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中山市高三级2014—2015学年度第一学期期末统一考试(数学.理)


中山市高三年级 2014–2015 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上。 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。 参考公式:锥体体积公式 V锥体 ? Sh ;

1 3

第Ⅰ卷(选择题共 40 分)
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.)

, 2, 3, 4, 5,6} , 集 合 A ? {1, 3} 1. 已 知 全 集 U ? {1 , B ? {3, 4,5} , 则 集 合 CU ( A
A. {3, 6}
3

B) ?

B. {4,5}
2

C. {3,4,5,6}
2

2, 4, 5,6} D. {1,

x ?x 2. 给出函数① y ? x cos x ,② y ? sin x ,③ y ? x ? x ,④ y ? e ? e ,

其中是奇函数的是 A. ①② B. ①④

C. ②④

D. ③④

3. 执行如图所示的程序框图,若输入的 n 值为 7 ,则输出 的 s 值为 A. 11 B. 15 C. 16 D. 22

4. 已知 x ? 0 , y ? 0 , x,a,b,y 成等差数列, x,c,

d,y 成等比数列,则
A. 0

( a ? b) 2 的最小值是 cd
C. 2 D. 4

B. 1

5. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120? , a ? 3 , a ? b ? 13 ,

高三数学(理科)试卷

第 1 页(共 4 页)

则b ? A. 5 B. 4 C. 3 D. 1

6. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是 A.

(9 ? 2? ) 3 6
(6 ? ? ) 3 6

B.

(8 ? 2? ) 3 6
(8 ? ? ) 3 6

3

1

正视图

2

2 侧视图

C.

D.

7. 下列四种说法中,

俯视图

①命题“存在 x ? R, x 2 ? x ? 0 ”的否定是“对于任意 x ? R, x2 ? x ? 0 ”; ②命题“ p 且 q 为真”是“ p 或 q 为真”的必要不充分条件; ③已知数据 x1 , x2 ,L , xn 的平均数 x ? 5 ,方差 S 2 ? 4 ,则数据 2 x1 ? 1,2 x2 ? 1,L ,2 xn ? 1 的 平均数和方差分别为 11 和 16 ④已知向量 a ? (3, ?4) , b ? (2,1) ,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是
3 2 2

⑤ f ? x ? ? x ? ax ? bx ? a 在x ? 1 处有极小值 10,则 a+b=0 或 a+b=-7 说法正确的个数是 A.1 B .2 C .3

2 . 5

D.4

8. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ?( x) ? 1 ? f ( x) , f (0) ? 6 , f ?( x ) 是 f ( x ) 的导函数, 则不等式 ex f ( x) ? e x ? 5 (其中 e 为自然对数的底数)的解集为 A. ? ??, 0 ? U ? 3, ?? ? B. ? 0, ?? ? C. ? ??, 0 ? U ?1, ?? ? D. ? 3, ?? ?

第Ⅱ卷(非选择题共 110 分)
二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.)

?1 ? 2i ? 9.复数
i

2

的模为____________

10.为了了解某地区高三学生的身体发育 情 况,抽查了该地区 200 名年龄为 17.5 岁到 18 岁的男生体重(kg) ,得到频率分 布直方图如图:根据上图可得这 200 名学
高三数学(理科)试卷 第 2 页(共 4 页)

生 中 体 重 在 ?56.5,64.5? 的 学 生 人 数 是 . 11. 若等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 81,且 a4 ?

?

2

1

2 xdx ,则数列 ?an ? 的公比是______

? x ? y ?1 ? 0 ? 12.在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是由不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 表示的区域, E 是到 ? ?y?0
原点的距离不大于 1 的点构成的区域,若向 E 中随机投一点,则所投点落在 D 中的概率 是 .
n

? 1 ? ? 13. 若 ? ?3 x ? ? 的展开式中各项系数之和为 64,则展开式的常数项为________ x? ?

?sin ? x, x ? ?0, 2? ? 14. 对于函数 f ( x) ? ? 1 ,有下列 4 个命题: ? f ( x ? 2), x ? (2, ??) ?2 ① 任取 x1、x2 ??0, ??? ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 恒成立;
*

② f ( x) ? 2kf ( x ? 2k ) (k ? N ) ,对于一切 x ??0, ??? 恒成立; ③ 对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ?

k ?9 ? 恒成立,则实数 k 的取值范围是 ? , ?? ? . x ?8 ?


④ 函数 y ? f ( x) ? ln( x ? 1) 有 3 个零点; 则其中所有真命题的序号是

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 12 分)

2 sin ? ? sin 2? (1)求 的值; cos 2 ? ? cos 2?
2

已知 0 ? ? ?

?

,sin ? ?

4 5

(2)求 tan(? ?

5? ) 的值。 4

16. (本小题满分 12 分) 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标 准是每车每次租不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收 2 元(不足 1 小时的部分 按 1 小时计算) 。现有甲乙两人来该租车点租车骑游,各租一车一次,设甲、乙不超过两 小时还车的概率分别为

1 1 1 1 , ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 , ;两人 4 2 2 4
高三数学(理科)试卷 第 3 页(共 4 页)

租车时间都不会超过四小时。 (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望. 17.(本小题满分 14 分)

AB / / CD , 如图, 在梯形 ABCD 中, 四边形 ACFE AD ? DC ? CB ? 1, ?ABC ? 60 ,
为矩形,平面 ACFE ? 平面 ABCD , CF ? 1 . (1)求证: BC ? 平面 ACFE ; (2) 点 M 在线段 EF 上运动, 设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为 ? (? ? 90 ) ,试求 cos ? 的取值范 围. 18. (本小题满分 14 分) 数列 ?an ? 首项 a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 与 an 之间满足 an ? (1)求证:数列 ?

2Sn 2 (n ? 2) . 2Sn ? 1

(2)求数列 ?an ? 的通项公式;

?1? ? 是等差数列; ? Sn ?

(3)设存在正整数 k,使 ?1 ? S1 ??1 ? S2 ? 的最大值.

?1 ? Sn ? ? k

2n ? 1 对 ?n ? N ? 都成立,求 k

19. (本小题满分 14 分) 假设我市 2014 年新建了住房 400 万平方米, 其中有 250 万平方米是中低价房. 预计在 今后的若干年内,我市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%. 另外,每年新建住房中, 中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米. 那么,到哪一年底, (1)我市历年所建中低价房的累计面积(以 2014 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%? 20.(本小题 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ?

(1)设 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ?( x) (其中 g ?( x ) 是 g ( x) 的导函数) ,求 h( x) 的最大值; (2)求证: 当 0 ? b ? a 时,有 f (a ? b) ? f (2a) ?

1 2 x ? 2x . 2

(3)设 k ? Z ,当 x ? 1 时,不等式 k ( x ? 1) ? xf ( x) ? 3g ?( x) ? 4 恒成立,求 k 的最大值.
高三数学(理科)试卷 第 4 页(共 4 页)

b?a ; 2a

中山市高三年级 2014–2015 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(理科)答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.) DBCDB DAB

二、填空题 (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 9.5 三、解答题 15. (本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由 0 ? ? ? 10.80 11.

1 3

12.

1

?

13. -540

14 ①④

?
2

,sin ? ?

4 3 ,得 cos ? ? ,…………..2 分 5 5

所以

sin 2 ? ? sin 2? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? 20 。………………..7 分 = 3cos 2 ? ? 1 cos 2 ? ? cos 2?
sin ? 4 ? ,…………….9 分 cos ? 3

(Ⅱ)∵ tan ? ?

∴ tan(? ?

5? tan ? ? 1 1 )? ? 。……………..12 分 4 1 ? tan ? 7

16. (本题满分 12 分)

解: ( 1 )所付费用相同即为 0, 2, 4 元。设付 0 元为
P2 ?

P 1 ?

1 1 1 ? ? 4 2 8 ,付 2 元为

1 1 1 1 1 1 ? ? P3 ? ? ? 2 4 8 ,付 4 元为 4 4 16 ……………..3 分

则所付费用相同的概率为

P?P 1?P 2 ?P 3 ?

5 16 ……………………………..4 分
第 5 页(共 4 页)

高三数学(理科)试卷

(2)设甲,乙两个所付的费用之和为 ? , ? = 0, 2, 4, 6,8 …………….5 分

P(? ? 0) ? P(? P(? P(? P(?

1 8 1 1 1 1 5 ? 2) ? ? ? ? ? 4 4 2 2 16 1 1 1 1 1 1 5 ? 4) ? ? ? ? ? ? ? 4 4 2 4 2 4 16 1 1 1 1 3 ? 6) ? ? ? ? ? 4 4 2 4 16 1 1 1 ? 8) ? ? ? 4 4 16

……………………………………………….10

分 分布列

?
P

0
1 8

2

4

6
3 16

8
1 16

5 16

5 16

所以
E? ? 5 5 9 1 7 ? ? ? ? 8 4 8 2 2 ………………………………………………………….12 分

17.

…………5 分 (2) 由 (1) 可建立分别以直线 CA, CB, CF 为 x轴,y轴, z轴 的 如 图 所 示空 间 直角 坐标系 , 令 FM ? ? (0 ? ? ?

3) , 则

C(0,0,0), A( 3,0,0) , B?0,1,0?, M ?? ,0,1?
高三数学(理科)试卷 第 6 页(共 4 页)



AB ? ? 3,1,0 , BM ? ??,?1,1? …………7 分
设 n1 ? ?x, y, z ?为平面 MAB 的一个法向量, 由?

?

?

? n1 ? AB ? 0 ?n1 ? BM ? 0

得?

取 x ? 1 ,则 n1 ? 1, 3, 3 ? ? ,…………8 分 ∵ n2 ? ?1,0,0? 是平面 FCB 的一个法向量 ∴ cos ? ?

?

?? 3x ? y ? 0 ??x ? y ? z ? 0

?

| n1 ? n2 | | n1 |? | n2 |

? 1? 3 ?

1

?

3??

?

2

? ?1

1

?? ? 3 ?

2

…10 分

?4

∵ 0?? ? 当? ? ∴

3

∴ 当 ? ? 0 时, cos ? 有最小值

7 , 7

1 3 时, cos ? 有最大值 。 …………13 分 2 ? 7 1? cos ? ? ? , ? …………………14 分 ? 7 2?

18. (本题满分 14 分) 解⑴因为 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1

? Sn ? Sn?1 ?

2Sn 2 得 Sn?1 ? Sn ? 2Sn ? Sn?1 2Sn ? 1

由题意 Sn ? 0 (n ? 2) ?

1 1 ? ? 2 ? n ? 2 ? ……………3 分 Sn Sn ?1

又 S1 ? a1 ? 1

?1? 1 ? ? ? 是以 ? 1 为首项, 2 为公差的等差数列. ……………4 分 S1 ? Sn ?
1 1 n? N?? ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ? S n ? ? 2n ? 1 Sn

⑵由⑴有

? n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

1 1 2 ? ?? ……………7 分 2n ? 1 2(n ? 1) ? 1 (2n ? 1)(2n ? 3)

高三数学(理科)试卷

第 7 页(共 4 页)

又 a1 ? S1 ? 1

?1 ? ? an ? ? 2 ? ? (2 n? 1) ( n2 ? ?

n? ( n? 2) 3)

(

1)

……………8 分

⑶ 设 F (n) ?

?1 ? S1 ??1 ? S2 ? ?1 ? Sn ?
2n ? 1

F (n ? 1) (1 ? Sn ?1 ) 2n ? 1 2n ? 2 4n 2 ? 8n ? 4 则 ? ? ? ? 1……………11 分 F ( n) 2n ? 3 2n ? 1 2 n ? 3 4n2 ? 8n ? 3
? F (n) 在 n ? N ? 上递增
又 F (n)min ? F (1) ? 故使 F (n) ? k 恒成立,只需 k ? F (n)min . ……………12 分 又k ? 0

2 3 3

? 0?k ?

2 3 ,k 为正整数,……………13 分 3

所以, k 的最大值是 1. ……………14 分 (注意:本题第一问也可以用数学归纳法:归纳——猜想——证明来做第一问和第二问, 做对同样给分,但要注意数学归纳法的格式,写得不到位扣分处理) 19. 解:(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列, 其中 a1=250,d=50,则 Sn=250n+

n( n ? 1) ? 50 =25n2+225n, ………………4 分 2

令 25n2+225n≥4750,即 n2+9n-190≥0,而 n 是正整数, ∴n≥10. ………………6 分 答 : 到 2023 年 底 , 该 市 历 年 所 建 中 低 价 房 的 累 计 面 积 将 首 次 不 少 于 4750 万 平 方 米. ………………7 分 (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列, 其中 b1=400,q=1.08,则 bn=400· (1.08)n-1· 0.85. ………………9 分 由题意可知 an>0.85 bn,有 250+(n-1)· 50>400· (1.08)n-1· 0.85. ………………11 分 经检验,满足上述不等式的最小正整数 n=6. ………………13 分 答: 到 2019 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. ………………14 分
高三数学(理科)试卷 第 8 页(共 4 页)

20. ( 本 小 题 14 分 ) 解 : ( 1 ) h( x) ? f ( x ? 1) ? g / ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? 2 , x ? ?1 所以

h?( x) ?

1 ?x . ?1 ? x ?1 x ?1

当 ?1 ? x ? 0 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, h?( x) ? 0 . 因此, h( x) 在 (?1 , 0) 上单调递增,在 (0 , ? ?) 上单调递减. 因此,当 x ? 0 时, h( x) 取得最大值 h(0) ? 2 ; ………………3 分 ( 2 )当 0 ? b ? a 时, ?1 ?
ln(1? x )? x .

b?a ? 0 .由( 1 )知:当 ?1 ? x ? 0 时, h( x ) ? 2 ,即 2a
a?b ? b?a? b?a ? ln ?1 ? .………………7 分 ?? 2a 2a ? 2a ?

因此,有 f (a ? b) ? f (2a) ? ln

(3)不等式 k ( x ?1) ? xf ( x) ? 3g / ( x) ? 4 化为 k ?

x ln x ? x ? 2 所以 x ?1 x ? x ln x x ? x ln x k? ? 2 对 任 意 x ? 1 恒 成 立 . 令 g ? x? ? ?2 , 则 x ?1 x ?1 x?l n x? 2 , g? ? x ? ? 2 ? x ? 1? 1 x ?1 ? ? 0 ,所以函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? x x

令 h ? x ? ? x ? ln x ? 2 ? x ? 1? ,则 h? ? x ? ? 1 ?

上单调递增. 因为 h ?3? ? 1? ln3 ? 0, h ? 4? ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 所以方程 h ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 上存在唯一实根 x0 ,且满足 x0 ? ?3, 4? . 当 1 ? x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,当 x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 , x ? x ln x ? 2 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ??? 上单调递增. 所以函数 g ? x ? ? x ?1 x0 ?1 ? ln x0 ? x ?1 ? x0 ? 2 ? 所以 ? ?2? 0 ? 2 ? x0 ? 2 ? ? 5,6 ? . ? g ? x ?? ? min ? g ? x0 ? ? x ?1 x ?1 所以 k ? ? ? g ? x ?? ? min ? x0 ? 2 ? ? 5, 6 ? .故整数 k 的最大值是 5 .
0 0

…………14 分

高三数学(理科)试卷

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