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抽象函数问题的求解策略


抽象函数问题的求解策略 函数是每年高考的热点, 而抽象函数问题又是函数的难点之一。 抽象函数通常是指没有 给出具体函数的解析式,只给出了其他一些条件(如函数的定义域、特定点的函数值、解析 递推式、特定的运算性质、部分图象特征等)的函数。由于抽象函数没有具体的解析式作为 载体,因此理解、研究起来往往比较困难。但因为这类问题对于培养学生的创新实践能力, 增强应用数学意识有着十分重要的

作用,所以在近几年成为数学命题的生长点。 对于抽象函数问题,一般是由所给的性质,讨论函数的单调性、奇偶性、周期性及图象 的对称性,或是求函数值、解析式等。因为问题本身的抽象性和性质的隐蔽性,可以利用特 殊模型法、函数性质法、特殊化方法、类比联想转化法等从多层面、多角度去分析、研究抽 象函数问题。 一、特殊模型法 根据抽象函数的性质,找出一个对应的具体函数模型,再研究它的其它性质。在高中数 学中,常见抽象函数所对应的具体特殊函数模型归纳如下: 抽象函数 f ( x) 的性质 对应特殊函数模型

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x) ? kx(k ? 0)

f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) f ( x) ? loga x(a ? 0且a ? 1) f ( x) ? x? (?为常数)
f ( x) ? tan x

f ( x1 ? x2 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

1、线性函数型抽象函数 f(x)=kx(k≠0)---------------f(x±y)=f(x)±f(y) 例 1:已知函数 f ( x) 对任意实数 x,y,均有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且当 x ? 0 时,

f ( x) ? 0 , f (?1) ? ?2 ,求 f ( x) 在区间[-2,1]上的值域。 解:设 x1 ? x 2 ,则 x2 ? x1 ? 0 ,∵当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,∴ f ( x2 ? x1 ) ? 0 , ∵ f ( x2 ) ? f ?( x2 ? x1 ) ? x1 ? ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) , ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x) 为增函数 在条件中,令 y=-x,则 f (0) ? f ( x) ? f (? x) ,再令 x=y=0,则 f (0) ? 2 f (0) , ∴ f (0) ? 0 ,故 f (? x) ? ? f ( x) , f ( x) 为奇函数, ∴ f (1) ? ? f (?1) ? 2 ,又 f (?2) ? 2 f (?1) ? ?4 , ∴ f ( x) 的值域为[-4,2]。
2、二次函数型抽象函数

f ( x) ? k ( x ? a) 2 ? m ———— f (a ? x) ? f (a ? x)
二次函数型抽象函数即由二次函数抽象而得到的函数 若 抽 象 函 数 y ? f ( x ) 满 足 x ? R , 总 有 f ( a ? x) ? f ( a ? x) , 则 可 用 二 次 函 数

y ? k ( x ? a) 2 ? m 为模型引出解题思路; 例 2: 已知实数集上的函数 f ( x) 恒满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,方程 f ( x) =0 有 5 个实根,
1

则这 5 个根之和=_____________ 【分析】 :因为实数集上的函数 f ( x) 恒满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,方程 f ( x) =0 有 5 个 实根,可以将该函数看成是类似于二次函数 y ? k ( x ? 2) 2 为模型引出解题思路,即函数的 对称轴是 x ? 2 ,并且函数在 f (2) ? 0 ,其余的四个实数根关于 x ? 2 对称, 解:因为实数集上的函数 f ( x) 恒满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,方程 f ( x) =0 有 5 个实根, 所以函数关于直线 x ? 2 对称,所以方程的五个实数根也关于直线 x ? 2 对称,其中有一个 实数根为 2,其它四个实数根位于直线 x ? 2 两侧,关于直线 x ? 2 对称,则这 5 个根之和 为 10 3、指数函数型的抽象函数 f(x)=ax------------------- f(x+y)=f(x)f(y) ;f(x-y)=

f ( x) f ( y)
1 , ] 2

例 3: 设 f (x)是定义在 R 上的偶函数。 其图象关于直线 y=x 对称, 对任意 x1, x2 ? [0 . 都有 f (x1+x2)=f (x1)·f (x2),且 f ( 1 )=a>0. 1 1 (Ⅰ)求 f ( ) 及 f ( ) ; 2 4 (Ⅱ)证明 f (x)是周期函数; 1 (Ⅲ)记 an ? f (2n ? ) ,求 lim(ln an ) . 2n n?? (Ⅰ)解:可以考虑指数函数的模型指导解题的思路,例如运用函数 f ( x) ? 2 x 由 f (x1) ? f (x2 ) ? f (x1) f (x2 ) , x1 , x2 ?[0 ,

1 ] 知: 2

x x f (x) ? f ( ) f ( ) ≥0,x∈[0,1] 2 2
∵ f (1) ? f (

1 1 1 1 1 1 ? ) ? f ( ) f ( ) ? [ f ( )]2 ,f (1)=a>0,∴ f ( ) ? a 2 2 2 2 2 2 2
1

1

1 1 1 1 1 1 1 ∵ f ( ) ? f ( ? ) ? f ( ) f ( ) ? [ f ( )]2 ,∴ f ( ) ? a 4 2 4 4 4 4 4 4 (Ⅱ)证明:依题设 y=f (x)关于直线 x=1 对称, 故 f (x)=f (1+1-x),即 f (x)=f (2-x),x∈R 又由 f (x)是偶函数知 f (-x)=f (x),x∈R 将上式中-x 以 x 代换,得 f (x)=f (x+2),x∈R 这表明 f (x)是 R 上的周期函数,且 2 是它的一个周期. (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知 f (x)>0,x∈[0,1] 1 1 1 1 1 1 ? f ( ) ? f (n ? ) ? f [ ? (n ? 1) ? ] ? f ( ) f [(n ? 1) ] 2 2n 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1 1 1 1 ? f ( ) f ( ) f [(n ? 2) ] ? f ( ) f ( ) ? f ( ) ? [ f ( )]n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 1 ∴ f ( ) ? a 2n 2n
∵f (x)的一个周期是 2,∴ f (2n ? ∴ lim(lnan ) ? lim(
n?? n??
1

1 1 ) ? f ( ) ,因此 a n ? a 2 n 2n 2n

1

1 lna) ? 0 . 2n

2

例 4.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足:对任意实数 m, n , 总有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) , 且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1. (1)试求 f (0) 的值; (2)判断 f ( x) 的单调性并证明你的结论; (3)设 A ? ?( x, y) | f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? f (1)?, B ? ( x, y) | f (ax ? y ? 2 ) ? 1, a ? R 若 A ? B ? ? ,试确定 a 的取值范围. (4)试举出一个满足条件的函数 f ( x) . 解: (1)在 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) 中, 令 m ? 1, n ? 0 .得: f (1) ? f (1) ? f (0) . 因为 f (1) ? 0 ,所以, f (0) ? 1 . (2)要判断 f ( x) 的单调性,可任取 x1 , x2 ? R ,且设 x1 ? x2 . 在已知条件 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) 中,若取 m ? n ? x2 , m ? x1 ,则已知条件可化为:

?

?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 )



由于 x2 ? x1 ? 0 ,所以 1 ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 . 为比较 f ( x2 ), f ( x1 ) 的大小,只需考虑 f ( x1 ) 的正负即可. 在 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) 中,令 m ? x , n ? ?x ,则得 f ( x) ? f (? x) ? 1 . ∵ x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1, ∴ 当 x ? 0 时, f ( x) ?

1 ? 1 ? 0. . f (? x)

又 f (0) ? 1 ,所以,综上,可知,对于任意 x1 ? R ,均有 f ( x1 ) ? 0 . ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 )[ f ( x2 ? x1 ) ? 1] ? 0 . ∴ 函数 f ( x) 在 R 上单调递减. (3)首先利用 f ( x) 的单调性,将有关函数值的不等式转化为不含 f 的式子.

3

f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? f (1)即x 2 ? y 2 ? 1

f (ax ? y ? 2 ) ? 1 ? f (0) ,即 ax ? y ? 2 ? 0 .
由 A ? B ? ? ,所以,直线 ax ? y ? 2 ? 0 与圆面 x 2 ? y 2 ? 1无公共点.所以,

2 a2 ? 1

?1.
x

解得: ?1 ? a ? 1 .

?1? (4)如 f ( x) ? ? ? . ?2?
点评:根据题意,将一般问题特殊化,也即选取适当的特值(如本题中令 m ? 1, n ? 0 ; 以及 m ? n ? x2 , m ? x1 等)是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段;另外,如果能找 到一个适合题目条件的函数 4、对数函数型的抽象函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1)-----f(x·y)=f(x)+f(y) ;f(

x )= f(x)-f(y) y

例 5:已知函数 f ( x) 满足定义域在 (0,??) 上的函数,对于任意的 x, y ? (0,??) ,都有

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,当且仅当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 成立, y (1)设 x, y ? (0,??) ,求证 f ( ) ? f ( y ) ? f ( x) ; x (2)设 x1 , x2 ? (0,??) ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,试比较 x1 与 x2 的大小;
(3)解关于 x 的不等式 f x ? (a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 分析:本题是以对数函数为模型的抽象函数,可以参考对数函数的基本性质解题
2

?

?

证明: (1)∵ f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,∴ f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) , ∴ f ( ) ? f ( y ) ? f ( x) (2)∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 即 f(

y x

y x

x1 x ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( 1 ) ? 0 x2 x2

x1 ? 1 , x1 ? x 2 x2 (3)令 x ? y ? 1 代入 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 得 f (1) ? f (1) ? f (1) , f (1) ? 0 ,
∵当且仅当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 成立,∴当 f ( x) ? 0 时, x ? 1 ,∴ ∴关于 x 的不等式 f x ? (a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 为 f x ? (a ? 1) x ? a ? 1 ? f (1) ,由
2 2 2 (2)可知函数 f ( x) 在定义域 (0,??) 上是减函数,∴ 0 ? x ? (a ? 1) x ? a ? 1 ? 1,由

?

?

?

?

x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 1 ? 1 得,当 a ? 1 时, 1 ? x ? a ,此时 x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 成立; 2 当 a ? 1 时, a ? x ? 1 ,此时 x ? (a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 成立;当 a ? 1 , x ? 1 ,此时 x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 成立。
4

例 6:已知函数 f ?x ? 对一切实数 x ?、 y 满足 f ?0? ? 0 , f ?x ? y ? ? f ?x ? ? f ? y ? ,且当

x ? 0 时, f ?x ? ? 1 ,则当 x ? 0 时 f ?x ? 的取值范围是__________。
分析: 构造特殊函数 f ?x? ? a x ?0 ? a ? 1? , 显然满足 f ?x ? y ? ? f ?x ? ? f ? y ? , 且x ? 0 时, f ?x ? ? 1 ; 解: 令 f ?x ? ? a x , 因当 x ? 0 时, f ?x ? ? 1 , 故 0 ? a ? 1, 由指数函数图像得, 当x ? 0 时有 0 ? f ?x ? ? 1。 【评注】 借助特殊函数模型铺路是解抽象函数问题的常用处理方法, 这样做不仅感到抽 象函数并不是无章可循、玄妙莫测,而且为更深入地研究抽象函数打下了良好的基础。 二、特殊化方法 有些抽象函数问题,用常规方法求解很难奏效,或过程十分繁杂,但利用一些特殊的手 段,如赋值、反证、逆推等特殊的方法求解,往往会收到事半功倍之效果。 例 7.已知函数 f ?x ? 对一切 x, y ? R ,都有 f ?x ? y ? ? f ?x ? ? f ? y ? 。 ⑴求证: f ?x ? 在 R 上满足 f ?? x ? ? ? f ?x ? ; ⑵若 x ? 0 时, f ?x ? ? 0 ,判断 f ?x ? 的单调性。 分析:令 y ? ? x 时,由 f ?x ? y ? ? f ?x ? ? f ? y ? 得 f ?0? ? f ?x ? ? f ?? x ? ,显然,我们 只要求得 f ?0? ? 0 即可证得(1)成立,因此赋值 x ? y ? 0 ,即可。 证明:⑴令 x ? y ? 0 ,可得 f ?0 ? 0? ? f ?0? ? f ?0? ,即 f ?0? ? 0 令 y ? ? x ,可得 f ?0? ? f ?x ? ? f ?? x ? ,故 f ?x ? ? f ?? x ? ? 0 ,即 f ?? x ? ? ? f ?x ? 。 ⑵任取 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x 2 ,则

f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?? x1 ? ? f ?x2 ? x1 ?
? x2 ? x1 ? 0,? f ?x2 ? x1 ? ? 0 ,
∴ f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? 0 ,即 f ?x2 ? ? f ?x1 ?, ∴ f ?x ? 在 R 上是减函数。 【评注】在推理过程中代入一些特殊的自变量,得到一些特殊的函数值,这些特殊的函 数值是推理的重要依据。
5

三、函数性质法 函数的特征是通过函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性、特殊点等)反应 出来的,抽象函数也不例外,只有充分挖掘和利用题设条件所表明或隐含的函数性质,灵活 进行等价转换,抽象函数问题才能峰回路转,化难为易。常见的解题方法有:①利用奇偶性 整体思考;②利用单调性等价转化;③利用周期性回归已知;④利用对称性数形结合等。 例 8.已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数,且 f ( x ? 2)[1 ? f ( x)] ? 1 ? f ( x) . ⑴)求证: f ( x) 是周期函数;⑵若 f (1) ? 2 ? 3 ,试求 f(2001),f(2005)的值。 解: ()由已知 1 f ( x ? 2) ?

1 ? f ( x) , 1 ? f ( x)
1+ f ( x) 1 f ( x) ?? , f ( x) f ( x) f ( x)

1? 1 ? f ( x ? 2) 1? ? f ( x ? 4) ? f (2 ? ( x ? 2)) ? ? 1 ? f ( x ? 2) 1 ? 1 ? 1?

f ( x ? 8) ? f (( x ? 4) ? 4) ? ?

1 ? f ( x), 周期为8 f ( x ? 4)

(2) f (2001) ? f (1) ? 2 ? 3.
f (2005) ? f (5) ? f (1 ? 4) ? ? 1 1 ?? ? ?2 ? 3 。 f (1) 2? 3

【评注】根据题设条件经有限次的迭代,可得到一些重要结论,如函数的周期性。

抽象函数中的奇偶性
一般地,如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x), 则称 f(x)为这一定义域内的奇函数或偶函数。奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象 关于 y 轴对称。 例:(1)已知函数 f(x)对于任意实数 x、y 满足 f(x+y)=f(x)+f(y),判断 f(x)的奇偶性。 (2)已知函数 f(x)对于任意实数 x、y 满足 f(xy)=f(x)+f(y),判断 f(x)的奇偶性。 (3)已知函数 f(x)对于任意实数 x、y 满足 f(x/y)=f(x)-f(y),判断 f(x)的奇偶性。 (4)已知函数 f(x)对于任意实数 x、 y 满足 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),(f(0)≠0), 判断 f(x) 的奇偶性。 解:(1)令 y=-x,则 f(0)=f(x)+f(-x);再令 y=x=0,得 f(0)=0;即 0=f(x)+f(-x),f(x)=-f(x)。∴f(x)是奇函数。
6

(2)令 y=-1,得 f(-x)=f(x)+f(-1),又 f(-1)=0,即 f(-x)=f(x)。∴f(x)是偶函数. (3)令 y=-1,得 f(-x)=f(x)-f(-1),又 f(-1)=0, 即 f(-x)=f(x)。∴f(x)是偶函数. (4)令 x=0,得 f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),再令 x=y=0,可得 f(0)=1,∴f(x)是偶函数. 【点评】:解决此类问题时,只要根据奇偶函数的定义,并应用赋值法(因 x、y 是任意实数), 就不难解决。

抽象函数中的周期性
一般地, 对于函数 f(x), 如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数。非零常数 T 叫做这个函数的周期。 常见结论: (1)f(x+a)=f(x),则 T=a(a 是非零常数)。 (2)f(x+a)=-f(x),则 T=2a(a 是非零常数)。 (3)f(x+2)=f(2-x), f(x+7)=f(7-x), 则 T=10。 例 1:已知 f(x)为偶函数,其图象关于 x=a(a≠0)对称,求证 f(x)是一个以 2a 为周期的 周期函数。 解:∵函数 f(x)的图象关于 x=a(a≠0)对称, ∴f(x+2a)=f(-x); 又∵f(x)为偶函数, ∴f(x+2a)=f(x),即 T=2a。 例 2:设 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x+3)=-f(x),求 f(2004)的值。 解: ∵f(x+3)=-f(x), ∴f(x+6)=f(x+3+3)=-f(x+3)=f(x),即周期 T=6。 又 f(x)是 R 上的奇函数,有 f(0)=0,从而 f(2004)=f(6 ? 334)=f(0)=0。 点评:解决本题的关键是:首先,由 f(x+3)=-f(x),可得 6 是该函数的一个周期;其次, 若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则必有 f(x)=0。

7

抽象函数中的单调性
一般地, 设函数 f(x)的定义域为 I: 如果对于属于定义域 I 内的某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、x2,当 x1<x2 时(x1>x2),都有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),那么就说 f(x)在这个区间上是增函数(减函数)。 例: 定义在 R 上的函数 f(x)同时满足条件: (1)f(x+y)=f(x)+f(y),x,y∈R;(2)当 x>0 时,f (x)<0,且 f(1)=-2。求 f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值。 解: 由(1)可知 f(x)是奇函数;又因 x1>x2>0 时,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2) <0,所以 f(x)是 R 上 的减函数.因而易得函数 f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值分别是 6 和-6。 例4 已知偶函数 f(x)在[0,+∞]上是增函数,解不等式 f(x-1)>f(1-2x)。

1 时,x-1<0,1-2x≧0,由于 f(x-1)=f(1-x),故原不等式即为 f(x-1) 2 1 =f(1-x),再由 f(x)在[0,+∞]上递增,得 x-1>1-2x,即 0<x≦ 。 2
解:(1)当 x≦

1 <x≦1 时,x-1≦0,1-2x<0,从而 1-x≧0,2x-1>0,故原不等式可化为 f 2 1 2 (1-x)>f(2x-1),所以 1-x>2x-1,即 <x< 。 2 3
(2)当 (3)当 x>1 时,x-1>0,1-2x<0,由 f(x-1)>f(1-2x)=f(2x-1),得 x-1>2x-1,即 x <0 这与 x>1 矛盾。

综合(1)、(2)、(3)得原不等式的解为 0<x<

2 。 3

抽象函数中的对称性
对称问题: (1) 点关于点对称:点(x,y)关于点(a,b)对称的坐标为(2a-x,2b-y)。 (2) 曲线关于点对称:曲线 f(x,y)=0 关于点(a,b)对称的曲线 f(2a-x,2b-y)=0。 (3) 常见对称:f(-x)=f(x),即函数 f(x)关于 y 轴对称;f(-x)=-f(x), 即函数 f(x) 关于原点(0,0)对称;f(a-x)=f(a+x),即函数 f(x)关于直线 x=a 对称;f(a-x)= -f(a+x),即函数 f(x)关于点(a,0)对称。

8

例:已知 f(x)满足 f(x+2)=f(2-x), f(x+7)=f(7-x),x,y∈R。 (1)如 f(5)=9, 求 f(-5)。 2 (2)已知当 x∈[2,7]时, f(x)=(x-2) ;求当 x∈[16,20]时,函数 f(x)的表达式。 解(1)方法一: ∵f(x+2)=f(2-x), 即 f(x)=f(4-x)=f(7-3-x)=f(3+x+7)=f(x+10),T=10 ∴f(-5)=f(-5+10)=f(5)=9; 方法二: f(-5)=f(2-7)=f(7+2)=f(9)=f(2+7)=f(7-2)=f(5)=9。 (2) 由题意知 , 函数 f(x) 关于直线 x=2,x=7 对称 , 且周期 T=10. 当 x ∈ [16,17] 时 , 2 2 f(x)=(x-12) ; 当 x∈(17,20)时, f(x)=(x-22) 。 总之,在解决抽象函数问题时,往往不是去考虑如何求这个函数的表达式,而是应设法利用 这个函数的性质,如奇偶性、周期性、单调性、对称性等去把问题解决,倘若能利用数形结 合的方法(如例 3、例 5),则抽象问题又会变得更加具体形象,更有利于问题的解决。

抽象函数中的其他题型
一、已知 f ?x ? 的定义域,求 f ?g ?x ?? 的定义域, 其解法是:若 f ?x ? 的定义域为 范围即为 f ?g ?x ?? 的定义域。 例 1. 设函数 f ?x ? 的定义域为 ?0,1? ,则 ,则 f ?g ?x ?? 中 a ? g ?x ? ? b ,从中解得 的取值

(1)函数 f x 的定义域为________。

? ?
2

(2)函数 f

?

x ? 2 的定义域为__________。

?

2 解:(1)由已知有 0 ? x ? 1 ,解得 ? 1 ? x ? 1

故 f x 的定义域为 ?? 1,1?
2

? ?

(2)由已知,得 0 ?

x ? 2 ? 1 ,解得 4 ? x ? 9

故f

?

x ? 2 的定义域为 ?4,9?

?

9

二、已知 f ?g ?x ?? 的定义域,求 f ?x ? 的定义域。 其解法是:若 f ?g ?x ?? 的定义域为 m ? x ? n ,则由 m ? x ? n 确定 g ?x ? 的范围即为 f ?x ? 的 定义域。 例 2. 已知函数 y ? f lg? x ?1? 的定义域为 0 ? x ? 9 ,则 y ? f ?x ? 的定义域为________。 解:由 0 ? x ? 9 ,得 1 ? x ? 1 ? 10 所以 0 ? lg? x ?1? ? 1,故填 ?0,1? 三、已知 f ?g ?x ?? 的定义域,求 f ?h? x ?? 的定义域。 其解法是:可先由 f ?g ?x ?? 定义域求得 f ?x ? 的定义域,再由 f ?x ? 的定义域求得 f ?h? x ?? 的 定义域。 例 3. 函数 y ? f ?x ? 1? 定义域是 ?? 2,3? ,则 y ? f ?2 x ?1? 的定义域是( )

?

?

A. ?0, ? B. ?? 1,4? C. ?? 5,5? D. ?? 3,7? 2 解:先求 f ?x ? 的定义域

? 5? ? ?

f ?x ? 1? 的定义域是 ?? 2,3?
?2? x ?3

1 ? x ? 1 ? 4 ,即

f ?x ? 的定义域是 ??1,4?
再求 f ?h? x ?? 的定义域

?1 ? 2x ?1 ? 4
10

? 5? f ?2x ? 1? 的定义域是 ?0, ? ,故应选 A ? 2?
四、运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域, 其解法是: 先求出各个函数的定义域, 再求交集。 例 4. 已知函数 f ?x ? 的定义域是 ?0,1? ,求 g ?x ? ? f ?x ? a ? ? f ?x ? a ?? ? 域。 解: 由已知,有

? 1 ? <a<0 ? 的定义 ? 2 ?

,即

函数的定义域由

确定

总之,因为抽象函数与函数的单调性、奇偶性等众多性质联系紧密,加上 本身的抽象性、多变性,所以问题类型众多,解题方法复杂多变.尽管如此,以 特殊模型代替抽象函数帮助解题或理解题意,是一种行之有效的教学方法,它 能解决中学数学中大多数抽象函数问题.这样做符合学生的年龄特征和认知水 平,学生不仅便于理解和接受,感到实在可靠,而且能使学生展开丰富的想象, 以解决另外的抽象函数问题.

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解抽象函数问题的常用策略
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