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高中数学 第一章 典型例题函数y=Asin(ωx+φ)的图象分析素材 北师大版必修4


函数图象例题分析
[例 1]由图 4—14 所示函数图象,求 y=Asin(ω x+φ ) (|φ |<π )的表达式. 选题意图:考查数形结合的思想方法. 解:由图象可知 A=2

7? ? 2? ? (? ) ? ? , 即 ?? 8 8 ? ?? ? 2 T?
又(-

图 4—14

?

/>8

,0)为五点作图的第一个点

因此 2×(-

?
8

)+φ =0,∴φ =

?
4

因此所求函数表达式为 y=2sin(2x+

?
4

)

说明:在求 y=Asin(ω x+φ )的过程中,A 由函数的最值确定,ω 由函数的周期确 定,φ 可通过图象的平移或“五点法”作图的过程确定.

[例 2]函数 y=Asin(ω x+φ )?(|φ |?<π )的图象如图 4—15,求函数的表 达式. 选题意图:考查数形结合的思想方法. 解:由函数图象可知 A=1 函数的周期为 T=2[3-(-1) ]=8,即 ∴ω =

2?

?

=8

?
4
图 4—15

又(-1,1)为“五点法”作图的第二个点 即

?
4

(-1)+φ =

?
2

,∴φ =

3? 4
x+

∴所求函数表达式为 y=sin(

?
4

3? ) 4

说明:如果利用点(-1,1), (1,0) , (3,-1)在函数 y=Asin(ω x+φ )的图象上, 得到

? A sin(?? ? ? ) ? 1 ? ? A sin(? ? ? ) ? 0 ,则很难确定函数关系式中的 A、ω 、φ . ? A sin(3? ? ? ) ? ?1 ?

[例 3]如图 4—16,已知函数 y=2sin(ω x+φ )(|φ |< A.ω =

?
2

) 的图象,那么

10 ? ,φ = 11 6

B.ω =

10 ? ,φ =- 11 6

C.ω =2,φ =

?
6

D.ω =2,φ =-

?
6

选题意图:考查数形结合的思想方法. 解:由(0,1)点在函数的图象上,知 2sinφ =1,又|φ |< ∴φ =

?
2

?

6 11? 又( ,0)是“五点法”作图的第五个点 12 11? ? 因此 ω · ? =2π ,解得 ω =2. 12 6
答案:C 说明:在本题求 ω 的过程中,若利用( 则求出 ω =2 或 ω = 一定要慎重使用.

11? 11? ? ,0)在图象上,即 sin( ω + )=0, 12 12 6

10 ,很难判断我们所要选择的答案,因此图象上点的坐标适合关系式 11

[例 4]画出函数 y ? 2 sin( x ? 换得到此函数的图像. 解:函数 y ? 2 sin( x ? 列表

?
3

) , x ? R 的简图,并说明由正弦曲线经过怎样的变

?
3

) 的周期 T= 2? ,先画出它在长度为 2? 的闭区间上的简图.

X

x?

?
3

? 3
0

? 2
2

5? 6

4? 3

?
0

11? 6 3? 2
-2

7? 3
2?

?? ? 2 sin? x ? ? 3? ?

0

0

描点画图:描点,连接,根据这五个关键点画出函数 2 sin? x ? 简图(图 4-37)

? ?

??

?? 7? ? ? . x?? , ?的 3? ?3 3 ?

利用函数的周期性,可以把得到的在闭区间 ?

?? 7? ? , ? 上的简图向左,右分别扩展,从 ?3 3 ?

而得到函数: y ? 2 sin ? x ?

? ?

??

? . x ?R 的简图. 3?

函数 y ? 2 sin ? x ?

? ?

??

?, x ?R 的图像可以由正弦曲线经过如下的变换得到: 3?
? ?? ? 个单位, 得到 y ? sin ? x ? ? 的 3 3? ?

(1) 先把 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动

图像;再把 y ? sin ? x ?

? ?

??

? 的图像上的所有的点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 2 倍, 3?

得到 y ? 2 sin? x ?

? ?

?? ? 的图像. 3?

(2)先把函数 y ? sin x 的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) , 得到函数 y ? 2 sin x 的图像;再把 y ? 2 sin x 的图像上所有的点向右平行移动 得到 y ? 2 sin ? x ?

? 个单位, 3

? ?

??

? 的图像. 3? ? ?

评析:比较函数 y ? 2 sin ? x ?

??

? 的图像和 y ? 2 sin x 图像,容易发现,对于 y ? sin x 3? ? ?

的图像上每一点 ?xo , yo ? ,在 y ? 2 sin ? x ?

??

? ? ? 2 yo ? 和 ? 的图像上总存在唯一一点 ? xo ? , 3? 3 ? ?

它对应,因此 y ? 2 sin ? x ?

? ?

??

? , x ?R 的图像.可以看作是先把正弦曲线上所有的点向右 3?

平行移动

? 个单位长度,再把所得各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)而得到; 3

也可以看作是先把正弦曲线上所有的点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 (横坐标不变) 再把所得

各点向右平行移动

? 个单位长度而得到.变换的次序可以改变. 3

一般有,函数 y ? A sin ?x ? ? ? . x ?R, ( A ? 0, A ? 1, ? ? 0) 的图像,可以看作是用 下面的两种方法得到的: (1) 先把正弦曲线上所有的点向左 (当 ? ? 0 时) 时或向右 (当 ? ? 0 时) 平行移动 ? 个单位长度,再把所得各点的纵坐标伸长(当 A>1 时)或缩短(当 0 ? A ? 1 )到原来的 A 倍(横坐标不变) (2)先把正弦曲线上所有的点的纵坐标伸长(当 A>1 时)或缩短(当 0 ? A ? 1)到原 来的 A 倍(横坐标不变) ,再把所得各点向左( (当 ? ? 0 )时)或向右(当 ? ? 0 时)平行 移动 ? 个单位长度.

[例 5]画出函数 y ? sin ? 2 x ? 得到该函数的图像. 解:函数 y ? sin? 2 x ? 列表:

? ?

??

?, x ? R 的简图,并说明由正弦曲线经过怎样的变换 6?

? ?

??

? 的周期 T ? ? ,先画出它在长度为 ? 的闭区间上的简图. 6?

X

?

? 12

? 6 ? 2
1

5? 12

2? 3
3? 2
-1

11? 12
2?

2x ?

? 6

0

?
0

?? ? sin ? 2 x ? ? 6? ?

0

0

描点画图: 描点、 连接, 根据五个关键点画出函数 y ? sin? 2 x ? 简图,如图 4-38

? ?

??

?? ? ? 11 的 ?, x ? ?? , 6? ? 12 12 ? ?
所示.

利用函数的周期性,把它在 ??

?? ? ? 11 , ? 上的简图向左、右分别扩展,就得到函数 ? 12 12 ?

?? ? y ? sin ? 2 x ? ?, x ? R 的简图. 6? ?
函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?, x ? R 的图像可以由正弦曲线经过下面的两种方式的变换得到: 6?

(1) 先把 y ? sin x 图像上所有的点向左平行移动

? ?? ? 个单位长度, 得到 y ? sin ? x ? ? 6 6? ?

的图像; 再把 y ? sin ? x ?

? ?

??

1 (纵坐标不变) , ? 的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的 倍 2 6?

得到 y ? sin? 2 x ?

? ?

??

? 的图像. 6?

1 倍(纵坐标不变) ,得到 2 ? y ? sin 2 x 的图像;再把 y ? sin 2 x 的图像上所有的点向左平行移动 个单位长度,得到 12
(2)先把 y ? sin x 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的

?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 的图像. 6? ?
评析: 比较函数 y ? sin? 2 x ?

? ?

??

不难看出, 对于 y ? sin x ? 的图像与 y ? sin x 的图像, 6?

的图像上每一点 ?xo , yo ? ,在 y ? sin? 2 x ?

? ?

??

? ?x ? ? 的图像上总存在唯一一点 ? o ? , y o ? 和 6? ? 2 12 ?

它对应,因此 y ? sin? 2 x ?

? ?

??

? 的图像,可以看作是先把正弦曲线上所有的点向左平行移动 6?

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的;也可 2 6 1 以看作是先把正弦曲线上所有的点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)再把所得各点 2

向左平行移动

? 个单位而得到的. (变换次序可以改变) . 12
? ?

注意:在由 y ? sin 2 x 的图像变换成 y ? sin? 2 x ?

??

? 的图像时,因为 6?

2x ?

?

? ? ? ? ? ? ? 2? x ? ? 中的 x ? 与 2x 中的 x 相对应,所以平移的是 个单位,而不是 12 12 6 6 12 ? ?

个单位. (这里是学生经常出现错误的地方,必须设法避免) . 一般地,函数 y ? sin ?? x ? ? ?, ( x ?R ,? ? 0,? ? 1,? ? 0) 的图像,可以看作是用下面 两种方法得到的: (1)先把正弦曲线上所有的点向左(当 ? ? 0 时)或向右(当 ? ? 0 时)平行移动 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短(当 ? ? 1 时)或伸长(当 o ? ? ? 1 时)到原来 的

1

?

倍(纵坐标不变) . (2)先把正弦曲线上所有的点的横坐标缩短(当 ? ? 1 时)或伸长(当 0 ? ? ? 1 时)

到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,再把所得各点向左(当 ? ? 1 时)或向右(当 ? ? 1 时)平行

移动

? 个单位长度. ?

说明:讲例 2 和例 3 两题的目的有二:一是把本节课的知识引伸,二是为下节课作好准 备,这样处理教学内容虽然本节课的难点增加了,难度加大了,但下一节课的难点分散了, 难度降低了,实践证明这样做可以收到较好的教学效果,便于学生理解和掌握.

[例 6]将余弦曲线 y ? cos x 上每一点的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的 将所得图像向右平移

? 个单位,所得函数图像的一个解析式为___________________. 8 1 解一:先把 y ? cos x 的图像上所有的点的纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变) ,得 5 1 1 ? 到 y ? cos x 的图像;再把 y ? cos x 的图像上所有的点向右平移 个单位,得到 5 5 8
1 ?? 1 ?? ? ? y ? cos? x ? ? 的图像.所求的解析式为 y ? cos? x ? ? . 5 8? 5 8? ? ?
解二: 先把 y ? cos x 的图像上的所有的点向右平移

1 倍,再 5

? ?? ? 个单位, 得到 y ? cos? x ? ? 的 8 8? ?

图像;再把 y ? cos? x ?

? ?

??

1 , ? 的图像上所有的点的纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变) 5 8?

得到 y ?

1 ?? 1 ?? ? ? cos? x ? ? 的图像,因此所求的解析式为 y ? cos? x ? ? . 5 8? 5 8? ? ?

[例 7] 把函数 y ? f ?x ? 的图像上的每一点的横坐标变为原来的 2 倍, 再将图像向左平 移

? 1 个单位,所得到的曲线的解析式为 y ? sin x ,求 f ?x ? 的一个解析式. 2 2 1 分析:这个问题实际上是对 y ? sin x 的图像实施逆向变换得到 y ? f ?x ? 的图像. 2 1 ? 解:先把曲线 y ? sin x 上所有的点向右 平移 个单位,得到曲线 . 2 2
1 ? ?? 1 sin? x ? ? ? ? cos x ; 2 ? 2? 2
再把曲线 y ? ?

y?

1 1 cos x 上所有的点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)以,得到 2 2 1 1 曲线 y ? ? cos x .因此,所求解析式为 y ? ? cos 2 x . 2 2
[例 8]将正弦函数 y ? sin ?? x ? 的图像向左平移

? 个单位,再将所得图像上的点的横 4

坐标伸长到原来的 3 倍,纵坐标不变,所得图像的解析式为_______________________. 解: y ? sin ?? x ? ? ? sin x. 先把 y ? ? sin x 的图像向左平移

? ?? ? 个单位,得到 y ? ? sin ? x ? ? 的图像,再把 4 4? ?

?? ? ,得到 y ? ? sin ? x ? ? 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 4? ?

?? ?? ?1 ?1 y ? ? sin? x ? ? 的图像.因而所求的解析式为 y ? ? sin ? x ? ? . 4? 4? ?3 ?3

[例 9]为了由函数 y ? sin? 2 x ?

? ?

??

?? ? ? 的图像得到函数 y ? sin? 2 x ? ? 的图像,只要 4? 4? ?

将函数 y ? sin? 2 x ?

? ?

??

? 的图像 ( 4?

)

? 个单位 4 ? (C)向左平移 个单位 2
(A)向左平移 解一:∵ y ? sin ? 2 x ?

? 个单位 4 ? (D)向右平移 个单位. 2
(B)向右平移

? ?

??

?? ? ? ? sin 2? x ? ? 4? 8? ?

?? ?? ? ? y ? sin ? 2 x ? ? ? sin 2? x ? ? 4? 8? ? ?
将 y ? sin 2? x ?

? ?

??

? ? 的图像向左平移 个单位,得到 y ? sin 2 x 的图像;再将 8 8?

y ? sin 2 x 的图像向左平移

? ?? ? 个单位,得到 y ? sin 2? x ? ? 的图像.于是,把 8 8? ?

? ? ? ?? ?? ? ? y ? sin? 2 x ? ? 的图像向左平移 ? ? 个单位,就得到 y ? sin? 2 x ? ? 的图像.故 8 8 4 4? 4? ? ?
选(A) 解二:令 2 x ? 令 2x ? 点?

?

?

4

?0 ?0

得 x1 ?

? 8

4

得 x2 ? ?

?
8

?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ,0 ? 和点 ? ? ,0 ? 是函数 y ? sin? 2 x ? ? 的图像上和函数 y ? sin? 2 x ? ? 的 4? 4? ?8 ? ? 8 ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ,0 ? ? 点 ? ? ,0 ? ,所以向左平移 ? ? ? 个单 8 8 4 ?8 ? ? 8 ?

图像上的对应点,平移方向从点 ? 位.

[例 10]说明函数 y ? sin ? 像.

?? ?1 x ? ? 的图像经过怎样的变换就得到函数 y ? sin x 的图 9? ?3

分析:因为由 y ? sin x 的图像变换到函数 y ? sin ?

?? ?1 x ? ? 的图像有如下两种方法. 9? ?3

(1) 把函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平移 到原来的 3 倍(纵坐标不变) ,就得到函数 y ? sin ?

? 个单位, 再把所得各点横坐标伸长 9

?? ?1 x ? ? 的图像. 9? ?3

(2)把函数 y ? sin x 的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) ,

再把所得各点向右平移

? ?? ?1 个单位,就得到函数 y ? sin ? x ? ? 的图像. 3 9? ?3

分别作以上两种方法的逆向变换,就可以得到由函数 y ? sin ? 函数 y ? sin x 的图像的方法. 解: (1)把函数 y ? sin ?

?? ?1 x ? ? 的图像变换成 9? ?3

1 ?? ?1 x ? ? 的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的 倍(纵 3 9? ?3

坐标不变) ,再把所得各点向左平移 (2)把函数 y ? sin ?

? 个单位,就得到 y ? sin x 的图像. 9

? ?? ?1 x ? ? 的图像上所有的点向左平移 个单位,再把所得各点的 3 9? ?3

横坐标缩短到原来的

1 倍(纵坐标不变) ,就得到 y ? sin x 的图像. 3

评析:用作逆向变换的方法,可以得到由函数

y ? sin ?? x ? ? ?, ( x ?R ,? ? 0,? ? 1,? ? 0) 的图像及函数 y ? A sin?x ? ? ?, ( x ?R , A ? 0, A ? 1,? ? 0) 的图像变换到正弦曲线 y ? sin x, x ? R 的方
法.这可让学生叙述. 说明:以上例题的讲解,都要注意以下几点:①让学生体会得三个参数 A,?,? 中有 两个变化就引起图像进行两种变换, 进一步强化每个参数对图像变化的影响; ②讲例题时仍 然要坚持“数形结合”的思想, 强化学生的“数”与“形”的相互联系相互制约的意识; ③ 让学生掌握凡是用“图像变换法”画出的图像和解出的问题是否正确, 都可以用“五点法” 的方法进行检验.


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