当前位置:首页 >> 数学 >>

2013届高考数学一轮复习精品学案:第4讲 基本初等函数


2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第4讲
一.课标要求
1.指数函数 (1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的 14C 的衰减,药物在人体内残留量 的变化等),了解指数函数模型的实际背景; (2)理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。 (3)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数

的图象, 探索并理解指数函数的单调性与特殊点; (4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。 2.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或 常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用; (2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的 概念, 体会对数函数是一类重要的函数模型; 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图 象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点; 3.知道指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? log a x 互为反函数(a>0,a≠1)。

基本初等函数

二.命题走向
指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数,在历年的高考题中都占据着重要 的地位。从近几年的高考形势来看,对指数函数、对数函数、幂函数的考查,大多以基本函 数的性质为依托,结合运算推理,能运用它们的性质解决具体问题。为此,我们要熟练掌握 指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测 2013 年对本节的考察是: 1.题型有两个选择题和一个解答题; 2.题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。 同时它们与其它知识点交汇命题,则难度会加大。

三.要点精讲
1.指数与对数运算 (1)根式的概念: ①定义:若一个数的 n 次方等于 a(n ? 1, 且n ? N ) ,则这个数称 a 的 n 次方根。即若
?

x n ? a ,则 x 称 a 的 n 次方根 n ? 1且n ? N ? ) ,
1)当 n 为奇数时, a的n 次方根记作 n a ; 2)当 n 为偶数时,负数 a 没有 n 次方根,而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数,记 作 ? n a (a ? 0) 。
n ②性质:1) ( n a ) ? a ;2)当 n 为奇数时, a

n

n

?a;

3)当 n 为偶数时, n a ?| a |? ? (2).幂的有关概念

?a(a ? 0) 。 ?? a(a ? 0)

①规定:1) a ? a ? a ? ? ? a(n ? N*;2) a ? 1(a ? 0) ;
n 0

n个 3) a
?p

1 ? p ( p ?Q,4) a n ? n a m (a ? 0, m 、 n ?N* 且 n ? 1) 。 a
r s r ?s

m

②性质:1) a ? a ? a 2) (a ) ? a
r s r r ?s

(a ? 0, r 、 s ?Q);

(a ? 0, r 、 s ? Q);
r

3) (a ? b) ? a ? b (a ? 0, b ? 0, r ? Q)。
r

(注)上述性质对 r、 s ?R 均适用。 (3).对数的概念 ①定义:如果 a(a ? 0, 且a ? 1) 的 b 次幂等于 N,就是 a ? N ,那么数 b 称以 a 为底
b

N 的对数,记作 log a N ? b, 其中 a 称对数的底,N 称真数。 1)以 10 为底的对数称常用对数, log 10 N 记作 lg N ; 2)以无理数 e(e ? 2.71828 ?) 为底的对数称自然对数, log e N ,记作 ln N ; ②基本性质: 1)真数 N 为正数(负数和零无对数);2) log a 1 ? 0 ; 3) log a a ? 1 ;4)对数恒等式: a
log a N

?N。

③运算性质:如果 a ? 0, a ? 0, M ? 0, N ? 0, 则 1) log a ( MN ) ? log a M ? log a N ; 2) log a

M ? log a M ? log a N ; N
n

3) log a M

? n log a M (n ? R)。

④换底公式: log a N ?

log m N (a ? 0, a ? 0, m ? 0, m ? 1, N ? 0), log m a

n 1) log a b ? log b a ? 1 ;2) log a m b ?

n log a b 。 m

2.指数函数与对数函数 (1)指数函数: ①定义:函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 称指数函数,
x

1)函数的定义域为 R;2)函数的值域为 (0,??) ; 3)当 0 ? a ? 1 时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数。 ②函数图像:

1)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二象限; 2)指数函数都以 x 轴为渐近线(当 0 ? a ? 1 时,图象向左无限接近 x 轴,当 a ? 1 时, 图象向右无限接近 x 轴); 3)对于相同的 a(a ? 0, 且a ? 1) ,函数 y ? a 与y ? a
x ?x

的图象关于 y 轴对称。

③函数值的变化特征:

0 ? a ?1
① x ? 0时0 ? y ? 1 , ② x ? 0时y ? 1 , ③ x ? 0时y ? 1 (2)对数函数:

a ?1
① x ? 0时y ? 1 , ② x ? 0时y ? 1 , ③ x ? 0时0 ? y ? 1 ,

①定义:函数 y ? log a x(a ? 0, 且a ? 1) 称对数函数, 1)函数的定义域为 (0,??) ;2)函数的值域为 R; 3)当 0 ? a ? 1 时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数; 4)对数函数 y ? log a x 与指数函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 互为反函数。
x

②函数图像:

1)对数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、四象限;

2)对数函数都以 y 轴为渐近线(当 0 ? a ? 1 时,图象向上无限接近 y 轴;当 a ? 1 时, 图象向下无限接近 y 轴); 4)对于相同的 a(a ? 0, 且a ? 1) ,函数 y ? log a x与y ? log 1 x 的图象关于 x 轴对称。
a

③函数值的变化特征:

0 ? a ?1
① x ? 1时y ? 0 , ② x ? 1时y ? 0 , ③0 ? x ?1 时y ? 0 .

a ?1
① x ? 1时y ? 0 , ② x ? 1时y ? 0 , ③ x ? 0时0 ? y ? 1 .

四.典例解析
题型 1:指数运算
? ? 3 ? 4 0.5 0.25 例 1.(1)计算: [(3 ) 3 (5 ) ? (0.008 ) 3 ? (0.02) 2 ? (0.32) 2 ] ? 0.0625 ; 8 9 2 2 1 1

(2)化简:

a ? 8a b
2 2

4 3

1 3

? (a

?

2 3

?

4b 3 ? 23 ab ? a 3
2 1

23 b a ? 3 a2 )? 。 5 a a ?3 a
2 1

8 49 1000 3 4 2 625 4 ) ? 50 ? ]?( ) 解:(1)原式= [( ) 3 ? ( ) 2 ? ( 27 9 8 10 10000
4 7 1 4 2 1 17 2 ? [ ? ? 25 ? ? ] ? ? (? ? 2) ? 2 ? ; 9 3 2 9 9 5 2 10
1 1 1 1 1 2 1

a 3 ? 2b 3 (a ? a 3 ) 2 ? ? 1 1 1 (2)原式= 1 1 1 1 a 2 2 (a 3 ) ? a 3 ? (2b 3 ) ? (2b 3 ) (a 2 ? a 3 ) 5
5

a 3 [( a 3 ) 3 ? (2b 3 ) 3 ]

? a (a ? 2b ) ?

1 3

1 3

1 3

a a ? 2b
1 3 1 3

?

a6 a
1 6

1

2

? a3 ? a ? a 3 ? a2 。

点评:根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式,然后利用分数指数幂 的运算性质求解,对化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式保留;一般的进行指数幂 运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时兼顾运算的 顺序。

例 2.已知 x 2 ? x
1

1

?

1 2

? 3 ,求

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

的值。

?3

解:∵ x 2 ? x
1 ? 1

?

1 2

?3,

∴ ( x 2 ? x 2 )2 ? 9 , ∴ x?2? x ∴x? x
?1 ?1

? 9,

? 7,

∴ ( x ? x ) ? 49 , ∴x ?x
2 ?2

?1 2

? 47 ,
? 3 2

又∵ x 2 ? x ∴

3

? ( x 2 ? x 2 ) ? ( x ? 1 ? x?1 ) ? 3 ? (7 ? 1) ? 18 ,
? 47 ? 2 ?3。 18 ? 3

1

?

1

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 3 ? 2

?3

点评:本题直接代入条件求解繁琐,故应先化简变形,创造条件简化运算。 题型 2:对数运算 例 3.计算 (1) (lg 2) ? lg 2 ? lg 50 ? lg 25 ;(2) (log3 2 ? log9 2) ? (log 4 3 ? log8 3) ;
2

(3)

lg 5 ? lg 8000 ? (lg 2 3 ) 2 。 1 1 lg 600 ? lg 0.036 ? lg 0.1 2 2
2 2

解:(1)原式 ? (lg 2) ? (1 ? lg 5) lg 2 ? lg 5 ? (lg 2 ? lg 5 ? 1) lg 2 ? 2lg 5

? (1 ? 1) lg 2 ? 2lg5 ? 2(lg 2 ? lg5) ? 2 ;
(2)原式 ? (

lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 ? )?( ? )?( ? )?( ? ) lg 3 lg 9 lg 4 lg 8 lg 3 2 lg 3 2 lg 2 3lg 2 3 lg 2 5 lg 3 5 ? ? ; 2 lg 3 6 lg 2 4
2

?

(3)分子= lg 5(3 ? 3 lg 2) ? 3(lg 2) ? 3 lg 5 ? 3 lg 2(lg 5 ? lg 2) ? 3 ; 分母= (lg 6 ? 2) ? lg

36 1 6 ? ? lg 6 ? 2 ? lg ? 4; 1000 10 100

3 ?原式= 。 4
点评:这是一组很基本的对数运算的练习题,虽然在考试中这些运算要求并不高,但是 数式运算是学习数学的基本功,通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则,以及学习数 式变换的各种技巧。 例 4.设 a 、 b 、 c 为正数,且满足 a ? b ? c
2 2 2

b?c a ?c ) ? log 2 (1 ? ) ?1; a b b?c 2 (2)若 log 4 (1 ? ) ? 1 , log8 (a ? b ? c) ? ,求 a 、 b 、 c 的值。 a 3 a?b?c a?b?c a?b?c a?b?c 证明:(1)左边 ? log 2 ? log 2 ? log 2 ( ? ) a b a b
(1)求证: log 2 (1 ?

? log 2

( a ? b) 2 ? c 2 a 2 ? 2ab ? b2 ? c 2 2ab ? c 2 ? c 2 ? log 2 ? log 2 ? log 2 2 ? 1 ; ab ab ab

解:(2)由 log 4 (1 ?

b?c b?c ) ?1 得1 ? ? 4, a a
2

∴ ?3a ? b ? c ? 0 ……………①

2 由 log8 (a ? b ? c) ? 得 a ? b ? c ? 8 3 ? 4 ………… ……………② 3
由① ? ②得 b ? a ? 2 ……………………………………③ 由①得 c ? 3a ? b ,代入 a ? b ? c 得 2a(4a ? 3b) ? 0 ,
2 2 2

∵ a ? 0 , ∴ 4a ? 3b ? 0 ………………………………④ 由③、④解得 a ? 6 , b ? 8 ,从而 c ? 10 。 点评:对于含对数因式的证明和求值问题,还是以对数运算法则为主,将代数式化简到 最见形式再来处理即可。 题型 3:指数、对数方程 例 5.设关于 x 的方程 4 ? 2
x x ?1

? b ? 0(b ? R),

(1)若方程有实数解,求实数 b 的取值范围; (2)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解。 解:(1)原方程为 b ? 4 ? 2
x x ?1



? 4 x ? 2 x ?1 ? (2 x ) 2 ? 2 ? 2 x ? (2 x ? 1) 2 ? 1 ? ?1 ,

?当b ? [?1,??) 时方程有实数解;
(2)①当 b ? ?1 时, 2 ? 1 ,∴方程有唯一解 x ? 0 ;
x

②当 b ? ?1 时,? (2 ? 1) ? 1 ? b ? 2 ? 1 ? 1 ? b .
x 2 x

? 2 x ? 0,1 ? 1 ? b ? 0,? 2 x ? 1 ? 1 ? b 的解为 x ? log 2 (1 ? 1 ? b ) ;
令 1 ? 1 ? b ? 0 ? 1 ? b ? 1 ? ?1 ? b ? 0,

?当 ? 1 ? b ? 0时,2 x ? 1 ? 1 ? b 的解为 x ? log 2 (1 ? 1 ? b ) ;
综合①、②,得 1)当 ? 1 ? b ? 0 时原方程有两解: x ? log 2 (1 ? 1 ? b ) ; 2)当 b ? 0或b ? ?1时,原方程有唯一解 x ? log 2 (1 ? 1 ? b ) ; 3)当 b ? ?1 时,原方程无解。 点评: 具有一些综合性的指数、 对数问题, 问题的解答涉及指数、对数函数,二次函数、 参数讨论、方程讨论等各种基本能力,这也是指数、对数问题的特点,题型非常广泛,应通 过解题学习不断积累经验。 例 6.(2006 辽宁 文 13)方程 log 2 ( x ? 1) ? 2 ? log 2 ( x ? 1) 的解为
2



解:考察对数运算。原方程变形为 log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( x ? 1) ? 2 ,即

?x ? 1 ? 0 有 x ? 1。从而结果为 5 。 x 2 ? 1 ? 4 ,得 x ? ? 5 。且 ? ?x ? 1 ? 0
点评:上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式,解题思路是转化为不含指数、对 数因式的普通等式或方程的形式,再来求解。 题型 4:指数函数的概念与性质
x ?1 ? ? 2e , x<2, 则f ( f (2))的值为 ( 例 7.设 f ( x ) ? ? 2 ? ?log 3 ( x ? 1),x ? 2.

) D.3

A.0

B.1
2

C.2

0 ?1 解:C; f (2) ? log 3 (2 ? 1) ? 1, f ( f (2)) ? 2e ?

2 。 e

点评:利用指数函数、对数函数的概念,求解函数的值。
?1 例 8.已知 f (log a x) ? x ? x (a ? 0, 且a ? 1) 试求函数 f(x)的单调区间。

t 解:令 log a x ? t ,则 x= a ,t∈R。

所以 f (t ) ? a ? ? a 即 f ( x) ? a ? a
?t x

?x

,(x∈R)。

因为 f(-x)=f(x),所以 f(x)为偶函数,故只需讨论 f(x)在[0,+∞)上的单调性。 任取 x1 , x 2 ,且使 0 ? x1 ? x 2 ,则

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? (a x2 ? a ? x2 ) ? (a x1 ? a ? x1 )
(a x1 ? a x2 )(1 ? a x1 ? x2 ) ? a x1 ? x2 x x a x1 ? x2 ? 1 , (1) 当 a>1 时, 由 0 ? x1 ? x 2 , 有0 ? a 1 ? a 2 , 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,

即 f(x)在[0,+∞]上单调递增。
x x x ?x ( 2 ) 当 0<a<1 时 , 由 0 ? x1 ? x 2 , 有 0 ? a 1 ? a 2 , a 1 2 ? 1 , 所 以

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f(x)在[0,+∞]上单调递增。
综合所述,[0,+∞]是 f(x)的单调增区间,(-∞,0)是 f(x)的单调区间。 点评:求解含指数式的函数的定义域、值域,甚至是证明函数的性质都需要借助指数函 数的性质来处理。特别是分 a ? 1,0 ? a ? 1 两种情况来处理。 题型 5:指数函数的图像与应用 例 9.若函数 y ? ( ) |1? x| ? m 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是( A.m≤-1 B.-1≤m<0 C.m≥1 , D.0<m≤1

1 2



? 1 x?1 1 |1? x| ?( 2 ) 解:? y ? ( ) ?? 2 ?2 x?1 ?
画图象可知-1≤m<0。 答案为 B。

( x ? 1) ( x ? 1)

点评:本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征,解题的出发点仍然是 a ? 1,0, a ? 1 两种情况下函数 y ? a 的图像特征。
x

例 10.设函数 f ( x) ? 2
x

| x ?1|?| x ?1|

, 求使f ( x) ? 2 2 x 的取值范围。

解:由于 y ? 2 是增函数, f ( x) ? 2 2 等价于 | x ? 1| ? | x ? 1|? 1)当 x ? 1时, | x ? 1| ? | x ? 1|? 2 ,?①式恒成立; 2)当 ?1 ? x ? 1 时, | x ? 1| ? | x ? 1|? 2 x ,①式化为 2 x ? 3)当 x ? ?1 时, | x ? 1| ? | x ? 1|? ?2 ,①式无解; 综上 x 的取值范围是 ? , ?? ? 。

3 2



3 3 ,即 ? x ? 1 ; 2 4

?3 ?4

? ?

点评: 处理含有指数式的不等式问题, 借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化 为普通不等式问题(一元一次、一元二次不等式)来处理。 题型 6:对数函数的概念与性质 例 11.(1)函数 y ? A. (3,??) (2)设 f(x)= lg

log 2 x ? 2 的定义域是(
B. [3,??)

) D. [4,??) )

C. (4,??)

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为( 2? x 2 x

A. (-4, 0) ? (0, 4) C.(-2,-1) ? (1,2)

B.(-4,-1) ? (1,4) D.(-4,-2) ? (2,4)

解:(1)D(2)B。 点评: 求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围, 在对数函数中只有真 数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。 例 12.对于 f ( x) ? log 1 ( x ? 2ax ? 3) ,
2 2

(1)函数的“定义域为 R”和“值域为 R”是否是一回事; (2)结合“实数 a 的取何值时 f ( x) 在 [?1,??) 上有意义”与“实数 a 的取何值时函数的 定义域为 (??,1) ? (3,??) ”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别; (3)结合(1)(2)两问,说明实数 a 的取何值时 f ( x) 的值域为 (??,?1] (4)实数 a 的取何值时 f ( x) 在 (??,1] 内是增函数。 解:记 ? ? g ( x) ? ( x ? a) ? 3 ? a ,则 f ( x) ? log 1
2 2

?;

2

(1)不一样; 定义域为 R ? g ( x) ? 0 恒成立。 得: ? ? 4(a ? 3) ? 0 ,解得实数 a 的取值范围为 (? 3, 3 ) 。
2

值域为 R: log 1
2

? 值域为 R ? ? 至少取遍所有的正实数,

2 则 ? ? 4(a ? 3) ? 0 ,解得实数 a 的取值范围为 (??,? 3 ] ? [ 3 ,??) 。

(2)实数 a 的取何值时 f ( x) 在 [?1,??) 上有意义: 命题等价于 ? ? g ( x) ? 0 对于任意 x ? [?1,??) 恒成立, 则?

? a ? ?1 ? a ? ?1 或? , 2 ? g ( ?1) ? 0 ?3 ? a ? 0

解得实数 a 得取值范围为 (?2, 3 ) 。 实数 a 的取何值时函数的定义域为 (??,1) ? (3,??) : 由已知得二次不等式 x ? 2ax ? 3 ? 0 的解集为 (??,1) ? (3,??) 可得1 ? 3 ? 2a ,则 a=2。
2

故 a 的取值范围为{2}。 区别:“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理,而“定义域问题”刚好转化成“取遍所

有问题”来解决(这里转化成了解集问题,即取遍解集内所有的数值) (3)易知 g ( x) 得值域是 [2,??) ,又 g ( x) 得值域是 [3 ? a ,??) ,
2

得 3 ? a ? 2 ? a ? ?1 ,故 a 得取值范围为{-1,1}。
2

(4)命题等价于 g ( x) 在 (??,1] 上为减函数,且 g ( x) ? 0 对任意的 x ? (??,1] 恒成立,

则?

?a ? 1 ,解得 a 得取值范围为 [1,2) 。 ? g (1) ? 0

点评:该题主要考察复合对数函数的定义域、值域以及单调性问题。解题过程中遇到了 恒成立问题,“恒为正”与“取遍所有大于零的数”不等价,同时又考察了一元二次函数函数值 的分布情况,解题过程中结合三个“二次”的重要结论来进行处理。 题型 7:对数函数的图像及应用 例 13.当 a>1 时,函数 y=logax 和 y=(1-a)x 的图象只可能是( )

y
o
1

y
x A
o
1

y

y
o
1

x B

x C

o

1

x D

解:当 a>1 时,函数 y=logax 的图象只能在 A 和 C 中选, 又 a>1 时,y=(1-a)x 为减函数。 答案:B 点评:要正确识别函数图像,一是熟悉各种基本函数的图像,二是把握图像的性质,根 据图像的性质去判断,如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性。 例 14.设 A、B 是函数 y= log2x 图象上两点, 其横坐标分别为 a 和 a+4, 直线 l: x=a+2 与函数 y= log2x 图象交于点 C, 与直线 AB 交于点 D。 (1)求点 D 的坐标; (2)当△ ABC 的面积大于 1 时, 求实数 a 的取值范围。 解:(1)易知 D 为线段 AB 的中点, 因 A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4)), 所以由中点公式得 D(a+2, log2 a(a ? 4) )。 (2)S△ ABC=S 梯形 AA′CC′+S 梯形 CC′B′B- S 梯形 AA′B′B=…= log2 其中 A′,B′,C′为 A,B,C 在 x 轴上的射影。 由 S△ ABC= log2

( a ? 2) 2 , a ( a ? 4)

( a ? 2) 2 >1, 得 0< a<2 2 -2。 a ( a ? 4)

点评:解题过程中用到了对数函数性质,注意底数分类来处理,根据函数的性质来处理 复杂问题。 题型 8:指数函数、对数函数综合问题 例 15.在 xOy 平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数 n 点 Pn 位于函数 y=2000(

a x ) (0<a<1)的图象上,且点 Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以 Pn 为顶点的 10

等腰三角形。 (1)求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式; (2)若对于每个自然数 n,以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形,求 a 的取值范围; (3)设 Cn=lg(bn)(n∈N*),若 a 取(2)中确定的范围内的最小整数, 问数列{Cn}前多少项的和 最大?试说明理由。 解:(1)由题意知:an=n+ (2)∵函数 y=2000(

1 a n? ,∴bn=2000( ) 2 。 2 10

1

a x ) (0<a<10)递减, 10 ∴对每个自然数 n,有 bn>bn+1>bn+2。 则以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1>bn, a 2 a 即( ) +( )-1>0, 10 10
解得 a<-5(1+ 2 )或 a>5( 5 -1)。 ∴5( 5 -1)<a<10。 (3)∵5( 5 -1)<a<10,∴a=7

7 n? 2 ∴bn=2000( ) 。数列{bn}是一个递减的正数数列, 10
对每个自然数 n≥2,Bn=bnBn-1。 于是当 bn≥1 时,Bn<Bn-1,当 bn<1 时,Bn≤Bn-1, 因此数列{Bn}的最大项的项数 n 满足不等式 bn≥1 且 bn+1<1, 由 bn=2000(

1

7 n? 2 ) ≥1 得:n≤20。 10

1

∴n=20。 点评:本题题设从函数图像入手,体现数形结合的优越性,最终还是根据函数性质结合 数列知识,以及三角形的面积解决了实际问题。 例 16.已知函数 f ( x) ? log a (ax ? (1)求函数 f(x)的定义域;

x )( a ? 0, a ? 1 为常数)

(2)若 a=2,试根据单调性定义确定函数 f(x)的单调性。

(3)若函数 y=f(x)是增函数,求 a 的取值范围。 解:(1)由 ax ? ∵a>0,x≥0

x ?0

得 x ? ax

?x ? 0 1 ?? ?x? 2 2 2 a ?x ? a x

∴f(x)的定义域是 x ? (

1 ,??) 。 a2
x)

(2)若 a=2,则 f ( x) ? log 2 (2 x ? 设 x1 ? x 2 ?

1 , 则 4

(2 x1 ? x1 ) ? (2 x 2 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )[ 2( x1 ? x2 ) ? 1] ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 )

故 f(x)为增函数。

(3)设 x1 ? x 2 ?

1 a2

则a x1 ? a x2 ? 1

? (ax1 ? x1 ) ? (ax2 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )[ a( x1 ? x2 ) ? 1] ? 0

? ax1 ? x1 ? ax2 ? x 2
∵f(x)是增函数, ∴f(x1)>f(x2)



即 log a (ax1 ? x1 ) ? log a (ax2 ? x 2 )



联立①、②知 a>1,

∴a∈(1,+∞)。 点评:该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题,我们抓住对数函数的特点,结合一 般函数求定义域、单调性的解题思路,对“路”处理即可。 题型 9:课标创新题 例 17.对于在区间 ?m, n? 上有意义的两个函数 f(x)与 g(x),如果对任意的 x ? ?m, n? , 均有 f ( x) ? g ( x) ? 1 ,则称 f(x)与 g(x)在 ?m, n? 上是接近的,否则称 f(x)与 g(x)在 ?m, n? 上 是非接近的,现有两个函数 f1 ( x) ? log a ( x ? 3a) 与 f 2( x) ? log a 定区间 ?a ? 2, a ? 3? 。 (1)若 f 1 ( x) 与 f 2 ( x) 在给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上都有意义,求 a 的取值范围; (2)讨论 f 1 ( x) 与 f 2 ( x) 在给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上是否是接近的。

1 (a ? 0, a ? 1) ,给 x?a

解:(1)两个函数 f1 ( x) ? log a ( x ? 3a) 与 f 2( x) ? log a

1 (a ? 0, a ? 1) 在给定 x?a

区间 ?a ? 2, a ? 3? 有意义,因为函数 y ? x ? 3a 给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上单调递增,函数在

y?

1 给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上恒为正数, x?a

?a ? 0 ? ? 0 ? a ? 1; 故有意义当且仅当 ?a ? 1 ?( a ? 2) ? 3a ? 0 ?
(2)构造函数 F ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? log a ( x ? a)( x ? 3a) , 对于函数 t ? ( x ? a)( x ? 3a) 来讲, 显然其在 (??,2a] 上单调递减,在 [2a,??) 上单调递增。 且 y ? log a t 在其定义域内一定是减函数。 由于 0 ? a ? 1 ,得 0 ? 2a ? 2 ? a ? 2 所以原函数在区间 [a ? 2, a ? 3] 内单调递减,只需保证

?| F (a ? 2) |?| log a 4(1 ? a ) |? 1 ? ?| F (a ? 3) |?| log a 3(3 ? 2a ) |? 1

1 ? a ? 4(1 ? a ) ? ? ? a ?? ?3(3 ? 2a ) ? 1 ? a ?
当0 ? a ?

9 ? 57 时, f 1 ( x) 与 f 2 ( x) 在区间 ?a ? 2, a ? 3? 上是接近的; 12
时, f 1 ( x) 与 f 2 ( x) 在区间 ?a ? 2, a ? 3? 上是非接近的。

当a ?

9 ? 57 12

点评:该题属于信息给予的题目,考生首先理解“接近”与“非接近”的含义,再对含有对 数式的函数的是否“接近”进行研究,转化成含有对数因式的不等式问题,解不等式即可。
2 2 例 18.设 x ? 1 , y ? 1,且 2log x y ? 2log y x ? 3 ? 0 ,求 T ? x ? 4 y 的最小值。

解:令 t ? log x y , ∵ x ? 1 , y ? 1,∴ t ? 0 。

由 2log x y ? 2log y x ? 3 ? 0 得 2t ?

2 ? 3 ? 0 ,∴ 2t 2 ? 3t ? 2 ? 0 , t
1 1 1 ,即 log x y ? ,∴ y ? x 2 , 2 2

∴ (2t ? 1)(t ? 2) ? 0 ,∵ t ? 0 ,∴ t ?
2 2 2 2

∴ T ? x ? 4 y ? x ? 4 x ? ( x ? 2) ? 4 , ∵ x ? 1 ,∴当 x ? 2 时, Tmin ? ?4 。 点评:对数函数结合不等式知识处理最值问题,这是出题的一个亮点。同时考察了学生 的变形能力。

五.思维总结
1.n N ? a, a ? N , log a N ? b(其中 N ? 0, a ? 0, a ? 1 )是同一数量关系的三种不
b

同表示形式, 因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化, 选择最好的形式进行运 算.在运算中,根式常常化为指数式比较方便,而对数式一般应化为同应化为同底; 2.要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式;进行数式运算的难点是运用各种变换 技巧,如配方、因式分解、有理化(分子或分母)、拆项、添项、换元等等,这些都是经常 使用的变换技巧,必须通过各种题型的训练逐渐积累经验; 3.解决含指数式或对数式的各种问题,要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质, 更关键是熟练运用指数与对数函数的性质,其中单调性是使用率比较高的知识; 4.指数、对数函数值的变化特点(上面知识结构表中的 12 个小点)是解决含指数、 对数式的问题时使用频繁的关键知识,要达到滚瓜烂熟,运用自如的水平,在使用时常常还 要结合指数、对数的特殊值共同分析; 5.含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题的最基本的分类 方案是以“底”大于 1 或小于 1 分类; 6.在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现,如与其它函 数(特别是二次函数)形成的复合函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合 问题等等,因此要努力提高综合能力。


相关文章:
2013届高考数学一轮复习精品学案:第4讲 基本初等函数
2013 年普通高考数学一轮复习精品学案第4讲一.课标要求 1.指数函数 (1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的 14C 的衰减,药物在人体内残留量 的变化等)...
2014届高考数学一轮复习精品学案:第4讲 基本初等函数
2014届高考数学一轮复习精品学案:第4讲 基本初等函数_高考_高中教育_教育专区。...基本初等函数 二.命题走向指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数,在...
2013届高考数学一轮复习学案基本初等函数
2013 年普通高考数学一轮学案基本初等函数课标要求 1.指数函数 (1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的 14C 的衰减,药物在人体内残留量 的变化等),了解...
2014年高考数学科二轮复习精品学案:第4讲_基本初等函数
2014 年高考数学科二轮复习精品学案 第4讲一.课标要求 基本初等函数 1.指数函数 (1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的 14C 的衰减,药物在人体内残留量 ...
2013届高考数学一轮复习精品学案:第5讲 函数的图像
2013 年普通高考数学一轮复习精品学案第5讲一.课标要求: 1.掌握基本初等函数的图象的画法及性质。如正比例函数、反比例函数、一元一次函 数、一元二次函数、...
教师 2013届高考数学一轮复习精品学案:第41讲 简易逻辑
2013 年数学复习精品学案第 41 讲 简易逻辑一.课标要求: 1.常用逻辑用语 (1)命题及其关系 ① 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题;② 理解必要条件、充分条...
2013届高考数学一轮复习精品学案:第3讲 函数的基本性质
2013 年普通高考数学一轮复习精品学案第3讲一.课标要求 1.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意 义; 2.结合具体函数,...
高考数学一轮专题精讲4:基本初等函数
2013届高考数学一轮复习... 14页 免费 高考数学一轮专题精讲23:... 14页...第4讲 一.【课标要求】 1.指数函数 基本初等函数 (1)通过具体实例(如绅胞的...
李老师高考一轮复习精品学案:基本初等函数
李老师高考一轮复习精品学案:基本初等函数_数学_高中...1 4 例 3.要使函数 y ? 1 ? 2 x ? a ?...2013届高考数学第一轮复... 14页 免费 2013年普通...
更多相关标签: