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学而思竞赛班微积分第3讲积分和简单的微分方程


第三讲

积分和简单的微分方程

上讲回顾

1 对于保守力有 F ? ?

dE p dx

,势能极值点就是受力平衡点

2 小量展开能将复杂的表达式简化,用多项式逼近任意函数。重要的公式:
当 x ?? 1 时 (1 ? x)n ? 1 ? nx

?

n(n ? 1) 2 x ? ... 2
1 x

3 常见的求导公式
[ x n ]' ? nx n ?1 ; [e x ]' ? e x ; [sin x]' ? cos x ; [? cos x]' ? sin x ; [ln x]' ?

本讲目标 积分是变量累计的基本方法。掌握积分之后一方面可以用更为简明的办法处理部分竞赛题,另一 方面为同学们自学各种高级课程扫平了障碍。 物理方程常常同时包括某个物理量和这个物理量的导数,这样的方程就叫微分方程。掌握微分方 程之后,对于许多问题便可以跳出具体的已知量、未知量的限制,从物理本质的角度,讨论问题的可 解性,归纳多题一解的方法。

知识模块 第一部分 单元函数积分

知识点睛
引入:物理公式分类 物理公式分成:状态方程(初中常见,例如牛二,万有引力)和过程方程(例如动能定理,动量 定理) 。判定以下方程是状态方程还是过程方程: m ? ?V ; F ? ma ; x ? vt 看下面两组方程

I? I?

U ; U ? IR R q ; q ? It t

前一组是状态的方程。后一组是过程的方程。当电流是常数的时候,两个式子都是对的。然后电 流是变化的时候,前一组方程还成立,后一组得到的就不是电流了,而是电流的平均值。如果还要求 结果是瞬时的电流,必须把第二组第一个变成求导数,后一个方程就把乘积变成了对瞬时的电流*时 间再求和,也就是我们今天要学的积分。
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1

程是 s ? v ? tb ? ta ?

先看两个例子: 一 变速直线运动的路程。 我们都熟悉匀速直线运动的路程公式。如果物体的速率是 v ,则它 ta 到 t0 -段时间间隔内走过的路

, 对于变速直线运动来说,物体的速率 v 是时间的函数: v ? v ? t ? ,函数的图形是一条曲线(见图 ? a ? ) 。对于变速直线运动, s ? v ? tb ? ta ? 只有在匀速直线运动的特殊情况下,它才是一条直线(参见图 ? b ? ) 式已不适用。但是,我们可以把 t ? ta 到 t ? tb 这段时间间隔分割成许多小段,当小段足够短时,在每 小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的。这样一来,物体在每小段时间里走过的路程都可以按 照匀速直线运动的公式来计算,然后把各小段时间里走过的路程都加起来,就得到 ta 到 tb 这段时间里 走过的总路程。 设时间间隔 ? tb ? ta ? 被 t ? t1 ? ? ta ? 、 t2 、 t3 、…、 tn 、 tb 分割成 n 小段,每小段时间间隔都是 ?t , 则在 t1 、 t2 、 t3 、…、 tn 各时刻速率分别是 v ? t1 ? 、 v ? t2 ? 、 v ? t3 ? 、…、 v ? tn ? 。如果我们把各小段时间 的速率钞看成是不变的,则按照匀速直线运动的公式,物体在这些小段时间走过的路程分别等于
v ? t1 ? ?t 、 v ? t2 ? ?t 、 v ? t3 ? ?t 、…、 v ? tn ? ?t 。于是,在整个 ? tb ? ta ? 这段时间里的总路程是 s ? v ? t1 ? ?t ? v ? t2 ? ?t ? v ? t3 ? ?t ? ? v ? tn ? ?t

? ? v ? ti ? ?t
i ?1

n

现在我们来看看上式的几何意义。在函数 v ? v ? t ? 的图形中,通过 t ? t1 、 t2 、 t3 、 tn 各点垂线的高度分 别是 v ? t1 ? 、 v ? t2 ? 、 v ? t3 ? 、…、 v ? tn ? (见图 ? b ? ) ,所以 v ? t1 ? ?t 、 v ? t2 ? ?t 、 v ? t3 ? ?t 、 v ? tn ? ?t 就分别 是图中那些狭长矩形的面积,而 ? v ? ti ? ?t 则是所有这些矩形面积的总和,即图中画了斜线的阶梯状
i ?1 n

图形的面积。 二 变力做功 当力与物体移动的方向一致时,在物体由位置 s ? sa 移到 s ? sb 的过中,恒力 F 对它所作的功为 如果力 F 是随位置变化的,即 F 是 s 的函数: F ? F ? s ? ,则不能运用式来计算力 F 的功了。这时,我 们也需要像计算变速运动的路程那样,把 ? sb ? sa ? 这段距离分割成 n 个长度为 ?s 的小段(见图) ,并 把各小段内力 F 的数值近似看成是恒定的,用恒力作功的公式计算出每小段路程 ?s 上的功,然后加 起来取 n ? ? 、 ?s ? 0 的极限值。具体地说,设力 F 在各小段路程内的数值分别为 F ? s1 ? 、 F ? s2 ? 、
A ? F ? sb ? sa ? 。

…、F ? sn ? 。 则在各小段路程上力 F 所作的功分别为 F ? s1 ? ?s 、F ? s2 ? ?s 、F ? s3 ? ?s 、F ? sn ? ?s 。 F ? s3 ? 、

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2

在 ? sb ? sa ? 整段路程上力 F 的总功 A 就近似地等于 ? F ? si ? ?s ,因为实际上在每小段路程上力 F 都是
i ?1

n

变化的,所以严格地计算,还应取 n ? ? 、 ?s ? 0 的极限值,即 A ? lim ? F ? si ? ?s 。
?s ? 0 n ?? i ?1

n

同上例,这极限值应是 ? sb ? sa ? 区间内 F ? s ? 下面的面积(见图) 。

我们把计算函数与横轴圈出的面积的极限定义为定积分:

?

sb

sa

F ( s )ds ? lim ? F ? si ? ?s
?s ? 0 n ?? i ?1

n

我们把算面积的起点和终点 S a , Sb 叫做积分的下限和上限。 每次都通过极限计算定积分是不现实的。如果一个函数满足 导函数, F ( x ) 叫 f ( x ) 的原函数。我们不加证明的给出:

dF ( x ) ? f ( x ) ,叫 f ( x ) 是 F ( x ) 的 dx

?

b

a

f ( x ) ?F (b) ? F ( a ) 。这就是著名的牛顿

-莱布尼兹公式。我们只做简单的说明:当积分上限增加 ?x 的时候,面积增加 f ( x ) ?x ,可见积分结
果随着积分上限的变化率为 f ( x ) 。我们定义下限大于上限的丁积分为圈出的面积的负值,这样定义 就能保持牛顿-莱布尼兹公式依旧成立。 从导函数求原函数的过程叫做不定积分。由于常数求导数等于 0,一个导函数对应着不只一个原 函数,相差一个常数,经常记做 C。定积分是针对一个函数取上下限计算面积,结果是一个数。不定 积分是求导数的逆运算,结果是一群相差常数的函数。二者通过牛顿-莱布尼兹公式联系起来。通常是 通过计算不定积分,代入公式求得定积分。通过基本求导公式可以计算基本不定积分。

【例1】 求以下不定积分

? adx ; ? x dx; (n ? ?1) ; ? (3x
n

2

1 ? 1) dx; ( n ? ?1) ; ? sin xdx ; ? dx ; x

? e dx ;
x

[解析] 略

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3

积分实际上就是猜原函数的过程。四则元算有章可循,求导数有法可依,积分过程基本靠猜。某 些大神们积分基本不动笔,目测答案…当然猜也有猜的方向。利用换元法可以处理更多的积分。换元 的基本想法就是把被积的函数变成基本积分。

g ?1

? f ( g ( x))dx , f 是一个我们会积分的函数,令 u ? g ( x) ,反解出 x ? g (u ) , (u ) 是反函数。则原来的积分变成 ? f ( g ( x))dx ? ? f (u )dg ( x) ? ? f (u )[ g (u )]' du ,如果
如果对函数积分
?1
?1 ?1

[ g ?1 (u )]' 非常简单,那么函数就可以积分了。注意:使用换元法计算定积分的时候,积分上下限也要
跟着进行变化。 【例2】 求以下积分

?
[答案]

b

a

(v0 ? gt )dt ; ? sin(kx ? ? ) dx ; ?a
a

b

2a

1 1 dx ; ? 1 ? x 2 dx (提示令 x ? cos ? ) 2 0 (a ? x)

?
b a

b

a

(v0 ? gt ) dt ? v0 (b ? a ) ?

1 g (b 2 ? a 2 ) 2

1 ( ? cos(kb ? ? ) ? cos( ka ? ? )) k 2a 1 1 1 1 ?a (a ? x)2 dx ? ? (a ? 2a) ? (a ? a) ? 6a ? /2 1 ? cos ?? ? 1 ? ?? d? ? ? (sin ? ? sin 0) ? 0 2 4 4 4 由此可以计算圆的面积

?

sin( kx ? ? )dx ?

/* 段子 物理学家于水管工 在欧美水管工(当前北京市里的木工)是一个高级工种。一个没落的物理学家的收入尚不如一位 高级水管工(高级木工) 。某天一个物理学家的水管坏了,请了水管工来修。水管工花了一个小时, 收费居然有 100 美元。 (某天物理学家请木匠打了一个柜子,发前木匠月薪两万)物理学家就出离愤 怒了:小样,我读的书比你见过的字都多,工资居然是我的两三倍。于是第二天物理学家就辞职了,去 了物业公司(家政公司) 。凭着其超强的模型理解能力和长年累月积淀的忽悠能力迅速的获得了职位, 从此过上了没有积分公式的快乐生活。好景不长,公司决定成立夜校,提高水管工们(木匠们)的文 化知识。公司请了一个小学奥数老师,让物理学家上黑板默写园的面积公式。他就上去了。发现忘记 公式。于是开始积分现推。推呀推呀就发现圆面积成了 ?? R 2 。这时候工友递上来一张纸条“唉呀妈 呀,老哥你是学物理地吧,积分上下限整拧了吧” 这个故事告诉我们三件事: 1 物理学好了啥都能做 2 摆平心态,实用性工作也是值得尊敬的工作 3 积分上下限要弄对 (这个段子要讲好关键在于抖包袱, 让学生看出来那个管道工也是学物理的, 学物理的是无处不在的弱势群体! )*/
【例3】 求以下不定积分 (自学)

x dx ; ? tan ? d? ; x ? x2 ? 2 1 x2 2 1 u 1 u 1 x2 x2 [解析] 1、换元 x 2 ? u ; ? xe dx ? ? e dx ? ? e du ? e ? C ? e ? C 2 2 2 2
x ? xe dx ; ?
2

4

2、换元把 x 2 当自变量,下面因式分解
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4

1 1 1 1 1 dx 2 ) dx 2 ? ? (ln( x 2 ? 1) ? ln( x 2 ? 2)) ? C ? ? ?( 2 ? 2 2 2 ? 2 ( x ? 1)( x ? 2) 6 x ?1 x ? 2 6
3、换元把 cos ? 当作自变量。

? tan ? d? ? ?

? d cos ? ? ? ln cos ? ? C cos ?

【例4】 计算下面函数围出的面积(自学)

1、 y ? 0 与 y ? 1 ? x 2 ; 2、 y ? x 与 y ? x 2 ? x ? 3 [答案] 1、 S ?
?
2

?

1

?1

1 ? x 2 dx ;令 x ? sin u ,得到:
? ?
2

? cos 2u ? 1 1 u 2 ? S ? ? ? cos ud sin u ? ? ? du ? sin 2u 2? ? ? ? ? ? 2 4 2 ?? 2 2 2 2
2

竖线的意义代表竖线左边的函数在取竖线右边上面值减去取下方值结果只差:

f ( x ) a ? f (b ) ? f ( a )

b

x3 2、 ? ? ( x ? 2 x ? 3)dx ? ? ?1 3
3 2

3

x2 ?2 2 ?1

3

? 3 x ?1 ? 10
?1

3

2 3
? ?

【思路总结】物理量之间的关系出了可以有简单的初等运算关系,例如 p ? mv 。还有一类物理量是 通过一个物理量随着另一个物理量的变化定义的,例如

? ? ? ? ?? d p ? d r ? d v F? ; v? ; a? ; dt dt dt
从上面的讨论可以看出积分可以看为是求导数的逆运算。通过积分运算就可以从 a (t ) 计算 v (t ) , 从 v (t ) 计算 s (t ) ,从 F ( s ) 计算 W ( s ) 。

【例5】 1、推导运加速直线运动的运动方程。

2、某用电器流过电流随时间变化关系为: I (t ) ? ? t 。求流过用电器电量随时间的关系。 3 、管道里分布着大量的微小的豆子,单位长度上豆子的数目与到原点距离的关系 为

n( x) ? ? x 。怪物从 x ? 0 的位置开始向右吃豆子。问怪物走到 x ? a 的地方共吃了多少豆子。

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【例6】 例题 给定以下受力情况下,用外力缓慢的将物体从 a 到拉到 b ,求外力做的功。

1、 弹簧: F ( x ) ? ? kx ; 2、 万有引力: F ( x) ? ?

GMm ; x2

3、点电荷 q 受到单位长度带电为 ? 的长直导线给的电场力:

F ( x) ? ?

?q ; (除 x 外都是常数) 2?? 0 x

4、圆柱形气缸内一端封闭,一端加有光滑的轻质导热活塞。初始状态体积为 V0 ,压强为 p0 ,保
持温度恒定,将体积压缩到 V ,求外力做功。 [解析]略

【例7】 一个平方的光滑的半径为 R 圆柱上搭了一条均匀的质量为 m 的链条, 长度为 拉着链条使得链条静止在如图的位置。求外力大小。

?
2

R。 用外力 F

F

?
[解析] 设角度为 ? 的地方,绳子张力大小。对着 ? 到 ? ? d? 的角度内的链条,写出切向的受力方程:

F (? ? d? ) ? F (? ) ? dm ? g cos ? dl d? m?m 其中 dm ? ,所以: ?R/2 ? /2 d? F (? ? d? ) ? F (? ) ? mg cos ? ? /2 ? /2 d? mg ? 于是 F ? ? mg cos ? 0 ? /2 ? /2
/* 可以考虑复习虚功原理*/
【点评】 实际物理过程中谁是积分变量,谁是被积分函数常常不是那么明显。这是后需要先写出一个状态的方 程。状态方程总是最基本,最直接的物理定理。 (重剑无锋,大巧不工。最简单的方程能解决最多的 问题) 例如:对于静力学就是静力平衡,对动力学就是牛顿定理。然后选取一个合适的变量,将所有其他变 量都换到这个变量的函数,写出积分式。
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第二部分

简单的微分方程

知识点睛
物理规律经常同时包括某个物理量和其导数。这样的方程不同于一般的代数方程,不能通过初等 运算直接的到物理量的关系。这样的方程叫做微分方程。我们不系统的介绍微分方程的理论,只是告 诉大家一般的解法 【例8】 一个质量为 m 的质点沿直线运动,受到与速度大小成正比的阻力 f ? ?kv 。初始时刻位于坐 标轴 0 点,初速度为 v0 。求 t 时刻物体的位置和速度。

[解析] 动力学问题,先写出牛顿定律: ma ? ? kv 因为考虑的是 v, t 的关系,所以全部写成 v, t 描述的变量:

m

dv ? ? kv dt

由于导数就是由除法极限定义的,所以 dv, dt 可以像 ?v, ?t 一样在等号两边乘除

kv dt m 然后把 v, t 分别放在等号两端: dv k ? ? dt v m dv ? ?
两边同时做定积分,注意积分上下限要对应相等:

?

v (T )

v0

dv k T ? ? ? dt v m 0 dv k t v k ? ? ?v0 v m ?0 dt ,当然有 ln v0 ? ? m t 。不过这么写把积分上限和积
v

/*写习惯了之后就容易写

分变量用相同字母标示,容易把初学者逼疯。 */

ln

k ? t v(T ) k ? ? T ,整理得到 v(t ) ? v0 e m v0 m

再做定积分:

x(t ) ? ? v0 e
0

t

k ? ? m

d? ?

k ? t v0 m (1 ? e m ) k

[变化] 如果只问位移为 x 时候速度为多少,可以这么干:

dv ? ? kv ,由于只问 x 与 v 的关系,所以变量都换成 x 与 v 。 dt 变为 mdv ? ? kvdt , mdv ? ? kdx ;两边积分的得到 m
m?
v( X ) v0

dv ? ? k ? dx ,得到 m(v( x) ? v0 ) ? ? k ( x ? 0)
0

X

解得: v( x) ? v0 ? kx / m [点评] 后一种题型是竞赛中可能出现的情景。为此各类竞赛书给出了各种解法,并冠以各种名称。我 们希望还原其物理本质,将类此问题给出统一解法。 【思路总结】从上面的问题我们可以总微分方程的一般解法。 1. 首先根据具体问题,写出物理规律对应的方程。
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2. 3. 4. 5. 6.

根据要求选取适当的自变量。 然后把整个方程写成应变量与自变量的微分的形式。 然后分离变量,使得等号的同侧只含有共一种变量。 最后带入起止条件做积分,得到结果。 解微分方程本质是通过物理量在特定状态下的关系,推演出其在一个过程中的变化规律。

【例9】 证明一维运动的微分形式的动能定理

dEk ? Fdx
[解析] 写出牛顿第二定律 ma ? F

a 和目标的式子太遥远,换成 a ?

dv dt

m

dv ?F dt dx : v mdv ? F dx v

dt 和目标式子太遥远,换成 dt ?

左边的 dv 在召唤所有和 v 有关的量。

mvdv ? Fdx
换元的到:

1 d ( mv 2 ) ? Fdx ,就是微分形式的动能定理,积分得到动能定理。 2
【点评】 牛顿定律是对某个状态写的,动能定理是对过程写的。微分方程能把状态的方程推演到过 程方程 【例10】 一根质量为 m,长度为 l 的均匀细杆,一段固定但可以自由转动,另一端受到大小为 F,垂 直与杆身的力,不考虑其他力,请计算此杆在此力作用下的运动规律(提示:杆会匀加速转 动,角加速度α与线加速度 a 关系为:a=rα,r 为圆周运动半径) 。 【解析】对距离固定点,设其受外力 dF,由牛顿第二定律:

m ,会出现另一个未 dr ? r? ,注意到此事积分左边是合力(积分的结果实际是质心牛顿定律) l m 3F 2 积分之得:? ? 知数 (转轴处受外力) , 所以把左右两边乘个 r 做成力矩方程,rdF ? dr ? r ? , l ml dF ?
【点评】引入本题的目的是为了方便接下来引导刚体的学习。 【例11】 在 Dota 游戏中,白牛冲向目标的加速方式很有意思:初始时刻白牛与目标(比如自爆地精) 相距为 l0 ,初始时白牛勇猛的以初速速度为 v0 沿直线跑向目标。并且在他靠近目标的过程中 速度与到目标的距离成反比,问他什么时候与目标相遇?

[解析] 按照题意,写出状态的方程,也就是任意时刻都成立的一般方程:v ? ?
带入初始条件: v ? ?

k , 负号代表 x 减小。 x

l 0 v0 ;由于要问 x ? t 关系,所以变量转为 x, t x

l v dx ? ? 0 0 ;分离变量 ? xdx ? v0l0 dt dt x
两边积分 ?

?

0

l0

xdx ? v0l0 ? dt ;解得 T ?
0

T

l0 2v0

【变化】 如果目标以也以相同的加速方式,对称的跑向白牛(比如能偷学技能的魔导士) ,那么他们 俩多久相遇?

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【例12】 一个高 h ,底面积 S 的圆柱形筒内,装密度为 ? 的液体。下方开小孔,面积为 S0 ,液体从小 孔漏出,不考虑水流动中损耗能量。 ⑴ 问液面高度为 x 时,水流速度 v 。 h ⑵ 问液面高度为 h 降到 要多少时间? 2

【解析】 ⑴ 设一小团液体 dm 流出, 整体能量守恒有: 1 dm ? g ? x ? dm ? v 2 2 ∴ v ? 2 gx 。 ⑵ 单位时间为高度下降 S vdt dv dx ? ? ? ? 0 S S S dx ∴ ? ? 0 dt S 2 gx 积分:
x 2? 2g
2 h

??

h

S0 ?T S

∴T ?

2S S0

? h h ? ?? ? 2g ? 4g ? ? ? ?

【例13】 假设大气温度恒定为 T 。在地面附近压强为 p0 。气体摩尔质量为 ? 。设大气是静态的。问高 度为 h 处压强为多少?( h 相对地球半径很小) 【解析】 考虑面积 ds 高度 dh 的气体。 体积 dv ? ds ? ?h ,压强约为 p ? h ? 由状态方程: pdv ? dnRT 。 ∴ dh ?

p ? h ? ds ? dh RT0

对质量 dm ? dn? 由受力平衡: dmg ? p ? h ? dh ? ? ds ? p ? h ? ds ? 0 ∴? ∴?

pdh ? g ? p ? h ? dh ? ? p ? h ? RT0 dh dp ?g ? RT0 p p ?h? h ? g ? ln RT0 ?0

两边积分得到 ? ∴ p ? p0 e
? h ?g RT0

选讲:扰动问题
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【例14】 写出描述下列情景的微分方程。所需的参数均当作已知。你能总结出什么规律? 1 单摆在平衡位置受到小扰动。 2 弹簧振子(水平光滑桌面上一个弹簧一端接在墙上,一端接在质量为 m 的质点上)在平衡位置 受到扰动。 3 密度为 ? ,正立漂浮在密度为 ?0 的液体表面,给一个扰动。 气缸内封闭恒温为 T 的理想气体, 气缸外真空。 4 一个质量为 m 面积为 S 的光滑活塞压在气缸上。 平衡的时候气体体积为 V 。求体系受到扰动之后位置随时间的变化规律。 /* 5 此题不讲! !一个绕地球做圆周运动半径为 r 的卫星,受到一个径向扰动。描述卫星和地球距离 随时间变化规律。*/ [解析] 4 气体状态方程做小量展开。 mg 平衡态: ? p0 S 扰动位移为 x 之后: p0V S p? ? p0 ? p0 x V (V ? xS ) 牛顿定理: d2x S m 2 ? ? p0 x dt V /* 5 写出径向的动力学方程,其中的角速度用角动量守恒代替。 然后做小量展开的得到方程。 圆周运动的时候: v 2 GMm GM m ? 2 ;v ? ; L ? mvr ? m GMr r r r 受到扰动之后: d 2 x d? GMm m( 2 ? ( ) 2 (r ? x)) ? ? ; dt dt ( r ? x) 2

m

d? d? GMr (r ? x) ? L ; ? dt (r ? x)2 dt d 2 x GMmr GMm d 2 x GMm ? ? ? ; 2 ? ? 3 x ? O(2) */ 2 3 2 dt r (r ? x) (r ? x) dt

带入整理得到

巩固练习
1 将理想理想气体保持绝热状态压缩,初始状态 p0 ,V0 ,末态压强 p ,求末态体积 V 。 已知摩尔等体热容量为 CV 。

[解析] 写出热力学第一定律: du ? ? pdV ? dQ 。 由于绝热 dQ ? 0 ,把变量统一到 p ? V 关系上来。 内能 u ? nCV T 利用状态方程: u ?

CV pV R

CV d ? pV ? ? ? pdV R 积分:
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r ln

V p ? ? ln V0 p0

(令 V ?

CV ?1 ) R

整理得到 pV ? ? p0V0? ? 常数,即绝热方程。

学习效果反馈:
代课教师: 通过今天学习,你觉得: 1. 本讲讲义内容设置: A. 太难太多,吃不透 B. 难度稍大,个别问题需要下去继续思考 C. 稍易,较轻松 D. 太容易,来点给力的 2. 本节课老师讲解你明白了: A .40%以下 B .40%到 80% C .80%以上但不全懂 D .自以为都懂了 3.有什么东西希望老师下节课再复习一下么?(可填题号,知识点,或者填无)

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