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2015高中数学 2.3变量间的相关关系总结 新人教A版必修3


2015 高中数学 2.3 变量间的相关关系总结 新人教 A 版必修 3
线性相关关系判断 [例 1] 下表是某地的年降雨量与年平均气温,判断两者是相关关系吗?求回归直线方程有意义吗? 年平均气温(℃) 年降雨量(mm) 12.51 748 12.74 542 12.74 507 13.69 813 13.33 574 12.84 701 13.05 432


[自主解答] 以 x 轴为年平均气温,y 轴为年降雨量,可得相应的散点图如图所示.

因为图中各点并不在一条直线附近,所以两者不具有相关关系,求回归直线也是没有意义的. ————— —————————————

1.两个变量 x 和 y 相关关系的确定方法 (1)散点图法:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观地判断; (2)表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断; (3)经验法:借助积累的经验进行分析判断. 2.判断两个变量 x 和 y 间是否具有线性相关关系,常用的简便方法就是绘制散点图,如果发现点的 分布从整体上看大致在一条线附近,那么 这两个变量就是线性相关的,注意不要受个别点的位置的影响. ——————————————————————————————————————

1.以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格 y(单位:万元)和房屋面积 x(单位:m )的数据: 房屋面积 x(m ) 销售价格 y(万元)
2

2

115 24.8

110 21.6

80 19.4

135 29.2

105 22

(1)画出数据对应的散点图; (2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系?如果有相关关系,是正相关还是负相 关? 解:(1)数据对应的散点图如图所示.

1

(2)通过以上数据对应的散点图可以判断,新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有相关关系,且是 正相关. 求回归直线方程 [例 2] 已知 10 只狗的血球体积及红 血球数的测量值如下表:

x( 血 球 体
积)(mm )
3

45

42 6.3 0

46

48

42

35

58

40

39

50

y( 红 血 球
数)(百万)

6.53

9.52

7.50

6.99

5.90

9.49

6.20

6.55

8.72

若由资料知,y 对 x 呈线性相关关系, (1)画出上表的散点图; (2)求出回归 直线方程并画出图形. [自主解答] (1)散点图如图所示:

(2)由题意可知:

x = (45+42+46+48+42+35+58+40+39+50)=44.50, y = (6.53+6.30+9.52+7.50+6.99+5.90+9.49+6.20+6.55+8.72)=7.37.
^ ^ ^ 设回归直线方程为y=bx+a, 1 10

1 10

?xiyi-nx y
^ 则b=
i=1

n





^ ^- ≈0.175,a= y -b x ≈-0.427.
n

?xi2-n x 2
i=1

^ 所以所求的回归直线方程为y=0.175x-0.427, 其图形如图所示.

2

—————

—————————————

1.求线性回归方程的步骤 ?1?列表xi,yi,xiyi. - - 2 2 ?2?计算 x , y , ?xi, ?yi, ?xiyi.
i=1 i=1 i=1 n n n

^ ^ ?3?代入公式计算b,a的值. ^ ^ ^ (4)写出回归方程y=a+bx. 2.求回归直线方程的适用条件 两个变量具有线性相关性,若题目没有说明相关性,则必须对两个变量进行相关性判断. ——————————————————————————————————————

2.随着人们经济收入的不断增长,个人购买家庭轿车已不再是一种时尚.车的使用费用,尤其是随 着使用年限的增多,所支出的费用到底会增长多少,一直是购车一族非常关心的问题.某汽车销售 公司作 了一次抽样调查,并统计得出某款车的使用年限 x 与所支出的总费用 y(万元)有如下的数据资料: 使用年限 x 总费用 y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

若由资料,知 y 对 x 呈线性相关关系.试求: ^ ^ ^ ^ ^ 线性回归方程y=bx+a的回归系数a、b. 解:列表:

i xi yi xiyi x2 i

1 2 2.2 4.4 4
5

2 3 3.8 11.4 9

3 4 5.5 22.0 16
5

4 5 6.5 32.5 25

5 6 7.0 42.0 36

x =4, y =5, ?x2 i=90, ?xiyi=112.3
i=1 i=1

^ 112.3-5×4×5 12.3 于是b= = =1.23; 2 90-5×4 10 ^

a= y -b x =5-1.23×4=0.08.
利用回归直线方程对总体进行估计 [例 3] 下表是某地搜集到的新房屋的销售价格 y(单位:万元)和房屋的面积 x(单位:m )的数据:
2

3

x y

115 44.8

110 41.6

80 38.4

135 49.2

105 42

(1)画出散点图; (2)求回归方程; (3)根据(2)的结果估计当房屋面积为 150 m 时的销售价格. [自主解答] (1)散点图如图所示. (2)由散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线的附近, 方程.由表中的数据,用计算器计算得 x =109, y =43.2,?x
i=1
5 2

可求回归
2

i



60

975, ?xiyi=23 852.
i=1

5

?xiyi-5xy
^ 则b=
i=1 i-5 x ?x2 i=1
5 2

5

--



23 852-5×109×43.2 308 ^ ^ = ≈0.196, a = y - b x = 43.2 -0.196×109= 2 60 975-5×109 1 570

^ 21.836.故所求回归方程为y=0.196x+21.836. (3)根 据上面求得的回归方程,当房屋面积为 150 m 时,销售价格的估计值为 0.196×150+21.836= 51.236(万元). ————— —————————————
2

用线性回归方程估计总体的一般步骤为: ?1?作出散点图,判断散点是否在一条直线附近; ^ ^ (2) 如果散点在一条直线附近,用公式a、b并写出线性回归方程; (3)根据线性回归方程对总体进行估计. ——————————————————————————————— ———————

3.一台机器由于使用时间较长,生产的零件有一些会有缺损,按不同转速生产出来的零件有缺损的 统计数据如下表所示: 转速 x(转/秒) 每小时生产有缺损零件数 y(个) 16 11 14 9 12 8 8 5

4

(1)作出散点图; (2)如果 y 与 x 线性相关,求出回归直线方程; (3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺损的零件最多为 10 个,那 么,机器的运转速度应控制在 什么范围内? 解:(1)作散点图如图所示: (2)由散点图可知 y 与 x 线性相 故可设回归直线方程为 ^ 关.

y=bx+a.
依题意,用计算器可算得:

x =12.5, y =8.25, ?x2 i=660,
i=1

4

?xiyi=438.
i=1

4

438-4×12.5×8.25 ∴b= ≈0.73, 2 660-4×12.5

a= y -b x =8.25-0.73×12.5=-0.875.
^ ∴所求回归直线方程为y=0.73x-0.875. ^ (3)令y=10,得 0.73x-0.875=10,解得 x≈15. 即机器的运转速度应控制在 15 转/秒内.

下列各散点图,其中两个变量具有相关关系的是________(填序号).

[错解] 相关关系对应的图形都是离散图,故①不正确;②图中的点分布在一条直线附近,具有相关 关系;③④图中的点不在一条直线附近,不能反应两个变量的变化规律,不是相关关系. [答案] ② [错因] 错解的原因是:误认为只有点分布在一条直线附近才具有相关关系,混淆了“相关关系”和 “线性相关”的概念,实质上,线性相关关系是相关关系的一种特殊情况,散点图只要能反映两个变量的 变化规律,就具有相关关系. [正解] 相关关系对应的图形是离散图,故①不是相关关系;②③都能反映两个变量的变化规律,它 们都是相关关系;④图中的点散乱地分布在坐标平面内,不能反映两个变量的变化规律,不是相关关系. [答案] ②③
5

1.两个变量之间的相关关系是一种( A.确定性关系 C.非确定性关系 答案:C

) B.线性关系 D.非线性关系

^ 2.设有一个回归方程为y=-1.5x+2,则变量 x 增加一个单位时( A.y 平均增加 1.5 个单位 C.y 平均减少 1.5 个单位 解析:∵两个变量线性负相关, ∴变量 x 增加一个单位,y 平均减少 1.5 个单位. 答案:C B.y 平均增加 2 个单位 D.y 平均减少 2 个单位

)

3.(2012·新课标全国高考)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,?,xn 1 不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,?,n)都在直线 y= x+1 上,则这组样本数据的 2 样本相关系数为( A.-1 C. 1 2 ) B.0 D.1

解析:因为所有的点都在直线上,所以它就是确定的函数关系,所以相关系数为 1. 答案:D 4.有关线性回归的说法,正确的是________. ①相关关系的两个变量不是因果关系; ②散点图能直观地反映数据的相关程度; ③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系; ④任一组数据都有回归方程. 解析:只有线性相关的数据才有回归直线.故①②③均正确,④不正确. 答案:①②③ 5.(2011·辽宁高考)调查 了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元), ^ 调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系, 并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程: y=0.254x +0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加________万元. ^ ^ 解析:以 x+1 代替 x,得y=0.254(x+1)+0.321,与y=0.254x+0.321 相减可得,年饮食支 出平均 增加 0.254 万元.

6

答案:0.254 6.在某种产品表面进行腐蚀线实验,得到腐蚀深度 y 与腐蚀时间 t 之间对应的一组数据: 时间 t(s) 深度 y(μ m) (1)画出散点图; (2)试求腐蚀深度 y 对时间 t 的回归直线方程. 解:(1) 5 6 10 10 15 10 20 13 30 16 40 17 50 19 60 23 70 25 90 29 120 46

(2)经计算可得:

t =46.36, y =19.45, ?t2 i=36 750, ?tiyi=13 910.
i=1 i=1

11

11

?tiyi-11×ty
^
i=1

11

--

b=
i-11× t ?t2 i=1
11 2

13 910-11×46.36×19.45 = ≈0.3, 2 36 750-11×46.36

^

a= y -b t ≈19.45-0.3×46.36=5.542.
^ 故所求的回归直线方程为y=0.3t+5.542.

7


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