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数学竞赛教案讲义(15)——复数


第十五章
一、基础知识

复数

1.复数的定义:设 i 为方程 x2 =-1 的根,i 称为虚数单位,由 i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如 a+bi(a,b∈R)的数,称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通 常用 C 来表示。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 复数的几种形式。 对任意复数 z=a+bi

(a,b∈R) , a 称实部记作 Re(z),b 称虚部记作 Im(z).

z=ai 称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成;若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那 么 z 与坐标平面唯一一个点相对应, 从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合 之间的一一映射。因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴, y 轴去掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式;如果将(a,b)作为向量的坐标,复数 z 又 对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式;另外 设 z 对应复平面内的点 Z,见图 15-1,连接 OZ,设∠xOZ=θ ,|OZ|=r,则 a=rcosθ ,b=rsin θ ,所以 z=r(cosθ +isinθ ),这种形式叫做三角形式。若 z=r(cosθ +isinθ ),则θ 称为 z 的辐角。 若 0≤θ <2π , 则θ 称为 z 的辐角主值, 记作θ =Arg(z). r 称为 z 的模, 也记作|z|, 由勾股定理知|z|= a ? b .如果用 ei θ 表示 cosθ +isinθ , 则 z=rei θ , 称为复数的指数形
2 2

式。 3.共轭与模,若 z=a+bi, (a,b∈R ),则 z ? a-bi 称为 z 的共轭复数。模与共轭的性质有: (1) z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; (2) z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; (3) z ? z ?| z | 2 ; (4) ? ? (6) | | z1 ? z2 |?| z1 | ? | z2 | ;

? z1 ? z1 ? ; (5) ?? ? z2 ? z2

z1 | z1 | ; ( 7 ) ||z1 |-|z2 || ≤ |z1 ± z2 | ≤ |z1 |+|z2 | ; (8 ) |? z2 | z2 |
1 。 z

2 2 2 2 |z1 +z2 | +|z1 -z2 | =2|z1 | +2|z2 | ; (9)若|z|=1,则 z ?

4.复数的运算法则: (1)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,运 算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数; (2)按向量形式,加、减法满足平行四边形 和三角形法则; (3)按三角形式,若 z1 =r1 (cosθ 1 +isinθ 1 ), z2 =r2 (cosθ 2 +isinθ 2 ),则 z1? ? z2 =r1 r2 [cos(θ 1 +θ 2 )+isin(θ 1 +θ 2 )];若 z 2 ? 0,

z1 r1 ? [cos(θ 1 -θ 2 )+isin(θ 1 -θ 2 )], z 2 r2

用指数形式记为 z1 z2 =r1 r2 e

i( θ 1+ θ 2)

,

z1 r1 i (?1 ??2 ) ? e . z 2 r2

5.棣莫弗定理:[r(cosθ +isinθ )]n =rn (cosnθ +isinnθ ). 6. 开 方 : 若 w n ? r(cos θ +isin θ ) , 则 w ? k=0,1,2,?,n-1。 7. 单位根: 若 w =1, 则称 w 为 1 的一个 n 次单位根, 简称单位根, 记 Z1 = cos
n

n

r( co s

? ? 2k?
n

? is i n

? ? 2k?
n

) ,

2? 2? , ? i sin n n

则全部单位根可表示为 1, Z1 , Z12 ,?, Z1n?1 . 单位根的基本性质有(这里记 Z k ? Z1k , k=1,2,?,n-1) : (1)对任意整数 k,若 k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1,有 Znq+r =Zr ; (2)对任意
m m 整数 m,当 n≥2 时,有1 ? Z1m ? Z 2 ? ?? Zn ?1 = ?

?0,当n | m, 特别 1+Z1 +Z2 +?+Zn-1 =0; (3) ?n,当n | m,

xn-1 +xn-2 +?+x+1=(x-Z1 )(x-Z2 )?(x-Zn-1 )=(x-Z1 )(x- Z 12 )?(x- Z1n?1 ). 8.复数相等的充要条件: (1)两个复数实部和虚部分别对应相等; ( 2)两个复数的模和辐角 主值分别相等。 9.复数 z 是实数的充要条件是 z= z ;z 是纯虚数的充要条件是:z+ z =0(且 z≠0). 10.代数基本定理:在复数范围内,一元 n 次方程至少有一个根。 11.实系数方程虚根成对定理:实系数一元 n 次方程的虚根成对出现,即若 z=a+bi(b≠0) 是方程的一个根,则 z =a-bi 也是一个根。 12 .若 a,b,c ∈ R,a ≠ 0 ,则关于 x 的 方程 ax +bx+c=0 ,当 Δ =b -4ac<0 时方程的根为
2 2

x1, 2 ?

? b ? ? ?i . 2a

二、方法与例题 1.模的应用。 例1 求证:当 n∈N+ 时,方程(z+1) +(z-1) =0 只有纯虚根。
2n 2n

例2

设 f(z)=z2 +az+b,a,b 为复数,对一切|z|=1,有|f(z)|=1,求 a,b 的值。

2.复数相等。 例3 设λ ∈R ,若二次方程(1-i)x2 +(λ +i)x+1+λ i=0 有两个虚根,求λ 满足的充要条件。

3.三角形式的应用。 例4 设 n≤2000,n∈N,且存在θ 满足(sinθ +icosθ )n =sinnθ +icosnθ ,那么这样的 n 有

多少个?

4.二项式定理的应用。 例5 计算: (1) C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100 ; (2) C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100
0 2 4 100 1 3 5 99

5.复数乘法的几何意义。 例6 以定长线段 BC 为一边任作Δ ABC,分别以 AB,AC 为腰,B,C 为直角顶点向外作等腰

直角Δ ABM、等腰直角Δ ACN。求证:MN 的中点为定点。

例7

设 A,B,C,D 为平面上任意四点,求证:AB?AD+BC?AD≥AC?BD。

6.复数与轨迹。 例8 Δ ABC 的顶点 A 表示的复数为 3i,底边 BC 在实轴上滑动,且|BC|=2,求Δ ABC 的外心

轨迹。

7.复数与三角。 例9 已知 cosα +cosβ +cosγ =sinα +sinβ +sinγ =0,求证:cos2α +cos2β +cos2γ =0。

例 10

求和:S=cos200 +2cos400 +?+18cos18×200 .

8.复数与多项式。 例 11 已知 f(z)=c0 z +c1 z +?+cn-1 z+cn 是 n 次复系数多项式(c0 ≠0).
n n-1

求证:一定存在一个复数 z0 ,|z0 |≤1,并且|f(z0 )|≥|c0 |+|cn |.

9.单位根的应用。 例 12 证明:自⊙O 上任意一点 p 到正多边形 A1 A2 ?An 各个顶点的距离的平方和为定值。

10.复数与几何。 例 13 如图 15-2 所示,在四边形 ABCD 内存在一点 P,使得Δ PAB,Δ PCD 都是以 P 为直角

顶点的等腰直角三角形。求证:必存在另一点 Q,使得Δ QBC,Δ QDA 也都是以 Q 为直角顶点 的等腰直角三角形。

例 14

平面上给定Δ A1 A2 A3 及点 p0 ,定义 As =As-3 ,s≥4,构造点列 p0 ,p1 ,p2 ,?,使得 pk+1 为绕

中心 Ak+1 顺时针旋转 1200 时 pk 所到达的位置,k=0,1,2,?,若 p1986 =p0 .证明:Δ A1 A2 A3 为等边 三角形。

三、基础训练题 1.满足(2x2 +5x+2)+(y2 -y-2)i=0 的有序实数对(x,y)有__________组。 2.若 z∈C 且 z2=8+6i,且 z3-16z-

100 =__________。 z

3.复数 z 满足|z|=5,且(3+4i)?z 是纯虚数,则 z ? __________。 4.已知 z ? ?

2 1 ? 3i

,则 1+z+z2 +?+z1992 =__________。

5.设复数 z 使得

z ?1 ? 的一个辐角的绝对值为 ,则 z 辐角主值的取值范围是__________。 z?2 6

6.设 z,w,λ ∈C,|λ |≠1,则关于 z 的方程 z -Λ z=w 的解为 z=__________。

1? x 1? x2 ? arcsin ? __________。 7.设 0<x<1,则 2arctan 1? x 1? x2
8.若α ,β 是方程 ax2 +bx+c=0(a,b,c∈R)的两个虚根且
2 2 2 2 2 2

?2 ? ? R ,则 ? __________。 ? ?

9.若 a,b,c∈C,则 a +b >c 是 a +b -c >0 成立的__________条件。 10. 已知关于 x 的实系数方程 x -2x+2=0 和 x +2mx+1=0 的四个不同的根在复平面上对应的点 共圆,则 m 取值的集合是__________。 11.二次方程 ax2 +x+1=0 的两根的模都小于 2,求实数 a 的取值范围。 12. 复平面上定点 Z0 , 动点 Z1 对应的复数分别为 z0 ,z1 , 其中 z0 ≠0, 且满足方程|z1 -z0 |=|z1 |, ①另一个动点 Z 对应的复数 z 满足 z1 ?z=-1,②求点 Z 的轨迹,并指出它在复平面上的形状
2 2

和位置。 13 . N 个复数 z1 ,z2, ? ,zn 成等比数列,其中 |z1 |≠ 1,公比为 q,|q|=1 且 q≠± 1, 复数 w1 ,w2 ,?,wn 满足条件:wk =zk +

1 +h,其中 k=1,2,?,n,h 为已知实数,求证:复平面内表示 zk

w1 ,w2 ,?,wn 的点 p1 ,p2 ,?,pn 都在一个焦距为 4 的椭圆上。 四、高考水平训练题 1.复数 z 和 cosθ +isinθ 对应的点关于直线|iz+1|=|z+i|对称,则 z=__________。 2.设复数 z 满足 z+|z|=2+i,那么 z=__________。 3.有一个人在草原上漫步,开始时从 O 出发,向东行走,每走 1 千米后,便向左转 他走过 n 千米后,首次回到原出发点,则 n=__________。

? 角度, 6

(4 ? 3i) 2 (?1 ? 3i)10 4.若 z ? ,则|z|=__________。 (1 ? i)12
5.若 ak ≥0,k=1,2,?,n,并规定 an+1 =a1 ,使不等式 的实数λ 的最大值为__________。 6.已知点 P 为椭圆

?
k ?1

n

2 2 ak ? ak ak ?1 ? ak ?1 ? ? ? a k 恒成立 k ?1

n

x2 y2 ? ? 1 上任意一点,以 OP 为边逆时针作正方形 OPQR,则动点 R 9 5

的轨迹方程为__________。 7.已知 P 为直线 x-y+1=0 上的动点,以 OP 为边作正Δ OPQ(O,P,Q 按顺时针方向排列)。 则点 Q 的轨迹方程为__________。 8.已知 z∈C,则命题“z 是纯虚数”是命题“

z2 ? R ”的__________条件。 1? z2

9.若 n∈N,且 n≥3,则方程 zn+1 +zn -1=0 的模为 1 的虚根的个数为__________。 10 . 设 (x2006 +x2008 +3)2007 =a0 +a1 x+a2 x2 + ? +an xn , 则 a0 ?

a a1 a 2 a ? ? a3 ? 4 ? 5 + ? 2 2 2 2

+a3k -

a3k ?1 a3k ? 2 ? ? ? ? a n ? __________。 2 2

11.设复数 z1 ,z2 满足 z1? z 2 ? Az1 ? Az 2 ? 0 ,其中 A≠0,A∈C。证明:

(1)|z1 +A|?|z2 +A|=|A| ;

2

(2)

z1 ? A z1 ? A ? . z2 ? A z2 ? A

12.若 z∈C,且|z|=1,u=z4 -z3 -3z2 i-z+1.求|u|的最大值和最小值,并求取得最大值、最小值 时的复数 z.

?| z1 |?| z 2 |?| z 3 |? 1, ? z z ?z 13.给定实数 a,b,c,已知复数 z1 ,z2 ,z3 满足 ? 1 ? 2 ? 3 ? 1, 求 ? z 2 z 3 z1
|az1 +bz2 +cz3 |的值。 三、联赛一试水平训练题 1.已知复数 z 满足 | 2 z ?

1 |? 1. 则 z 的辐角主值的取值范围是__________。 z

2.设复数 z=cosθ +isinθ (0≤θ ≤π ),复数 z,(1+i)z,2 z 在复平面上对应的三个点分别 是 P,Q,R,当 P,Q,R 不共线时,以 PQ,PR 为两边的平行四边形第四个顶点为 S,则 S 到原点距离的最大值为__________。 3.设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 z1 ,z2 ,?,z20 ,则复数
1995 z1 , z1995 ,?, z1995 2 20 所对应的不同点的个数是__________。

4.已知复数 z 满足|z|=1,则|z+iz+1|的最小值为__________。 5. 设w? ?

1 3 z1 =w-z,z2 =w+z,z1 ,z2 对应复平面上的点 A, B, 点 O 为原点, ∠AOB=900 , ? i, 2 2

|AO|=|BO|,则Δ OAB 面积是__________。 6.设 w ? cos

?
5

? i sin

?
5

,则(x-w)(x-w3 )(x-w7 )(x-w9 )的展开式为__________。

7.已知( 3 ? i )m =(1+i)n (m,n∈N+ ),则 mn 的最小值是__________。 8.复平面上,非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心,1 为半径的圆上, z1 ?z2 的实部为零,z1 的辐 角主值为

? ,则 z2 =__________。 6
3 ?i 7 ) ? 1]n 的值中有实数__________个。 2

9.当 n∈N,且 1≤n≤100 时,[(

10 .已 知复 数 z1 ,z2 满足

z 2 z1 ? ? 7 ? ,且 Argz1 ? , Argz 2 ? , Argz 3 ? ? ,则 3 6 8 z1 z2

Arg

z1 ? z 2 的值是__________。 z3
1 ? ix n ) ? A 的所有根都是不相等的实根(n∈ 1 ? ix

11. 集合 A={z|z18 =1},B={w|w48 =1},C={zw|z∈A,w∈B}, 问: 集合 C 中有多少个不同的元素? 12.证明:如果复数 A 的模为 1,那么方程 ( N+ ). 13.对于适合|z|≤1 的每一个复数 z,要使 0<|α z+β |<2 总能成立,试问:复数α ,β 应满 足什么条件? 六、联赛二试水平训练题 1.设非零复数 a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 满足

? a 2 a3 a 4 a5 ? ? ? ? ? a1 a 2 a3 a 4 ? ?a ? a ? a ? a ? a ? 1 (a ? a ? a ? a ? a ) ? S , 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ? 4 ?
其中 S 为实数且|S|≤2,求证:复数 a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上。 2.求证: sin

?
n
n

? sin

2? (n ? 1)? n ? ? ? sin ? n ?1 (n ? 2) 。 n n 2
n-2

3.已知 p(z)=z +c1 z +c2 z +?+cn 是复变量 z 的实系数多项式,且|p(i)|<1,求证:存在实 数 a,b,使得 p(a+bi)=0 且(a2 +b2 +1)2 <4b2 +1. 4. 运用复数证明: 任给 8 个非零实数 a1 ,a2 ,?,a8 , 证明六个数 a1 a3 +a2 a4 , a1 a5 +a2 a6 , a1 a7 +a2 a8 , a3 a5 +a4 a6 , a3 a7 +a4 a8 ,a5 a7 +a6 a8 中至少有一个是非负数。 5.已知复数 z 满足 11z10 +10iz9 +10iz-11=0,求证:|z|=1. 6.设 z1 ,z2 ,z3 为复数,求证: |z1 |+|z2 |+|z3 |+|z1 +z2 +z3 |≥|z1 +z2 |+|z2 +z3 |+|z3 +z1 |。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

n-1


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