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湖北武汉中学2013届高三10月月考数学理试题


湖北武汉中学 2013 届高三 10 月月考

数学(理)试题
考生注意: 说明:本试卷满分 150 分;答题时间 120 分钟.答卷前,考生务必将自己的姓名、学校、 班级、考号填写在答题纸密封线内相应位置.选择题每小题选出答案后,请将答案填在答题 卡中相应位置,非选择题答案写在答题纸指定位置,不能答在试题卷上,考试结束后,将答 题纸交回, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是 符合题目要求的. 1.已知点 A(-1,1) ,点 B(2,y) ,向量 a=(l,2) ,若 AB / / a ,则实数 y 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8

??? ?

2.已知等比数列 {an }中, a1 ? a2 ? a3 ? 40, a4 ? a5 ? a6 ? 20, 则前 9 项之和等于 A.50
2

B.70

C.80

D.90

3. y ? (sin x ? cos x) ? 1 是 A.最小正周期为 2π 的偶函数 B.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为π 的偶函数 D.最小正周期为π 的奇函数 4.在右图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列, 每一纵列成等比数列,那么 x+y+z 的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知各项均不为零的数列 {an } ,定义向量

?? ? ?? ? cn ? (an , an ?1 ), bn ? (n, n ? 1), n ? N * ,下列命题中真命题是
A.若 ?n ? N , 总有cn / / bn 成立,则数列 {an } 是等差数列
*

B.若 ?n ? N , 总有cn / / bn 成立,则数列 {an } 是等比数列
*

C.若 ?n ? N , 总有cn ? bn 成立,则数列 {an } 是等差数列
*

D.若 ?n ? N , 总有cn ? bn 成立,则数列 {an } 是等比数列
*

6.若 sin2x、sinx 分别是 sinθ 与 cosθ 的等差中项和等比中项,则 cos2x 的值为 A.

1 ? 33 8

B.

1 ? 33 8

C.

1 ? 33 8

D.

1? 2 4

7.如图是函数 y ? sin(? x ? ? ) 的图象的一部分,A,B 是图象上的一个最高点和一个最低点, O 为坐标原点,则 OA ? OB 的值为

??? ??? ? ?

1 2 1 C. ? 2 ? 1 9
A. ?

1 9 1 D. ? 2 ? 1 3

B. ? 2 ? 1

8.已知函数 f ( x) ? cos x( x ? (0, 2? )) 有两个不同的零点 x1,x2 ,且方程 f ( x) ? m 有两个不同 的实根 x3,x4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为 A.

1 2
e? (1 ? e1006? ) 1 ? e?

B. ?

1 2

C.

3 2

D.—

3 2

9.设函数 f(x) =ex(sinx—cosx) ,若 0≤x≤2012π ,则函数 f(x)的各极大值之和为 A. B.

e? (1 ? e2012? ) 1 ? e2?

C.

e? (1 ? e1006? ) 1 ? e2?

D.

e? (1 ? e2012? ) 1 ? e?

10 . 设 函 数 f ( x) ? x( ) ?
x

1 2

1 , A0 为 坐 标 原 点 , A 为 函 数 y ? f ( x) 图 象 上 横 坐 标 为 x ?1
?? ? ??????? ?? ? ? Ak ?1 Ak ,向量i ? (1, 0), 设? n为向量an 与向量i 的夹角, ?
n k ?1

n(n ? N * )

的点,向量 an ?

满足

? tan ?
k ?1

n

k

?

5 的最大整数 n 是 3

A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上,题两空的题,其答案按先后次序填写,填错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.设 f (sin ? ? cos ? ) ? sin 2? , 则f ( ) 的值为 12.已知曲线 f ( x) ? x
n ?1

1 3



(n ? N * )与直线 x ? 1交于点 P,若设曲线 y=f(x)在点 P 处的切线

与 x 轴交点的横坐标为 xn , 则 log 2012 x1 ? log 2012 x2 ? ? ? log 2012 x2011 的值为____. 13.已知 sin x ? sin y ? ? , cos x ? cos y ?

2 3

2 , 且 x,y 为锐角,则 tan(x -y)= 3



14.如图放置的正方形 ABCD,AB =1.A,D 分别在 x 轴、y 轴的正半 轴(含原点)上滑动,则 OC ? OB 的最大值是____. 15.由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项,将每个图形 的层数增加可得到这四个数列的后继项,按图中多边形的边数依次称 这些数列为“三角形数列”“四边形数列”?,将构图边数增加到 n 可 、

???? ??? ?

得到“n 边形数列” ,记它的第 r 项为 P(n,r) ,则(1)使得 P(3,r)>36 的最 小 r 的取值是 ; (2)试推导 P(n,r)关于,n、r 的解析式是____.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知 OA ? (2a sin x, a ), OB ? (? 1, 2 3 sin x cos x ? 1),O 为坐标原点, a ? 0, 设
2

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? f ( x) ? OA ? OB ? b, b ? a.
(I)若 a ? 0 ,写出函数 y ? f ( x) 的单调速增区间; (Ⅱ)若函数 y=f(x)的定义域为[

?
2

, ? ],值域为[2,5],求实数 a 与 b 的值,

17. (本小题满分 12 分) 如图,某测量人员,为了测量西江北岸不能到达的两点 A,B 之间的距离,她在西江南岸 找到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A,B;找到一个点 D,从 D 点可以观察到点 A,C;到一 个点 E,从 E 点可以观察到点 B,C;并测量得到数据:∠ACD=90°,∠ADC= 60°,∠ACB =15°, ∠BCE =105°,∠CEB =45°,DC=CE =1(百米) . (I)求△CDE 的面积; (Ⅱ)求 A,B 之间的距离.

18. (本小题满分 12 分) 国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款,旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习 期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过 6000 元.某大学 2010 届毕 业生李顺在本科期间共申请了 24000 元助学贷款,并承诺在毕业后 3 年内(按 36 个月计) 全部还清. 签约的单位提供的工资标准为第一年内每月 1500 元,第 13 个月开始,每月工资比前一个 月增加 5%直到 4000 元.李顺同学计划前 12 个月每个月还款额为 500 元,第 13 个月开始, 每月还款额比前一月多 x 元. (I)若李顺恰好在第 36 个月(即毕业后三年)还清贷款,求 x 的值; (II)当 x=50 时,李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款?他还清贷款的那一个月的工 资余额是多少? (参考数据:1.0518 =2.406,1.0519=2.526,1.0520 =2.653,1.0521=2.786)

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? sin x. (I)当 x ? [0, ? ]时, 求f ( x) 的值域; (II)设 g ( x) ? f ?( x) ? 1, 若g ( x) ? 1 ? ax 在[0, ??) 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

20. (本小题满分 13 分) 已知

f ( x) ? ( x ? 1) 2 , g ( x) ? 10( x ? 1), 数列{an }满足a1 ? 2, (an ?1 ? an ) g (an ) ? f (an ) ? 0,

bn ?

9 (n ? 2 )a( ? n 10

1) .

(I)求证:数列{an,-1)是等比数列; (Ⅱ)当 n 取何值时,bn 取最大值,并求出最大值;

(Ⅲ)若

t m t m ?1 ? 对任意m ? N * 恒成立,求实数 t 的取值范围. bm bm ?1

21. (本小题满分 14 分) 设曲线 C: f ( x) ? ln x ? ex(e ? 2.71828?), f ?( x)表示f ( x) 导函数. (I)求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)数列{an}满足 a1 ? e, an ?1 ? 2 f ?( 项; (Ⅲ) 对于曲线 C 上的不同两点 A 1, 1) B (x2 , 2 ) x1<x2 , (x y , y , 求证: 存在唯一的 x0 ? ( x1 , x2 ) , 使直线 AB 的斜率等于 f ?( x0 ).

1 ? 3e) .求证:数列{an}中不存在成等差数列的三 an

参考答案
一、选择题: 1. 【考点分析】本题主要考查平面向量的运算和向量平行充要条件的基本运用. 【参考答案】 C 3 y-1 → → 【解题思路】AB=(3,y-1) ,∵AB∥a,∴ = ,∴y=7. 1 2 2. 【考点分析】本题主要考查等比数列的基本运算性质. 【参考答案】 B. 【 解 题 思 路 】 ?

a 4 ? a5 ? a6 ? (a1 ? a 2 ? a3 )q 3 , ?

q3 ?

1 2



a7 ? a8 ? a9 ? (a 4 ? a5 ? a6 )q 3 =10,即 s 9 =70.

3. 【考点分析】本题考查三角函数的性质和同角三角函数的基本关系式的运用,考查基本运算 能力. 【参考答案】D 【 解 题 思 路 】 y ? ( s i xn ?
2 cx o ? s

? )

所 s 1 x 2 s ? n , cx o 以 函 数 i n 2 x i s

y ? ( s i xn ?

2 是最小正周期为 ? 的奇函数。 cx o ? ) s 1

4. 【考点分析】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式,考查观察分析和运算能力. 【参考答案】B 【解题思路】第一行是以 2 为首项,以 1 为公差的等差数列,第一列是以 2 为首项,并且 每一列 都是以

1 由为公比的等比 数列,由等差数列和等 比数列的通项公式可求 得 2

5 3 x ? 1, y ? , z ? ,所以它们的和等于 2,故选 B。 8 8
5. 【考点分析】 本题考查了等差数列和等比数列的判定, 以及平行向量和垂直向量的基本结论. 【参考答案】A

a n ?1 【解题思路】:由 cn / / bn ,可得,nan+1=(n+1)an,即 n ?1 ? ,于是 an=na1,故选 A. an n
6. 【考点分析】 本题考查等差中项和等比中项的定义以及三角变换, 考查方程思想和运算能力. 【参考答案】A 【解题思路】依题意有 2 sin 2x ? sin? ? cos? , ①

s i 2n ? x

? i n? c o s s



由①2 -②×2 得, 4 cos2 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 0 ,解得 cos 2 x ?

1 ? 33 。 8 1? 33 不合题意。故选 A。 8

又由 sin 2 x ? sin? cos? ,得 cos2x ? 1 ? sin 2? ? 0 ,所以

7. 【考点分析】本题主要考查正弦函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像与性质以及数量积的坐标表 示,数形结合思想. 【参考答案】C T 5π π π 【解题思路】由图知 = - = ,∴T=π, ∴ω=2,∴y=sin(2x+φ) , 4 12 6 4 π π 将点?-12,0?的坐标代入得 sin?-6+φ?=0, ? ? ? ?
2

π ∴φ= , 6 C.

π 2π → → π ∴A?6,1?,B? 3 ,-1?,∴OA· = -1,故选 OB ? ? ? ? 9

8.【考点分析】本题主要考查函数的零点和等差数列的定义,考查数形结合思想. 【参考答案】D

【解题思路】设两个根依次为 ? , ? (? ? ? ) .而函数 y ? f (x) 的零点为 可 得 :

? 3?


?
2

?? ? ? ?

3? ? 3? , ? ? ? ? 2? ? ? 2 2 2

,则由图象 , 2 2 可 求



??

5? ,? m ? c 6

5? 3 o ? ?s . 6 2

9. 【考点分析】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列的求和. 【参考答案】 B. 【解题思路】∵函数 f(x)=ex(sinx-cosx),∴f′(x)=(ex)′(sinx-cosx)+ex(sinx-cosx)′ =2exsinx, ∵x∈(2kπ ,2kπ +π )时,f′(x)>0,x∈(2kπ +π ,2kπ +2π )时,f′(x)<0, ∴x∈(2kπ , 2kπ +π )时原函数递增,x∈(2kπ +π , 2kπ +2π )时,函数 f(x)=ex(sinx-cosx) 递减,故当 x=2kπ +π 时,f(x)取极大值,其极大值为 f(2kπ +π )=e2kπ+π[sin(2kπ +π )-cos (2kπ +π ) 2kπ+π× (-1)=e2kπ+π, 0≤x≤2012π , ]=e (0) 又 ∴函数(x) f 的各极大值之和 S=eπ+e3π+e5π+? +e2011π=

e ? (1 ? e 2012? ) .故选 1 ? e 2?

B.

10. 【考点分析】本题考查函数、数列与向量的综合应用,考查向量的夹角公式的运算及正切 函数的定义. 【参考答案】B 【解题思路】由题意知 An=(n,f(n), an ? A0 An ,则θ n 为直线 A0An 的倾斜角,所以 )
? ?

f ( n) ? 1 ? 1 5 5 ? 9 ?? ? ? tanθ n= , 所以 tanθ 1=1, 1= , θ tanθ 2 = , tanθ 3= , tanθ 4= n n(n ? 1) 12 24 4 80 ?2?
n

则有 1+

5 5 13 5 139 13 9 + = < < = ,故满足要求的最大整数 n 是 3.故选 ? 12 24 8 3 80 8 80

B.

二、填空题: 11. 【考点分析】本题主要考查了函数的概念和函数解析式,以及三角函数的基本运算. 【参考答案】 ?

8 9
2
2

【解题思路】 x ? sin ? ? cos? , n 2? ? x ? 1 ,f ( x) ? x ? 1 , 设 则s 所以 f ( ) ? ? . i 12. 【考点分析】本题主要考查了导数的几何意义的应用,数列的运算及对数的运算性质的综 合应用,考查了基本运算的能力. 【参考答案】 -1 【解题思路】f ′(x)=(n+1)xn,k=f ′(1)=n+1,点 P(1,1)处的切线方程为:y 1 n n -1=(n+1) (x-1) ,令 y=0 得,x=1- = ,即 xn= ,∴x1× 2×…×x2011 x n+1 n+1 n+1

1 3

8 9

1 1 2 3 2010 2011 = × × ×…× = ,则 log2012x1 +log2012x2 +…+log2012x2011 =log2012 ? 2 3 4 2011 2012 2012

(x1× 2×…×x2011)=log2012 x

1 =-1. 2012

13. 【考点分析】本题主要考查两角和与差的正弦余弦正切,同角三角函数的基本关系式,正 弦余弦函数的诱导公式及其运用,考查正弦函数的单调性. 2 14 【参考答案】 - 5 5 【解题思路】两式平方相加得:cos(x-y)= , 9 ∵x、y 为锐角,sinx-siny<0,∴x<y, 2 14 ∴sin(x-y)=- 1-cos2?x-y?=- , 9 sin?x-y? 2 14 ∴tan(x-y)= =- . 5 cos?x-y? 14.【考点分析】本题主要考查向量的线性运算和数量积的基本运算. 【参考答案】2 【解题思路】法一: 取 AD 的中点 M ,连接 OM .则.

OC ? OB ? (OD ? DC ) ? (OA ? AB) ? OA ? OD ? AB ? DC ? OA ? DC ? OD ? AB ? 0 ? 1 ? OA ? AB ? OD ? AB ? 1 ? AB ? (OA ? OD ) ? 1 ? AB ? 2OM 1 ? 1 ? 2 OM AB ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 2
法二:设 ?BAx ? ? ,则 B(sin ? ? cos? , sin ? ), C (cos? , sin ? ? cos? ), (0 ? ? ?

?
2

),

? OC ? OB ? ( c o?s, s i n ? c o ? ) ? ( s i? ? c o ? , s i n ) ? s n s ?
2 ? s i n c o ? ? c o 2s? ? s i n? ? s i n c o ? ? s ? s

? 1 ? s i n? ? 2 2
15. 【考点分析】本题考查等差数列的基本知识,递推数列的通项公式的求解等基本方法,考 察抽象概括能力以及推理论证能力.

r (n ? 2)r (r ? 1) (或 等) [2 ? (r ? 1)(n ? 2)] . r ? 2 2 r (r ? 1) r (r ? 1) 【解题思路】 (1) P(3, r ) ? , 由题意得 所以,最小的 ? 36 , 2 2 r ? 9.
【参考答案】 (1) r ? 9 . (2) P(n, r ) ? (2)设 n 边形数列所对应的图形中第 r 层的点数为 ar ,则 P(n, r ) ? a1 ? a2 ? ??? ? ar 从图中可以得出:后一层的点在 n ? 2 条边上增加了一点,两条边上的点数不变, 所以 ar ?1 ? ar ? n ? 2 , a1 ? 1 所以 {ar } 是首项为 1 公差为 n ? 2 的等差数列,

所以 P(n, r ) ?

r (n ? 2)r (r ? 1) (或 等) [2 ? (r ? 1)(n ? 2)] . r ? 2 2

三、解答题: 16. 【考点分析】本小题考查三角函数的性质,同角三角函数的关系,两角和的正、余弦公式、 诱导公式和向量等基础知识和基本运算能力,函数与方程、化归与转化、分类讨论等数 学思想. π [解析] (1)f(x)=-2asin2x+2 3asinxcosx+a+b=2asin?2x+6?+b, ? ? π π π ∵a>0,∴由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ 得, 2 6 2 π π kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 3 6

π π ∴函数 y=f(x)的单调递增区间是[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 3 6 π π 7π 13π (2)x∈[ ,π]时,2x+ ∈[ , ], 2 6 6 6 当 a>0 时,f(x)∈[-2a+b,a+b] π 1 sin?2x+6?∈[-1, ] ? ? 2
? ? ?-2a+b=2 ?a=1 ∴? ,得? , ? ? ?a+b=5 ?b=4 ?a+b=2 ?a=-1 ? ? ∴? ,得? ? ? ?-2a+b=5 ?b=3

当 a<0 时,f(x)∈[a+b,-2a+b]
? ? ?a=-1 ?a=1 综上知,? 或? ?b=3 ?b=4 ? ?

17. 【考点分析】本题是解三角形的应用问题,考查三角形中的正弦定理、三角恒等变换、三 角函数性质等基础知识,主要考查运算求解、推理论证等能力. 解: (1)连结 DE,在?CDE 中, ?DCE ? 360o ? 90o ?15o ?105o ? 150 o , (1 分)
S?CDE ? 1 1 1 1 1 DC ? CE ? sin150o ? ? sin 30o ? ? ? (平方百米) 2 2 2 2 4

(4 分) (5 分)

(2)依题意知,在 RT?ACD 中, AC ? DC ? tan ?ADC ? 1? tan 60 o ? 3 在?BCE 中, ?CBE ? 180o ? ?BCE ? ?CEB ? 180o ? 105 o ? 45 o ? 30 o 由正弦定理 得 BC ?
BC CE ? sin ?CEB sin ?CBE

(6 分) (7 分) (8 分) (9 分) (10 分) (11 分) (12 分)

CE 1 ? sin ?CEB ? ? sin 45o ? 2 sin ?CBE sin 30o

∵ cos15o ? cos(600 ? 45o ) ? cos 600 cos 45o ? sin 600 sin 45o
1 2 3 2 6? 2 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 4 2 在?ABC 中,由余弦定理 AB ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos ?ACB

可得 AB 2 ? 3 ? 2 ? 2 3 ? 2 ? ∴ AB ? 2 ? 3 (百米)

2

2

6? 2 ? 2? 3 4

18. 【考点分析】本题主要考查一元二次不等式的应用,数列的基本应用和等差数列的性质,

考查等价转化和建模能力.

(2)设李顺第 n 个月还清,则应有

12 ? 500 ? (500 ? 50) ? (n ? 12) ?

(n ? 12) ? (n ? 12 ? 1) ? 50 ? 24000 2
3 ? 3321 ? 30 ,取 n ? 31 , 2

整理可得 n2 ? 3n ? 828 ? 0 ,解之得 n ? 即李顺工作 31 个月就可以还清贷款. 这个月,李顺的还款额为

24000 ? [12 ? 500 ? (500 ? 50) ? (30 ? 12) ?

(30 ? 12) ? (30 ? 12 ? 1) ? 50] ? 450 元, 2

第 31 个月李顺的工资为 1500 ?1.0519 ? 1500 ? 2.526 ? 3789 元, 因此,李顺的剩余工资为 3789 ? 450 ? 3339 . …………………12 分 19. 【考点分析】本题考查函数、导数和三角函数知识的综合运用,利用导数研究函数的单调 性、值域,主要考查运算求解能力. 解: (Ⅰ) ? f ( x) ? 1 ? cos x ? 0,? f ( x)在[0, ? ] 上单调递增.
'

? f ( x)min ? f (0) ? 0, f ( x) max ? f (? ) ? ?
所以函数 f ( x) 的值域为 [0, ? ]
2

……………………. 5 分

(Ⅱ) g ( x) ? cos x ,记 ? ( x) ? cos x ? ax ? 1 ,则 ? '( x) ? ? sin x ? 2ax . 当a ? ?

1 时, ? "( x) ? ? cos x ? 2a ? 0 ,所以 ? '( x) 在 [0, ??) 上单调递增. 2

又 ? '(0) ? 0 ,故 ? '( x) ? 0 .从而 ? ( x) 在 [0, ??) 上单调递增. 所以 ? ( x) ? ? (0) ? 0 ,即 cos x ? 1 ? ax 在 [0, ??) 上恒成立………….8 分
2

当a ? ?

1 时, ?" (0) ? ?1 ? 2a ? 0,? ?x0 ? 0, 使x ? (0, x0 )时,?" ( x) ? 0 . 2

所以 ? ' ( x)在 (0,x 0 ] 上单调递减,从而 ? ' ( x) ? ? ' (0) ? 0 , 故 ? ( x) 在 (0, x0 ] 上单调递减, ? ( x) ? ? (0) ? 0 这与已知矛盾. ……

综上,故 a 的取值范围为 a ? ?

1 . …………….12 分 2

20. 【考点分析】本题主要考查数列的基本应用和等比数列的性质,以及数列的通项公式考查 等价转化和函数方程思想. 解: (I)∵ (a n ?1 ? a n )g(a n ) ? f (a n ) ? 0 , f (a n ) ? (a n ? 1) , g(a n ) ? 10(a n ? 1) ,
2

∴ (a n ?1 ? a n )10(a n - 1) ? (a n - 1) ? 0 . 即 (a n ? 1)(10a n ?1 - 9a n - 1) ? 0 .
2

又 a 1 ? 2 ,可知对任何 n ? N , a n ? 1 ? 0 ,所以 a n ?1 ?
*

9 1 a n ? .????2 分 10 10

9 1 a n ? ?1 a ? 1 10 9 10 ∵ n ?1 , ? ? a n ?1 a n ?1 10
∴ ?a n ? 1?是以 a 1 ? 1 ? 1 为首项,公比为 (II)由(I)可知 a n ? 1 = ( ∴ bn ?

9 的等比数列.???4 分 10
*

9 n ?1 ) 10

(n?N ) .

b n ?1 bn

9 9 (n ? 2)(a n ? 1) ? (n ? 2)( ) n . 10 10 9 (n ? 3)( ) n ?1 9 1 10 ? ? (1 ? ) .???????????5 分 9 n 10 n?2 (n ? 2)( ) 10
b8 ? 1, b8 ? b 7 ; b7 b n ?1 ? 1 , b n ?1 ? b n ; bn b n ?1 ? 1 , bn ?1 ? bn . bn

当 n=7 时,

当 n<7 时,

当 n>7 时,

∴当 n=7 或 n=8 时, b n 取最大值,最大值为 b 7 ? b 8 ?

98 .??8 分 10 7
(*)

tm t m ?1 1 10t m ? ? ]?0 (III)由 ,得 t [ b m b m ?1 m ? 2 9(m ? 3)
依题意(*)式对任意 m ? N 恒成立,
*

①当 t=0 时, (*)式显然不成立,因此 t=0 不合题意.????9 分 ②当 t<0 时,由

1 10t ? ? 0 ,可知 t m ? 0 ( m ? N * ) . m ? 2 9(m ? 3)

而当 m 是偶数时 t ③当 t>0 时,由 t ∴
m

m

? 0 ,因此 t<0 不合题意.????10 分

? 0 ( m ? N * ),
∴t ?

1 10t ? ?0 m ? 2 9(m ? 3)
设 h ( m) ?

9(m ? 3) . 10 (m ? 2)
*

( m ? N )??11 分
*

9(m ? 3) 10(m ? 2)

(m?N )

∵ h (m ? 1) ? h (m) ?

9(m ? 4) 9(m ? 3) 9 1 =? ? ? ? 0, 10(m ? 3) 10(m ? 2) 10 (m ? 2)( m ? 3)

∴ h(1) ? h(2) ? ? ? h(m ? 1) ? h(m) ? ? .

6 . 5 6 所以实数 t 的取值范围是 t ? .?????????????13 分 5
∴ h (m) 的最大值为 h (1) ? 21. 【考点分析】本题考查函数、导数和数列知识的综合运用,利用导数研究函数的单调性、 极值,主要考查运算求解、推理论证和化归转化等能力. 解: (I) f ?( x) ?

1 1 ? ex 1 ?e ? ? 0 ,得 x ? x x e

当 x 变化时, f ?( x) 与 f ( x) 变化情况如下表:

x

1 (0, ) e
+ 单调递增

1 e
0 极大值

1 ( , ??) e
- 单调递减 …………(5 分)

f ?( x)
f ( x)
∴当 x ?

1 1 时, f ( x) 取得极大值 f ( ) ? ?2 ,没有极小值; e e

(II)∵ an ?1 ? 2 f ?(

1 ) ? 3e ,∴ an?1 ? 2an ? e , an

an ?1 ? e ? 2 ,∴ an ? e(2n ? 1) an ? e
…………(7 分)

假设数列 {an } 中存在成等差数列的三项 ar , as , at (r ? s ? t ) ,则 2as ? ar ? at ,

2e(2s ? 1) ? e(2r ? 1) ? e(2t ? 1),2s ?1 ? 2r ? 2t ,? 2s ?r ?1 ? 1 ? 2t ?r
又s ? r ? 1 ? 0, t ? r ? 0,? 2s ?r ?1为偶数,1 ? 2t ?r 为奇数, 假设不成立
因此,数列 {an } 中不存在成等差数列的三项 …………(10 分)

(III) 方法 1) f ?( x0 ) ? k AB , ( ∵ ∴

ln x2 ? ln x1 ? e( x2 ? x1 ) 1 x ? x1 x , 2 ∴ ?e ? ? ln 2 ? 0 x0 x2 ? x1 x0 x1

即 x0 ln

x2 x ? ( x2 ? x1 ) ? 0 ,设 g ( x) ? x ln 2 ? ( x2 ? x1 ) x1 x1
x x2 ? ? ( x2 ? x1 ) , g ( x1 ) x1 ? ln 2 ? 0 , g ( x1 ) 是 x1 的增函数, x1 x1

g ( x1 ) ? x1 ln

∵ x1 ? x2 ,∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? x2 ln

x2 ? ( x2 ? x2 ) ? 0 ; x2

g ( x2 ) ? x2 ln

x x2 ? ? ( x2 ? x1 ) , g ( x 2 ) x2 ? ln 2 ? 0 , g ( x2 ) 是 x2 的增函数, x1 x1

∵ x1 ? x2 ,∴ g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? x1 ln

x1 ? ( x1 ? x1 ) ? 0 , x1
…………(12 分)

∴函数 g ( x) ? x ln

x2 ? ( x2 ? x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 内有零点 x0 , x1

又∵

x2 x x ? 1,? ln 2 ? 0 ,函数 g ( x) ? x ln 2 ? ( x2 ? x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 是增函数, x1 x1 x1

∴函数 g ( x) ? x ln

x2 ? ( x2 ? x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 内有唯一零点 x0 ,命题成立…………(14 分) x1
ln x2 ? ln x1 ? e( x2 ? x1 ) 1 ?e ? , x0 x2 ? x1

(方法 2)∵ f ?( x0 ) ? k AB ,∴

即 x0 ln x2 ? x0 ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 , x0 ? ( x1 , x2 ) ,且 x0 唯一 设 g ( x) ? x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ,则 g ( x1 ) ? x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? x1 ? x2 , 再设 h( x) ? x ln x2 ? x ln x ? x ? x2 , 0 ? x ? x2 ,∴ h?( x) ? ln x2 ? ln x ? 0 ∴ h( x) ? x ln x2 ? x ln x ? x ? x2 在 0 ? x ? x2 是增函数 ∴ g ( x1 ) ? h( x1 ) ? h( x2 ) ? 0 ,同理 g ( x2 ) ? 0 ∴方程 x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 在 x0 ? ( x1 , x2 ) 有解 ∵一次函数在 ( x1 , x2 ) g ( x) ? (ln x2 ? ln x1 ) x ? x1 ? x2 是增函数 …………(12 分)

∴方程 x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 在 x0 ? ( x1 , x2 ) 有唯一解,命题成立………(14 分) 注:仅用函数单调性说明,没有去证明曲线 C 不存在拐点,不给分。


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