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2016高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数专题限时训练4 文


专题限时训练(四)
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

不等式及线性规划

(时间:45 分钟 分数:80 分)

1. (2015·河南洛阳统考)设二次函数 f(x)=ax +bx+c 的导函数为 f′(x). 若? x∈R, 不等式 f(x)≥f′(x)恒成立,则 A. 6+2 C.2 2+2 答

案:B 解析:由题意,得 f′(x)=2ax+b,由 f(x)≥f′(x)在 R 上恒成立, 得 ax +(b-2a)x+c-b≥0 在 R 上恒成立,则 a>0 且 Δ ≤0,可得 b ≤4ac-4a , 4ac-4a ? ? ≤ 2 , 2 = a +2c a +2c c?2 ? 2? ? +1
2 2 2

2

b2
2

a +2c2

的最大值为(

)

B. 6-2 D.2 2-2



b

2

2

? ? 4? -1? a
c

2

2

?a?

令 t= -1,可知 t≥0. 当

c a

t>0

时 ,

b2 a +2c
2 2



4t = 2t +4t+3
2

4 4 ≤ = 3 2 6+4 2t+ +4

6 -

t

2?当且仅当t=

? ?

6 ? 时等号成立?, 2 ?

当 t=0 时,

b2
2

a +2c

2

=0,故

b2
2

a +2c2

的最大值为 6-2.故选 B.

x-y≥0, ? ? 2.(2015·山东卷)已知 x,y 满足约束条件?x+y≤2, ? ?y≥0.
则 a=( A.3 C.-2 答案:B 解析:画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示, ) B.2 D.-3

若 z=ax+y 的最大值为 4,

1

若 z=ax+y 的最大值为 4,则最优解为 x=1,y=1 或 x=2,y=0,经检验知 x=2,y =0 符合题意, ∴ 2a+0=4,此时 a=2.故选 B.

x-y+1≥0, ? ? 3.已知点 A(2,-2),点 P(x,y)在?x+y+1≥0, ? ?2x-y-1≥0
方向上投影的取值范围是( A.?- C.?- ) B.?- D.?-

→ → 所表示的平面区域内,则OP在OA

? ? ? ?

2 2? , ? 2 2? 2 2? , ? 2 2?

? ? ? ?

2 2? , ? 2 2? 2 2? , ? 2 2?

答案:D 解析:不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.

由向量投影的几何意义知,当点 P 与点 D 重合时投影最大,当点 P 与点 B 或点 C 重合时 投影最小. 又 C(-1,0),D(0,-1), → → 所以OC=(-1,0),OD=(0,-1),
2

→ → OD·OA 2 → → 所以OD在OA方向上的投影为 = , → 2 |OA| →

OC·OA 2 → OC在OA方向上的投影为 =- , → 2 |OA|
2 2? ? → → 故OP在OA方向上投影的取值范围是?- , ?. 2? ? 2 1 1 4.若 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“a< 或 b> ”的(

→ →

b

a

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 解析:0<ab<1 可分为两种情况: 1 当 a>0,b>0 时,由 0<ab<1 两边同除 b 可得 a< ;

b

1 当 a<0,b<0 时,两边同除以 a 可得 b> .

a

1 1 所以“0<ab<1”是“a< 或 b> ”的充分条件,

b

a

1 1 1 1 反之,当 a< 或 b> 时,可能有 ab<0,所以“0<ab<1”是“a< 或 b> ”的不必要条件,

b

a

b

a

故应为充分不必要条件. 1? → → → → ?3 5. 已知三点 A(2,1), B(1, -2), C? ,- ?, 动点 P(a, b)满足 0≤OP·OA≤2, 且 0≤OP·OB 5? ?5 1 ≤2,则动点 P 到点 C 的距离小于 的概率为( 5 A. C. π 20 19π 20 ) π B.1- 20 19π D.1- 20

答案:A
? ?0≤2a+b≤2, 解析:动点 P(a , b) 满足的不等式组为 ? ?0≤a-2b≤2, ?

画出可行域可知点 P 在以

? ? C? ,- ?为中心且边长为 5 5
3 1

?

?

2 5 1 的正方形及内部运动,而点 P 到点 C 的距离小于 的区域是以 5 5

3

? ? C? ,- ?为圆心且半径为 的圆的内部,所以概率 P= 5 5
3 1

?

?

1 5

π = .故选 A. 20 ?2 5?2 ? ? ? 5 ?

?1?2 π? ? ?5?

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2015·河北唐山一模)已知 x,y∈R 且满足 x +2xy+4y =6,则 z=x +4y 的取值 范围是________. 答案:[4,12] 解析:∵2xy=6-(x +4y ),而 2xy≤ ∴6-(x +4y )≤
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2+4y2
2



x2+4y2
2



∴x +4y ≥4(当且仅当 x=2y 时,等号成立). 又∵(x+2y) =6+2xy≥0,即 2xy≥-6, ∴z=x +4y =6-2xy≤12(当且仅当 x=-2y 时,等号成立). 综上可知,4≤x +4y ≤12.
? ?x +x,x<0, 7.(2014·浙江卷)设函数 f(x)=? 2 ?-x ,x≥0. ?
2 2 2 2 2 2

若 f(f(a))≤2,则实数 a 的取值范

围是________. 答案:(-∞, 2] 解析:结合图形(图略),由 f(f(a))≤2 可得 f(a)≥-2,可得 a≤ 2.

x+y-6≤0, ? ? 8.设实数 x,y 满足?x-y-1≤0, ? ?x≥2,

则 μ = 的取值范围是________.

y x

?1 ? 答案:? ,2? ?2 ?
x+y-6≤0, ? ? 解析:由约束条件?x-y-1≤0, ? ?x≥2

作出可行域如图阴影部分所示.

4

μ = 的几何意义是原点与可行域内动点连线的斜率,
?x=2, ? ? ?x-y-1=0, ?x=2, ? ?x+y-6=0, ?

y x

联立?

解得 A(2,1).

联立?

解得 C(2,4).

1 由图可知,当动点为点 A 时,kOA 最小,等于 ; 2 4 当动点为点 C 时,kOC 最大,等于 =2. 2

y ?1 ? 所以 μ = 的取值范围是? ,2?. x ?2 ?
三、解答题(9 题 12 分,10 题、11 题每题 14 分,共 40 分) 1 3 1 2 9. 已知函数 f(x)= ax - x +cx+d(a, c, d∈R)满足 f(0)=0, f′(1)=0, 且 f′(x)≥0 3 4 在 R 上恒成立. (1)求 a,c,d 的值; 3 2 b 1 (2)若 h(x)= x -bx+ - ,解不等式 f′(x)+h(x)<0. 4 2 4 解:(1)∵f(0)=0,∴d=0. 1 2 ∵f′(x)=ax - x+c. 2 1 又 f′(1)=0,∴a+c= . 2 ∵f′(x)≥0 在 R 上恒成立, 1 1 2 即 ax - x+ -a≥0 恒成立, 2 2 显然当 a=0 时,上式不恒成立,∴a≠0,
5

a>0, ? ? ∴?? 1?2 ?1 ? ?-2? -4a?2-a?≤0, ? ? ? ?? ? a>0, ? ? 即? 2 1 1 a - a+ ≤0, ? 2 16 ?
1 1 解得 a= ,c= . 4 4 1 2 1 1 (2)由(1)知,f′(x)= x - x+ . 4 2 4 由 f′(x)+h(x)<0,得 1 2 1 1 3 2 b 1 x - x+ + x -bx+ - <0, 4 2 4 4 2 4

? 1? b ? 1? 2 即 x -?b+ ?x+ <0,即(x-b)?x- ?<0. ? 2? 2 ? 2?
1 ?1 ? 当 b> 时,解集为? ,b?. 2 ?2 ? 1 ? 1? 当 b< 时,解集为?b, ?. 2 ? 2? 1 当 b= ,解集为?. 2 10.(2015·银川模拟)运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米, 按交通法规限 制 50≤x≤100(单位: 千米/小时). 假设汽油的价格是每升 2 元, 而汽车每小时耗油?2+ ? ? 360? 升,司机的工资是每小时 14 元. (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 130 解:(1)设所用时间 t= (h),

?

x2 ?

x

x ? 130 130 ? y= ×2×?2+ ?+14× ,x∈[50,100]. x x ? 360?
所以,这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是

2

y=

130×18 2×130 + x,x∈[50,100] x 360

?或y=2 340+13x,x∈[50,100]?. ? ? x 18 ? ?
130×18 2×130 (2)由(1)知,y= + x≥26 10, x 360
6

130×18 2×130 当且仅当 = x,即 x=18 10时,等号成立. x 360 故当 x=18 10千米/小时时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为 26 10元. 1 3 1 2 11.已知函数 f(x)= x + ax +bx. 3 2 (1)若 a=2b,试问函数 f(x)能否在 x=-1 处取到极 值?若有可能,求出实数 a,b 的值;否则说明理由; (2)若函数 f(x)在区间(-1,2),(2,3)内各有一个极值点,试求 w=a-4b 的取值范围. 解:(1)由题意 f′(x)=x +ax+b, ∵a=2b,∴f′(x)=x +2bx+b. 若 f(x)在 x=-1 处取极值, 则 f′(-1)=1-2b+b=0,即 b=1, 此时 f′(x)=x +2x+1=(x+1) ≥0, 函数 f(x)为单调递增函数,这与该函数能在 x=-1 处取极值矛盾, ∴该函数不能在 x=-1 处取得极值. 1 3 1 2 (2)∵函数 f(x)= x + ax +bx 在区间(-1,2),(2,3)内分别有一个极值点, 3 2 ∴f′(x)=x +ax+b=0 在(-1,2),(2,3)内分别有一个实根,
2 2 2 2 2

f′?-1?>0, ? ? ∴?f′?2?<0, ? ?f′?3?>0

1-a+b>0, ? ? ? ?4+2a+b<0, ? ?9+3a+b>0.

画出不等式表示的平面区域如图所示,

当目标函数 w=a-4b 过 N(-5,6)时,对应的 w=-29; 当目标函数 w=a-4b 过 M(-2,-3)时,对应的 w=10. 故 w=a-4b 的取值范围为(-29,10).

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