定的.其他组加上间隔的正整数倍即可. 17. (5 分) (2014?闸北区三模)已知 F1、F2 为双曲线 C:x ﹣y =2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠ F1PF2=( ) A. B. C. D.
2 2

考点: 专题: 分析: 解答:

双曲线的简单性质. 计算题. 根据双曲线的定义,结合|PF1|=2|PF2|,利用余弦定理,即可求 cos∠ F1PF2 的值. 解:设|PF1|=2|PF2|=2m,则根据双曲线的定义,可得 m=2 ∴ |PF1|=4 ,|PF2|=2 ∵ |F1F2|=4
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∴ cos∠ F1PF2=

=

=

点评:

故选 C. 本题考查双曲线的性质,考查双曲线的定义,考查余弦定理的运用,属于中档题.

18. (5 分) (2014?闸北区三模)函数 y=f(x)的定义域为[﹣2,0)∪ (0,2],其图象上任一点 P(x,y)都位于 椭圆 C: +y =1 上,下列判断
2

① 函数 y=f(x)一定是偶函数; ② 函数 y=f(x)可能既不是偶函数,也不是奇函数; ③ 函数 y=f(x)可能是奇函数; ④ 函数 y=f(x)如果是偶函数,则值域是[﹣1,0)或(0,1]; ⑤ 函数 y=f(x)值域是(﹣1,1) ,则一定是奇函数. 其中正确的命题个数有( )个. A.1 B.2 C.3 D.4 考点: 专题: 分析: 椭圆的简单性质. 圆锥曲线的定义、性质与方程.
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由题意知:函数图象为椭圆 C:

+y =1 的一部分,按选项的要求作出函数的图象,数形结合可得

2

解答:

答案. 解:如图 1,图象满足题意,则可知① 错误,③ 正确,⑤ 正确;

如图 2 可知② 正确;

如图 3 为偶函数,但值域不是[0,1)或(﹣1,0],故④ 错误,

点评:

故正确的命题个数有 3 个. 故选:C. 题考查命题真假的判断,涉及函数的奇偶性和值域问题,属基础题.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步 骤. 19. (12 分) (2014?闸北区三模)如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ BAC=90°,AB=AA1=2,AC=2,E 为 A1C! 中点,求直线 CC1 与平面 BCE 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)

考点: 专题: 分析: 解答:

直线与平面所成的角. 空间角;空间向量及应用. 建立空间直角坐标系,利用向量法解决.
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解:如图建立空间直角坐标系,设平面 BCE 的法向量



直线 CC1 与平面 BCE 所成角为 θ:B(2,0,0) ,C(0,2,0) ,E(0,1,2) ,C1(0,2,2)

∴ ﹣2μ+2ν=0…(2 分)

∴ ﹣ν+2ω=0…(4 分)

令 v=2,则

…(6 分)

∴ sin=

…(10 分)

∴ θ=arcsin 直线 CC1 与平面 BCE 所成角大小为 …(12 分)

点评:

本题考查了线面角的求法,同时考查了利用空间向量的方法求解立体几何问题,属于中档题.

20. (14 分) (2014?闸北区三模)如图,某污水处理厂要在一正方形污水处理池 ABCD 内修建一个三角形隔离区以 投放净化物质, 其形状为三角形 APQ, 其中 P 位于边 CB 上, Q 位于边 CD 上. 已知 AB=20 米, ∠ PAQ= 记 f(θ)= ,当 f(θ)越大,则污水净化效果越好. , 设∠ PAB=θ,

(1)求 f(θ)关于的函数解析式,并求定义域; (2)求 f(θ)最大值,并指出等号成立条件?

考点: 专题: 分析:

三角函数中的恒等变换应用. 综合题;解三角形. (1)首先求出 θ 的范围,然后分别表示出 AP,AQ,和三角形 APQ 的面积,进而获得 f(θ)的解 析式. (2)对函数解析式利用两角和公式进行化简整理,利用 θ 的范围和三角函数的性质求得函数的最 大值.
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解答:

解: (1)∵ ∴ <θ < ,





如图









,θ∈[



]

(2) ∵ θ∈[ ∴ ∴ 当 答:当 点评: , ] , 时,即 时,f(θ)max=3,



时,f(θ)的最大值为 3.

本题主要考查了三角函数恒等变换的应用.考查了学生运用三角函数基础知识解决实际问题的能 力.
*

21. (14 分) (2014?闸北区三模)数列{an}的首项 a1=a,an+an+1=3n﹣54,n∈N (1)求数列{an}的通项公式; (3)设{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn 的最小值为﹣243,求 a 的取值范围? 考点: 专题: 分析: 数列的求和;数列递推式. 计算题;等差数列与等比数列.
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(1)可求 a2=﹣51﹣a,则 an+1+an+2=3n﹣51,an+an+1=3n﹣54,两式作差,得 an+2﹣an=3,即奇数 项成等差,偶数项成等差,分 n 为奇数、偶数可分别求出; (2)分 n 为奇数、偶数求出 Sn,然后利用二次函数性质可求得最值,根据已知条件可得 a 的不等 式; 解: (1)a1=a,a2=﹣51﹣a, 又 an+1+an+2=3n﹣51,an+an+1=3n﹣54, 则 an+2﹣an=3,即奇数项成等差,偶数项成等差,

解答:





(2)当 n 为偶数,即 n=2k 时: ∴ Sn≥S18=﹣243; 当 n 为奇数,即 n=2k﹣1 时: ,



点评:

∴ Sn≥S17=S19=a﹣216, ∵ (Sn)min=﹣243,∴ a﹣216≥﹣243,∴ a≥﹣27. 本题考查由递推式求数列通项、等差数列是通项公式、数列求和及二次函数的性质,考查分类讨 论思想,考查学生的运算求解能力.
2

22. (16 分) (2014?闸北区三模)在平面直角坐标系 xOy 中,原点为 O,抛物线 C 的方程为 x =4y,线段 AB 是抛 物线 C 的一条动弦.

(1)求抛物线 C 的准线方程和焦点坐标 F; (2)求 ? =﹣4,求证:直线 AB 恒过定点;
2 2 2

(3)当|AB|=8 时,设圆 D:x +(y﹣1) =r (r>0) ,若存在且仅存在两条动弦 AB,满足直线 AB 与圆 D 相切, 求半径 r 的取值范围? 考点: 专题: 分析: 直线与圆锥曲线的综合问题. 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 (1)利用抛物线 C 的方程为 x =4y,可求抛物线 C 的准线方程和焦点坐标 F;
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(2)设直线 AB 方程为 y=kx+b,代入抛物线方程,利用

?

=﹣4,求出 b,即可证明直线 AB 恒

过定点; (3)当|AB|=8 时,确定 r,k 的关系,利用函数的单调性,即可得出结论. 解答: (1)解:抛物线 C 的方程为 x =4y 中 2p=4, =1, ∴ 准线方程:y=﹣1,焦点坐标:F(0,1) (4 分) (2)证明:设直线 AB 方程为 y=kx+b,A(x1,y1) ,B(x2,y2) 由 得 x ﹣4kx﹣4b=0,
2 2

∴ x1+x2=4k,x1x2=﹣4b(6 分) ∴ ∴ x1x2=﹣8, ∴ ﹣4b=﹣8, ∴ b=2, ∴ 直线 y=kx+2 过定点(0,2) (9 分) (3)解: (11 分) ,

(12 分)





令 当 时,

,则

,当 单调递增,r>0(14 分)

时,

单调递减,0<r≤3(13 分)

点评:

k 存在两解即 t 一解,∴ r>3. (16 分) 本题考查抛物线的性质,考查直线与抛物线的位置关系,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解 决问题的能力,属于中档题.

23. (18 分) (2014?闸北区三模)定义函数 y=f(x) ,x∈D(D 为定义域)图象上的点到坐标原点的距离为函数的 y=f(x) ,x∈D 的模.若模存在最大值,则称之为函数 y=f(x) ,x∈D 的长距;若模存在最小值,则称之为函数 y=f (x) ,x∈D 的短距.

(1)分别判断函数 f1(x)= 与 f2(x)= (2)求证:指数函数 y=a (a>0,a≠1)的短距小于 1;
x

是否存在长距与短距,若存在,请求出;

(3)对于任意 x∈[1,2]是否存在实数 a,使得函数 f(x)= 请求出 a 的取值范围;不存在,则说明理由? 考点: 专题: 分析: 解答: 解(1)设 ∴ f1(x)短距为 设 ,长距不存在.

的短距不小于 2 且长距不大于 4.若存在,

函数的最值及其几何意义;基本不等式. 新定义. (1)通过基本不等式及代入求值解出即可, (2)通过和单位圆作比较得出不等式求出 t(x0)<1; (3)假设存在,将 a 分类讨论,解不等式求出并集即可.
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(当且仅当 x=±1 取得等号)

v(x)min=v(1)=1v(x)max=v(﹣5)=5f2(x)短距为 1,长距为 5. (2)设
x

,t(0)=1,

∴ y=a (a>0,a≠1)的短距不大于 1,

∴ a=

x

,y=a 与单位圆存在两个交点 < ,

x

当 a>1 时,存在﹣1<x0<0 使得: ∴ t(x0)<1, 当 0<a<1 时,存在 0<x0<1 使得



∴ t(x0)<1 x ∴ 指数函数 y=a (a>0,a≠1)的短距小于 1; (3)设 使得函数
2

, 的短距不小于 2 且长距不大于 4,

即 4≤x +2x|x﹣a|≤16 对于 x∈[1,2]始终成立, 2 x +2x|x﹣a|≥4 对于 x∈[1,2]始终成立: 当 a>2 时: ∴ a≥ , 当 1≤a≤2 时:取 x=a 即可知显然不成立 当 a<1 时: ∴ a≤﹣ , x +2x|x﹣a|≤16 对于 x∈[1,2]始终成立,
2

对于 x∈[1,2]始终成立,

对于 x∈[1,2]始终成立,

即: (3x﹣ ∴ ﹣1≤a≤5; 综上 点评:

)≤a≤ (x+

)对于 x∈[1,2]始终成立:



本题新定义了长距和短距,属于新定义问题,考察了函数最值及基本不等式的问题,渗透了分类 讨论思想,有一定的综合性,是难度较大的题.


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