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二项式定理试题类型大全


二项式定理试题类型大全 二项式定理试题类型大全
一.选择题 4 1.有多少个整数 n 能使(n+i) 成为整数(B A.0 B.1 C.2 2.
8
4

) D.3

( 2 ? x ) 展开式中不含 x 项的系数的和为(B ) ..
B.0
1 2 3

A.-1

r />
C.1
100

D.2

3.若 S= A1 + A2 + A3 + LL + A100 ,则 S 的个位数字是(C ) A 0 B 3 C 5 D 8

4.已知(x- 是( C ) 8 A.2
3

a 8 ) 展开式中常数项为 1120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项系数的和 x
B.3
8

C.1 或 3

8

D.1 或 2 ) D.16 个 ) D.6 项

8

5.在 ( 2 + 5)100 的展开式中,有理项的个数是( A.15 个 B.33 个
24

C.17 个

? 1 ? ? 的展开式中,x 的幂指数是整数的项共有(C 6.在 ? x + ? ? 3 x? ?
A.3 项
5

B.4 项
6 3

C.5 项

7.在(1-x) -(1-x) 的展开式中,含 x 的项的系数是( C ) A、-5 B、 5 C、10 D、-10
5 3 8. (1 ? x) ? (1 + x ) 的展开式中 x 3 的系数为( A.6 B.-6 C.9

) D .-9 )

9.若 x=

1 10 ,则(3+2x) 的展开式中最大的项为(B 2
B.第三项
4

A.第一项

C.第六项

D.第八项 )

10.二项式 (2 x ? A.7

1 n ) 的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为( 3 x3
B.12 C.14
2

D.5 )

11.设函数 f ( x ) = (1 ? 2 x )10 , 则导函数 f ′( x ) 的展开式 x 项的系数为(C A.1440 12.在 ( x + (A)51 B.-1440 C.-2880 D.2880

1 ? 1)5 的展开式中,常数项为( B ) x
(B)-51 (C)-11 (D)11

13.若 ( x + 1)n = x n + L + ax3 + bx 2 + L + 1(n ∈ N? ) ,且 a : b = 3 :1 ,则 n 的值为( C ) A.9 (A) 9 解:根据左边 B.10
2 10

C.11 (B)10

D.12
9 10

14.若多项式 x + x = a 0 + a1 ( x + 1) + ? ? ? + a 9 ( x + 1) + a10 ( x + 1) ,则 a 9 = ( (C) ? 9 (D) ? 10
9
10



x

的系数为 1,易知

a

10

= 1 ,左边 x 的系数为 0,右边 x 的系数为
9

a + a C = a +10 = 0,∴ a9 = ?10
9 9 10 10 9
n

故选 D。

15.若 x(1+x) 的展开式中的每项的系数都用这一项的 x 的指数去除,则得到的新系数和等 于( A ) n+1 n n-1 n A.(2 -1)/(n+1) B.(2 -1)/(n+1) C.(2 +n-2)/(n+1) D.(n·2 +1)/(n+1) 16.设 a、b、m 为整数(m>0),若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余.记为 a≡b(mod m).已知 a=1+C 1 +C 2 ·2+C 3 ·2 +…+C 20 ·2 ,b≡a(mod 10),则 b 的值可以 20 20 20 20 是( B ) A.2015 B.2011 C.2008 D.2006
2 19

sin θ 17.若二项式 ( ? x) 6 展开式的常数项为 20,则 θ 值为( B ) x
A. 2kπ +
10

π

2

(k ∈ Z )

B. 2kπ ? )

π

2

(k ∈ z )

C.

π

2

D. ?

π
2

18.53 被 8 除的余数是( A、1 B、2

C、3

D、7 )

1 2 2 3 3 4 4 19 已知 x = 2 + i ,设 M = 1 ? C 4 x + C 4 x ? C 4 x + C 4 x ,则 M 的值为(

A 4 B -4i C 4i D 6 20.数(1.05) 的计算结果精确到 0.01 的近视值是………………………( ) . . . A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.44 . . . . . . . . 21.(x+1)(2x+1)(3x+1)…(nx+1)的展开式中,x 的系数是…………………( ) . A. C n ?1 . n 二.填空题 20、已知 3 C x ?3 = 5 Ax ? 4 ,则 x=__________________
2 x ?7

B. C 2 . n

C. C 2 +1 . n

D. C 2 ?1 . n

21、 (x-1) (x+2) (x-5) (x+7) (x-10)中 x 的系数为_______________ 22.若对任意实数 x, y 都有 ( x ? 2 y )5 = a 0 (x + 2 y )5 + a1 (x + 2 y )4 y + a 2 (x + 2 y )3 y 2 + a3 (x + 2 y )2 y 3 +

4

+ a 4 ( x + 2 y ) y 4 + a 5 y 5 ,则 a 0 + a1 + a 2 + a3 + a 4 + a 5 =
23 设 a 为 sin x + 3 cos x ( x ∈ R ) 的最大值, 则二项式 ( a x ? 是 24 -192

-243

.

1 x

)6 展开式中含 x 2 项的系数

已 知 等 式 (1 + x ? x 2 ) 3 ? (1 ? 2 x 2 ) 4 = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + L + a14 x 14 0 .

成 立 , 则

a1 + a2 + a3 + L + a 13 + a14 的值等于

25、 ( x ? 于

2 ) 2006 的二项展开式中,含 x 的奇次幂的所有项的和为 S,当 x = 2 时,S 等 1 n ) 的展开式的各项系数之和为 P,所有二项式系数之和为 S,若 x

26 设二项式 (33 x +

P+S=272,则 n= . 三.解答题 27、某餐厅供应客饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不同的品种, 现在餐厅准备了五种不同的荤菜, 若要保证每位顾客有 200 种以上不同选择, 则餐厅至少还 需准备不同的素菜品种?(要求写出必要的解答过程) 解:在 5 种不同的荤菜中取出 2 种的选择方式应有 C 5 = 10 种,设素菜为 x 种,则
2

C x2 ? C 52 ≥ 200 解得 x ≥ 7 ,
28、已知 (3 x + x 2 ) 2 n 的展开式的二项式系数和比 (3 x ? 1) n 的展开式的系数和大 992,求

1 (2 x ? ) 2 n 的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值 绝对值最大的项. 绝对值 x 解: (1)n=5,—8064 4 (2)—15360x
解:由题意 2 2 n ? 2 n = 992 ,解得 n = 5 。 1 ① (2 x ? )10 的展开式中第 6 项的二项式系数最大, x 1 5 即 T6 = T5+1 = C10 ? (2 x) 5 ? (? ) 5 = ?8064 . x ②设第 r + 1 项的系数的绝对值最大, 1 r r 则 Tr +1 = C10 ? (2 x)10 ? r ? (? ) r = (?1) r ? C10 ? 210 ? r ? x 10 ? 2 r x r r r r ?C10 ? 210 ? r ≥ C10?1 ? 210 ? r +1 ?C10 ≥ 2C10?1 ?11 ? r ≥ 2r ? ? ∴? ,得 ? ,即 ? r r r r ?C10 ? 210 ? r ≥ C10+1 ? 210 ? r ?1 ?2C10 ≥ C10+1 ?2(r + 1) ≥ 10 ? r ? ? 8 11 ∴ ≤ r ≤ ,∴ r = 3 ,故系数的绝对值最大的是第 4 项. 3 3 29、(12 分)在二项式 ( x ?
3

1 2 x
3

) n 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列

(1)求展开式的常数项; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)求展开式中各项的系数和。
1 解:展开式的通项为 Tr +1 = (? ) r C r x n 2
n ?2r 3

,r=0,1,2,…,n

1 0 0 1 1 1 2 2 1 1 1 2 由已知: (? ) C n , ( )C n , ( ) C n 成等差数列,∴ 2 × C n = 1 + C n ∴ n=8 2 2 2 2 4

(1) T5 =

35 8

(2) T5二项式系数最大

(3)令 x=1,各项系数和为

1 256

30.已知 ( x +

1 2? x
4

) n 的展开式前三项中的 x 的系数成等差数列.

(1)求展开式中所有的 x 的有理项; (2)求展开式中系数最大的项. 解:(1)展开式前三项的系数分别为

1 n 2 1 2 1 = , C n ? ( ) = n(n ? 1) . 2 2 2 8 1 n 由题设可知: 2 ? = 1 + n( n ? 1) 2 8
1 2 C n = 1, C n ?

解得:n=8 或n=1(舍去). 当n=8 时, Tr +1 = C ( x )
r 8 8? r

? (2 ? x ) = C ? 2 ? x
4
r 8

?r

?r

3 4? r 4

.

据题意,4-

3 r 必为整数,从而可知 r 必为 4 的倍数, 4
4

而 0≤ r ≤8,∴ r =0,4,8. 故 x 的有理项为: T1 = x , T5 =

35 1 2 x , T9 = x . 8 256

(2)设第 r +1 项的系数 t r +1 最大,显然 t r +1 >0, 故有

t r +1 t ≥1 且 r + 2 ≤1. tr t r +1



t r +1 C r ? 2 ?r 9?r = r ?81 ? r +1 = , tr 2r C8 ? 2


9?r ≥1,得 r ≤3. 2r



t r + 2 C8r +1 ? 2 ? r ?1 2(r + 1) = = , t r +1 8?r C8r ? 2 ?r


2(r + 1) ≤1,得 r ≥2. 8?r
5 2 7 4

∴ r =2 或 r =3,所求项分别为 T3 = 7x 和 T4 = 7x . 31、(12 分)已知 m, n 是正整数, f ( x ) = (1 + x ) m + (1 + x ) n 的展开式 中 x 的系数为 7, (1) 试求 f (x ) 中的 x 的系数的最小值;9 (2) 对于使 f (x ) 的 x 的系数为最小的 m, n ,求出此时 x 的系数;5 (3) 对于使 f (x ) 的 x 的系数为最小的 m, n , 求此时 f (0.003) 的近似值 (精确到 0.01) ; 2.02 32、已知(x +
2 2 3 2

1 n ) 展开式中有第六项的二项式系数最大,求:(1)展开式中不含 x 项; x2 1 1 1 2 1 3 1 n 0 n (2)C n- C n+ C n- C n+…+(-1) · n C n 的值. 2 4 8 2
3

答案.(1)210,(2)

1 1024
m n
12

33.在二项式(ax +bx ) (a>0,b>0,m、n≠0)中有 2m+n=0,如果它的展开式里最大 系数项恰是常数项. (1)求它是第几项; (2)求

a 的最值. b
m
12-r

r 解: (1)设 T r +1 =C 12 (ax )

r · bx ) =C 12 a (

n

r

12-r

brxm(12-r)+nr 为常数项,则有 m(12-r)

+nr=0,即 m(12-r)-2mr=0,∴r=4,它是第 5 项. (2)∵第 5 项又是系数最大的项,
4 3 C 12 a b ≥C 12 a b ①
8 4 9 3

∴有
4 5 C 12 a b ≥C 12 a b ②
8 4 7 5

由①得

12 × 11 × 10 × 9 8 4 12 × 11 × 10 9 3 ab≥ ab, 4× 3× 2 3× 2 a 9 9 ∵a>0,b>0,∴ b≥a,即 ≤ . 4 b 4 a 8 a 8 9 由②得 ≥ ,∴ ≤ ≤ . b 5 5 b 4 a 9 8 故 的最大值、最小值分别为 、 . b 4 5

1 n 35. 已知 Sn = 2n + Cn 2n ?1 + Cn2 2n ? 2 + L + Cn ?1 2 + 1(n ∈ N? ) , 求证: n 为偶数时,Sn ? 4n ? 1 能 当

被 64 整除. 证明: Sn = (2 + 1) n = 3n ,
∵ n 为偶数,设 n = 2k (k ∈ N? ) ,
1 ∴ Sn ? 4n ? 1 = 9k ? 8k ? 1 = (8 + 1) k ? 8k ? 1 = (Ck0 8k ? 2 + Ck 8k ?3 + L + Ckk ? 2 · 2 , )8

(?)

当 k = 1 时, 9k ? 8k ? 1 = 0 ,显然 Sn ? 4n ? 1 能被 64 整除; 当 k ≥ 2 时, (?) 式能被 64 整除.
∴ n 为偶数时, Sn ? 4n ? 1 能被 64 整除.

例 4. 已知二项式 ( x ?

2 n * ) , (n∈N )的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数的 2 x

比是 10:1, (1)求展开式中各项的系数和 (2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 (1)∵第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 10:1, 解:

C ∴ C

4 n 2 n

? (?2) 4 ? (?2) 2

=

10 ,解得 n=8 1

令 x=1 得到展开式中各项的系数和为(1-2) 8 =1 (2) 展开式中第 r 项, 第 r+1 项,第 r+2 项的系数绝对值分别为

C C

r ?1 8

? 2 n? r , C 8 ? 2 r , C 8 ? 2 r +1 ,
r

r +1

若第 r+1 项的系数绝对值最大,则必须满足:
r ?1 8

? 2 n? r ≤ C 8 ? 2 r 并且 C 8 ? 2 r +1 ≤ C 8 ? 2 r ,解得 5≤r≤6;
r r

r +1

所以系数最大的项为 T 7 =1792 ?

1 1 ;二项式系数最大的项为 T 5 =1120 ? 6 11 x x


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