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滨海县八滩中学2013届高三下学期周练数学试题(1)


滨海县八滩中学

2013 届春学期高三数学周练习 1
班级_____________姓名___________________ 一.填空题 1.已知集合 A ? ??1,1, 2, 4? , B ? ??1, 0, 2? ,则 A ? B ? 2.设复数 z 满足 z (2 ? i) ? 1 ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 z ? 3.一组样本数据 8,12,10,11 ,9 的方差为 . 。 。
开始 S←0 x←2 x←x-3

4.有 5 个数成公差不为零的等差数列,这 5 个数的和为 15,若从这 5 个数中随机抽取一个数,则它小于 3 的概率是 。 5.若 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ? 1(? ? 0, | ? |? ? ) 对任意实数 t 都有

? ? ? f (t ? ) ? f (?t ? ) ,记 g ( x) ? A cos(?x ? ? ) ? 1 ,则 g ( ) ? _____。 3 3 3
6.若“ x 2 ? 1 ”是“ x ? a ”的必要不充分条件,则 a 的最大值 为 。

S←S+x

S≤-20

N

Y
输出 x

7.右图是一个算法的流程图,最后输出的 x ? ___________。 8.定义在 (0,??) 上的函数 f (x) 的导函数 f ' ( x) ? 0 恒成立,且

结束

f (4) ? 1 ,若 f ( x ? y)≤1 ,则 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y 的最小值是________。
9. 已知点 O 在 ?ABC 内部, OA ? 2OB ? 3OC ? 0 , ?OB 与 ?OBC 的面积之比为____。 且 则 A 10.设函数 f ( x) ? x ? sin x ,若 0 ? ? ?
3

?
2

时, f (m cos? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,则实

数 m 的取值范围是______________________。 11. 设面积为 S 的平面四边形的第 i 条边的边长记为 ai (i ? 1,2,3,4) , 是该四边形内任意一 P 点,点 P 到第 i 条边的距离记为 hi ,若
4 a1 a 2 a3 a 4 2S ? ? ? ? k ,则 ? (ihi ) ? 。类比上 k 1 2 3 4 i ?1

述结论,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 S i (i ? 1,2,3,4) ,Q 是该三棱锥内任意一 点,点 Q 到第 i 个面的距离记为 H i ,则相应的正确命题是___________________________。 12. 已知圆 M 过两点 C (1,?1), D(?1,1) 且圆心 M 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上, P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 设 上的动点,PA, PB 是圆 M 的两条切线,A, B 是切点, 则四边形 PAMB 面积的最小值为____。

1

13.若关于 x 的不等式 a ?

3 2 x ? 3x ? 4 ? b 的解集恰好是 [a, b] ,则 a ? b ? __________。 4
n

14.若数列 {a n } 满足 a n ?1 ? (?1) ? a n ? 2n ? 1 ,则 {a n } 的前 40 项和为______________。 二.解答题 15.已知向量 a ? (4,5 cos? ), b ? (3,?4 tan? ), ? ? (0, (1) | a ? b | ; (2) cos( ? ?

?
2

) , a ? b 。求:

?
4

) 的值。

16.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 F 为 A1D 的中点。 (1) 求证:A1B∥平面 AFC;(2) 求证:平面 A1B1CD ? 平面 AFC。 B1 A1 F C1 D1

A B C

D

17.如图所示,一条直角走廊宽为 a 米。现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形,它的 宽为 b (0 ? b ? a) 米。 (1) 若平板车卡在直角走廊内,且∠ CAB ? ? ,试求平板面的长 l 。 (2) 若平板车要想顺利通过直角走廊,其长度不能超过多少米? B

a

a
b A C

2

18. A 是单位圆 x ? y ? 1 上任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线,D 是直线 l 与 x 设
2 2

轴的交点,点 M 在直线 l 上,且满足 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且 m ? 1) 当点 A 在圆上运动 时,记点 M 的轨迹为曲线 C 。 (1)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标。 (2)过原点斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P, Q 两点,其中 P 在第一象限,且它在 y 轴上的射 影为点 N , 直线 QN 交曲线 C 于另一点 H , 是否存在 m ,使得对任意的 k ? 0 , 都有 PQ ⊥

PH ?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由。

? f ( x) ? 19.设 m 为实数,函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? m) x ? m , h( x) ? ? x ?0 ?

x?0 x?0



(1) 若 f (1) ≥4,求 m 的取值范围; (2) 当 m>0 时,求证 h(x) 在 [m,??) 上是单调递增函数; (3) 若 h(x) 对于一切 x ? ?1,2? ,不等式 h(x) ≥1 恒成立,求实数 m 的取值范围。

3

20.设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1=1,a2=6,a3=11,且

(5n ? 8) S n?1 ? (5n ? 2) S n ? An ? B , n ? 1,2,3,? ,其中 A,B 为常数。
(1)求 A 与 B 的值; (2)证明数列 {a n } 为等差数列; (3)证明不等式 5amn ? am an ? 1 对任何正整数 m、n 都成立。

八滩中学 2013 届春学期高三数学周练习 1

参考答案
1. {?1,2} ; 8. 16;

2 ; 5. ? 1; 6. ? 1; 7. ? 10 ; 5 4 S S S S 3V 9. : 1 ; 10. ? 1 ; 11. 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? K , ? (i ? H i ) ? 若 则 ; 3 m K 1 2 3 4 i ?1
2.1; 3.2; 4. 13.4; 14.820。

12. 2 5 ;

15.(1) 5 2 ;(2) 16.略

2 10

17.解如图,设矩形为 ABEF 工,直线 EF 分别交 直线 AC, BC 于 M , N ,过点 D 作 DP ? AC 于 P 过点 D 作 DQ ? BC 于 Q ,则

a a , DN ? sin? cos? b MF ? , EN ? b tan? tan? DM ?
所以 l ? DM ? DN ? MF ? EN ? (2)设 t ? sin ? ? cos? ?

a a b a(sin ? ? cos? ) ? b ? ? b tan? ? ? sin ? cos? tan? sin ? cos?

2 sin(? ?

?
4

) ? (1, 2 ] ,则

2at ? 2b 2a 2a ? 2b ? ? 2 t ?1 t 2 ?1 t ?1 2a 2a ? 2b 因为函数 y ? 和y? 2 在区间 (1, 2 ] 上均为减函数 t ?1 t ?1 l?

4

所以 l ? 所以 l min

2at ? 2b 2a 2a ? 2b 在 (1, 2 ] 上单调递减 ? ? 2 t ?1 t 2 ?1 t ?1 2a ? ? 2a ? 2b ? 2 2a ? 2b 2 ?1

故平板车的长度不能超过 2 2a ? 2b 米 18. (1)如图 1,设 M ( x, y ) , A( x0 , y0 ) ,则由 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) , 可得 x ? x0 , | y |? m | y0 | ,所以 x0 ? x , | y0 |? 因为 A 点在单位圆上运动,所以 x0 2 ? y0 2 ? 1 . 将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 x2 ?
1 | y |. m

① ②

y2 ? 1 (m ? 0, 且m ? 1) . m2

因为 m? (0, 1) ? (1, ? ?) ,所以,当 0 ? m ? 1 时,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为 (? 1 ? m2 , 0) , ( 1 ? m 2 , 0) ; 当 m ? 1 时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为 (0, ? m 2 ? 1) , (0,
m2 ? 1) .

(2)解法 1:如图 2、3, ?x1 ? (0, 1) ,设 P( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 Q(? x1 , ? y1 ) , N (0, y1 ) ,
? m 2 x12 ? y12 ? m 2 , ? 因为 P , H 两点在椭圆 C 上,所以 ? 2 2 两式相减可得 2 2 ? m x2 ? y2 ? m , ?

m2 ( x12 ? x22 ) ? ( y12 ? y22 ) ? 0 .



依题意,由点 P 在第一象限可知,点 H 也在第一象限,且 P , H 不重合, 故 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 0 . 于是由③式可得
( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?m2 . ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )


2y1 y1 ? y2 ? . x1 x1 ? x2

又 Q , N , H 三点共线,所以 kQN ? kQH ,即 于是由④式可得 kPQ ? kPH ?

y1 y1 ? y2 1 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) m2 . ? ? ? ?? x1 x1 ? x2 2 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) 2

而 PQ ? PH 等价于 kPQ ? kPH ? ?1 ,即 ?

m2 ? ?1 ,又 m ? 0 ,得 m ? 2 , 2 y2 ? 1 上,对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH . 2

故存在 m ? 2 ,使得在其对应的椭圆 x2 ? y A

y H
M
N

y H
N

P
O

P
O

O

D

x
Q

x
Q

x

图1

图 2 (0 ? 5 ? 1) m

图 3 (m ? 1)

解法 2:如图 2、3, ?k ? 0 ,设 P( x1 , kx1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 Q(? x1 , ? kx1 ) , N (0, kx1 ) , 直线 QN 的方程为 y ? 2kx ? kx1 ,将其代入椭圆 C 的方程并整理可得
(m2 ? 4k 2 ) x2 ? 4k 2 x1 x ? k 2 x12 ? m2 ? 0 .

依题意可知此方程的两根为 ? x1 , x2 ,于是由韦达定理可得
? x1 ? x2 ? ? 4k 2 x1 m2 x ,即 x2 ? 2 1 2 . 2 2 m ? 4k m ? 4k

因为点 H 在直线 QN 上,所以 y2 ? kx1 ? 2kx2 ?

2km2 x1 . m 2 ? 4k 2

??? ? ???? 4k 2 x 2km2 x1 于是 PQ ? (?2 x1 , ? 2kx1 ) , PH ? ( x2 ? x1 , y2 ? kx1 ) ? (? 2 1 2 , 2 ). m ? 4k m ? 4k 2 ??? ???? 4(2 ? m2 )k 2 x12 ? 而 PQ ? PH 等价于 PQ ? PH ? ? 0, m 2 ? 4k 2

即 2 ? m2 ? 0 ,又 m ? 0 ,得 m ? 2 , 故存在 m ? 2 ,使得在其对应的椭圆 x2 ? 19.解(1) f (1) ? 2 ? (1 ? m) 1 ? m ? 4 当 m ? 1 时, (1 ? m)( m ? 1) ? 2 ,无解;?????????????2 分 当 m ? 1 时, (1 ? m)(1 ? m) ? 2 ,解得 m ? 1 ? 2 。?????????????3 分 所以 m ? 1 ? 2 。????????????4 分 (2)由于 m ? 0, x ? m 。所以 h( x) ? 3x ?
y2 ? 1 上,对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH . 2

m2 ? 2m 。 x

3x1 x 2 ? m 2 ) 任取 m ? x1 ? x2 , h( x 2 ) ? h( x1 ) ? ( x 2 ? x1 )( ???????5 分 x1 x 2

x2 ? x1 ? 0,3x1 x2 ? m 2 ? 3m 2 ? m 2 ? 0, x1 x2 ? 0 (7 分)
所以 h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0 ????????????8 分

即: h(x ) 在 ?m,??? 为单调递增函数。 (3) 、① m ? 1 时, x ? ?1, 2? , f ( x) ? 2 x ? ( x ? m)( x ? m) ? 3 x ? 2mx ? m , ?
2 2 2

h( x ) ?

f ( x) ? 1 恒成立 ? f ( x) ? x 恒成立 , x
6

即: g ( x) ? 3x ? (2m ? 1) x ? m ? 0
2 2

由于 y ? g ( x) 的对称轴为 x ?

2m ? 1 ?1 6
2

故 g ( x) 在 ?1, 2 ? 为单调递增函数,故 g (1) ? 0 ? m ? 2m ? 2 ? 0 。 ? 所以 m ? 1 。 ????????????11 分

? m2 x ? 2 ? 2m ? ? x ② 当 1 ? m ? 2 时, h( x) ? 2 ?3x ? m ? 2m ? x2 ?
易证 y ? x ?

1? x ? m m?x?2

m2 ? m 在 ?1, m ? 为递增, ? x2 m2 ? 2m 在 ? m, 2? 为递增, ? x

由②得 y ? 3 x ?

所以, h(1) ? 1 ,即 0 ? m ? 2 , 所以 1 ? m ? 2 。????????????14 分 ③当 m ? 2 时, h( x) ? x ?

m2 ? 2m (无解)????????????15 分 x2

综上所述 m ? 2 。 ????????????16 分 20.解:(1)由 a1 ? 1 , a2 ? 6 , a3 ? 11 ,得 S1 ? 1 , S2 ? 2 , S3 ? 18 .
? A ? B ? ?28, 把 n ? 1, 2 分别代入 (5n ? 8)Sn?1 ? (5n ? 2)Sn ? An ? B ,得 ? ?2 A ? B ? ?48

解得, A ? ?20 , B ? ?8 .???????????4 分 (2)由(1)知, 5n(Sn?1 ? Sn ) ? 8Sn?1 ? 2Sn ? ?20n ? 8 , 即 5nan?1 ? 8Sn?1 ? 2Sn ? ?20n ? 8 , 又 5(n ? 1)an? 2 ? 8Sn? 2 ? 2Sn?1 ? ?20(n ? 1) ? 8 . ② ②-①得, 5(n ? 1)an? 2 ? 5nan?1 ? 8an? 2 ? 2an?1 ? ?20 , 即 (5n ? 3)an? 2 ? (5n ? 2)an?1 ? ?20 . 又 (5n ? 2)an?3 ? (5n ? 7)an? 2 ? ?20 . ④-③得, (5n ? 2)(an?3 ? 2an? 2 ? an?1 ) ? 0 , ∴ an?3 ? 2an? 2 ? an?1 ? 0 , ∴ an?3 ? an? 2 ? an? 2 ? an?1 ? ? ? a3 ? a2 ? 5 ,又 a2 ? a1 ? 5 , 因此,数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 5 的等差数列.???????????10 分 ③ ④ ①

7

(3)要证 5amn ? am an ? 1 只要证 5a mn ? 1 ? a m a n ? 2 a m a n 因为 a n ? 5n ? 4 所以 a mn ? 5mn ? 4 , a m a n ? (5m ? 4)(5n ? 4) ? 25mn ? 20(m ? n) ? 16 故只要证 5(5mn ? 4) ? 1 ? 25mn ? 20(m ? n) ? 16 ? 2 a m a n 即只要证 20 m ? 20 n ? 37 ? 2 a m a n 又因为 2 a m a n ? a m ? a n ? 5m ? 5n ? 8 ? 5m ? 5n ? 8 ? 15(m ? n) ? 29 ? 20 m ? 20 n ? 37 所以原命题为真。??????????????????????16 分

8


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