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数学理卷·2014届湖北省荆门市高二下学期期末考试


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荆门市 2012—2013 学年度期末质量检测考试

高二数学(理)参考答案及评分标准
审题:市教研室
一、选择题 二、填空题 1~10 ADBAB

BDCAC 11. 平行四边形不一定是菱形;或至少有一个平行四边形不是菱形 3 4 2 12. 07; 13. 240; 14. 或 (对一个给 3 分); 15. e . 4 3 三、解答题 16.(Ⅰ)由 2 x - a ≤ 5得a - 5 ≤ 2 x ≤ a + 5 ………………………………………3 分 ∴ a - 5 = -4且a + 5 = 6 , ……………………………………………5 分 ∴ a = 1 .····················································································· 6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) = 2 x - 1 ,令h( x) = f ( x) + f (- x) ,则存在实数 x 使

m ≥ h( x) 成立,

…………………………………………………7 分

1 ì ?-4 x, ( x ≤ - 2 ) ? 1 1 ? h( x) = 2 x - 1 + 2 x + 1 = í2, (- < x ≤ ) 2 2 ? 1 ? ? 4 x, ( x > 2 ) ?

……………………………9 分

∴ h(x) 的最小值为 2, …………………………………………………………11 分 故实数 m 的取值范围是 [ 2, + ? ) .··················································· 12 分 17. (I) (i)设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai (i = 0 ,, , ,则 1 2 3)

P ( A3 ) =

2 1 C3 C2 1 × 2 = …………………………………………………………3 分 2 C5 C3 5

(ii)设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B ,则 B = A2 U A3 , 又 P ( A2 ) =
2 2 1 1 1 C3 C2 C2C2 C2 1 × 2+ 2 × 2 = , 2 C5 C3 C5 C3 2

且 A2 、 3 互斥,所以 P ( B ) = P ( A2 ) + P ( A3 ) = A (II)由题意可知 X 的所有可能取值为 0 、、 . 1 2

1 1 7 + = . …………………6 分 2 5 10

P( X = 0) = (1 -

7 2 9 7 21 7 49 1 7 ) = ,P ( X = 1) = C2 (1 - ) = ,P ( X = 2) = ( ) 2 = . 10 100 10 10 52 10 100
0 1 2

所以 X 的分布列是 X

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P

9 100

21 50

49 100

9 21 49 7 + 1? + 2 ? = . ………………………12 分 100 50 100 5 18.(Ⅰ)证明:连结 PC,交 DE 与 N,连结 MN,
所以 X 的数学期望 E ( X ) = 0 ? 在△ PAC 中,M,N 分别为两腰 PA, PC 的中点, …………………………2 分 ∴MN∥AC,Q MN ? 面 MDE,又 AC ? 面 MDE,…………………………5 分

\ AC∥平面 MDE ………………………………………………………………6 分
(Ⅱ)解法一:设平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小为 q ,以 D 为空间坐标系的原 点,分别以 DA, DC , DP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,则

uuu r uuu r P(0,, 2a ), (a,, , (0, a, , PB = (a,, 2a ), = ( -a,, ……8 分 0 B a 0) C 2 0) a BC a 0) uu r uu r z 设平面 PAD 的单位法向量为 n1 ,则可设 n1 = (0, 0) 1, E P uu r 设面 PBC 的法向量 n2 = ( x,, ,应有 y 1) uu uuu r r ìn2 × PB = ( x,, × ( a,, 2a ) = 0, y 1) a ? N , M r r í uu uuu y 1) a 0) ?n2 × BC = ( x,, × (- a,, = 0 ? y ì D C ?ax + ay - 2a = 0, 即: í , A B ?-ax + ay = 0 ? x ì 2 , ?x = uu ? 2 ,所以 nr = ( 2 , 2 , ,…………………………………10 分 解得: í 1) 2 2 2 2 ?y = ? 2 ? 2 uu uu r r n1 × n2 1 ∴ cos q = uu uu = 2 = ,所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角为 60°. …12 分 r r n1 × n2 1 ? 2 2 E P
解法二:延长 CB、DA 相交于 G,连接 PG,过点 D 作 DH⊥PG , 垂足为 H,连结 HC ,………………………………7 分 ∵矩形 PDCE 中 PD⊥DC,而 AD⊥DC,PD∩AD=D, ∴CD⊥平面 PAD ∴CD⊥PG,又 CD∩DH=D,
A G H D B C

∴PG⊥平面 CDH,从而 PG⊥HC,

∴∠DHC 为平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的平面角,……………………9 分 在 Rt △PDG 中, DG = 2 AD = 2a, PD = 2a ,可以计算 DH = 在 Rt △CDH 中, tan ?DHC =

2 3a , 3

CD 2a = = 3 , 2 DH 3a 3

所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角为 60°.…………………………………………12 分

1 1 1 19.(Ⅰ) 容易求得: a3 = , 4 = a ,故可以猜测 a n = 7 10 3n - 2
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……………………2 分

下面用数学归纳法证明:显然当 n = 1,,, 时,结论成立. 2 3 4 假设当 n = k (k ≥ 4),(也可以k ≥ 1) ,结论成立,即 a k = 当 n = k + 1 时, a k +1 =

…………………3 分

1 3k - 2

(k - 1)a k 1 k -1 = 2 = ……………………5 分 k - ak 3k - 2k - 1 3(k + 1) - 2 1 成立. …………………………6 分 3n - 2

即当 n = k + 1 时,结论也成立,综合可得 a n = (Ⅱ) bn =

1 1 = ( 3n + 1 - 3n - 2) …………………………………8 分 3n + 1 + 3n - 2 3

1 1 \ b1 + b2 + … +bn = [( 4 - 1) + ( 7 - 4) + … +( 3n + 1 - 3n - 2)] = ( 3n + 1 - 1) 3 3 1 只需证明 ( 3n + 1 - 1) < 3
即证 3n + 1 < 3n + 2 3n + 1
2

n 3

即证 3n + 1 < 3n + 1 ……………………………10 分 即证 2 3n > 0 (显然成立)即证. ………………12 分

20. (Ⅰ)由 y = 4 x 的准线为 x = -1 ,\ AF2 = x A + 1 =

5 3 ,故记 A( , 6) ………3 分 2 2

x2 y 2 又 F1 (-1,0) ,所以 2a = AF1 + AF2 = + = 6 ,故椭圆为 + = 1 .………6 分 2 2 9 8
7 5
(Ⅱ)设过 F2 的直线为 x = my + 1( m ? 0) ,

M ( xM , M )、 ( xN, N )、 ( xG, G )、 ( xH, H ) y N y G y H y
-16m ì ì x = my + 1 ? y M + y H = 8m 2 + 9 ? ? 2 2 联立 í x 2 y 2 ,得 (8m + 9) y + 16my - 64 = 0 ,则 í =1 ? + ? y y = -64 ?9 8 ? M H 8m 2 + 9 ? ì x = my + 1 ì y N + yG = 4m 2 联立 í 2 ,得 y - 4my - 4 = 0 ,则 í …………………………9 分 ? y N yG = -4 ? y = 4x

y N + yG
由 M 、 、 、 、 、 ? 共线,所以 N G H P P

MH NG

×

PF2 P?F2
2

=

yM - yH y N - yG
2

×

yM

2 + yH 2

(16 m) + 4 ? 64(8m + 9)
代入韦达定理整理得,

MH NG

×

PF2 P?F2

=

8m + 9 16 m + 16
2

2

×

4m 16 m 8m + 9
2

= 3 …13 分

21. (Ⅰ) f ?( x ) = e - a ,由已知,得 f ?(ln 2) = 2 - a = 1 ∴a=1. …………………2 分

x

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此时 f ( x ) = e - x - 1 , f ?( x ) = e - 1 ,……………………………………………3 分 ∴当 0 < x < 1 时, f ?( x ) < 0 ;当 x > 1 时, f ?( x ) > 0 . …………………………4 分 ∴当 x=0 时,f(x)取得极小值,该极小值即为最小值,∴f(x)min=f(0)=0.……6 分 (Ⅱ)记 g ( x ) = e - x - 1 - mx , g ?( x ) = e - 1 - 2mx ,……………………………7 分 设 h( x ) = g ?( x ) = e x - 1 - 2mx, 则h?( x ) = e x - 2m, …………………………………8分 ①当 m ≤
x 2 x

x

x

1 2

时, h?( x ) ≥ 0 ( x ≥ 0) , h( x ) ≥ h(0) = 0 ,

\ g ?( x ) ≥ 0 ,\ g ( x) ≥ g (0) = 0 ,\ m ≤
②当 m >

1 2

时满足题意;……………………10 分

1 2

时, 令h?( x )=0 ,得 x = ln 2m > 0 ,

当 x ? [0, ln 2m] , h?( x ) < 0 , h( x ) 在此区间上是减函数, h( x ) ≤ h(0) = 0 , ∴ g ( x ) 在此区间上递减, \ g (ln 2m) ≤ g (0) = 0 不合题意. …………………13分

1 综合得 m 的取值范围为 ( -?, ] . …………………………………………………14 分 2

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