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3.1.4空间向量的直角坐标运算(很好)


3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示

复习:

平面向量基本定理:

如果e1, e 2是同一平面内的两个不 共线向量, 那么对于这一平面内的 任一向量a,有且只有 一对实数?1,?2,使a=?1 e1+?2 e 2。 (e1、 e 2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底。)

平面向量的正交分解及坐标表示

? ? ? a ? xi ? y j ? ?

y

? a
x

? ? i ? (1,0), j ? (0,1),0 ? (0,0). i

? o j

在空间中,能得出类似的结论: 一、空间向量基本定理:

? ?? 如果三个向量 a, b, c不共面,那么对空间任一 ??

向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x,y,z, ? ? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc. 使
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

? ? ? a, b, c都叫做基向量

注:对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面,

? (2) 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任 意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着 ? 它们都不是 0 。
(3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基 底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念。

还应明确: (1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

?? ? 特殊的: i, j, k两两垂直时
???? ? ? OQ ? xi ? y j. ??? ? ??? ? ? ? ? ? OP ? OQ ? zk ??xi ???y j ? zk. 由此可知,如果 i, j , k 是空间两
??? ? ??? ? ? OP ? OQ ? zk.
两垂直的向量,那么,对空间任一 ?? 向量 p ,存在一个有序实数组 ? ? ? ? ? {x,y,z}使得 p ? xi ? y j ? zk .
z

?? ? ? ? 我们称 xi, y j, zk 为向量 p ?? ?



i, j , k 上的分向量。

? ? k ? j O i
x

?? p

P

y Q

这种分解我们把它叫做空间向 量的正交分解.

二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标

单位正交基底:如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示

空间向量的直角坐标:
给定一个空间坐标系和向 量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量, 由空间向量基本定理,存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标, 记作.P=(x,y,z)其中x叫做点A的 横坐标,y叫做点A的纵坐标, z叫做点A的竖坐标.
e3 e1 O e2 y

z

A(x,y,z)

x

空间直角坐标的考查

e2、 e3 分 AB ? e1 ? 2e2 ? 3e2 ( e1、 1、在空间坐标系o-xyz中, 别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 AB 的坐标为 。
2、点M(2,-3,-4)在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正 投影的坐标分别为 ,关于原点的对称点 为 ,关于轴的对称点为 ,

空间向量运算 的坐标表示

一、向量的直角坐标运算

? (? a1 , ? a2 , ? a3 )(? ? R) ? a ? ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3
? ? a // b ?

? ? 设 a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ) , 则 ? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 )

?? ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0.(a, b都不是零向量)

a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R)

若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)

=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个

向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

二、距离与夹角的坐标表示
1.距离公式 (1)向量的长度(模)公式

? ? 2 2 2 已知 a ? ( x, y, z) ,则 a ? x ? y ? z
注意:此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。

(2)空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、 B( x2 , y2 , z2 ) ,则

???? AB ?

( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )

???? ???? ???? 2 2 2 ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) 2 1 2 1 2 1 ?| AB |? AB?AB ?

d A, B ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
2 2

2

2.两个向量夹角公式
? ? 已知 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ? ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 a?b 则 cos a , b ? ? ? ? a?b x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2

注意:

? ? ? ? (1)当 cos ? a , b ?? 1 时, a 与 b 同向;

? ? ? ? a 与 b 反向; (2)当 cos ? a , b ?? ?1 时,
? ? ? ? (3)当cos ? a , b ?? 0 时,a ? b 。

3.中点坐标公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 , , ) 则线段 AB 的中点坐标为 ( 2 2 2

1.加减法及数量积的坐标运算 学案例一及练习
-1,2)、(4,5,-1)、(-2,2,3).求点 P 的坐标,使: ??? ? 1 ??? ? ? ? ??? ??? ? 1 ??? ? ??? (1) OP = ( AB - AC );(2) AP = ( AB - AC ). 2 ??? ? ??? ? 2 解: AB = (2, 6,- 3), AC = (- 4, 3, 1). ??? ? 1 3 (1) OP = (6, 3,- 4)= (3, ,- 2), 2 2 3 则点 P的坐标为 (3, ,- 2). 2 ??? ? (2)设 P为 (x, y, z),则 AP = (x- 2, y+ 1, z- 2). ? ? ??? ??? ? 1 ??? 3 ∵ ( AB - AC )= AP =(3, ,- 2), 2 2
1 1 ∴ x= 5, y= , z= 0,则点P坐标为(5, , 0).

又例.已知 O 为坐标原点,A、B、C 三点的坐标分别是(2,

2.向量平行、向量垂直的坐标运算
例 2.(1)已知 a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2),a∥b, 则 λ 与 μ 的值分别为 1 1 A. , 5 2 B.5,2 2 1 C.- ,- 5 2 ( D.-5,-2 )

解析:∵a∥b,∴a=kb,即λ+1=6k, 0=k(2μ-1),2λ=2k, 1 1 1 解得λ= ,k= ,μ= . 5 5 2

答案:A

例 2(2)已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3, ??? ? ??? ? 0,4),设 a= AB ,b= AC .若向量 ka+b 与 ka-2b 互相 垂直,求 k 的值.
解:a=(-1+2,1-0,2-2)=(1,1,0), b=(-3+2,0-0,4-2)=(-1,0,2), ∴ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), ka-2b=(k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4). ∵(ka+b)⊥(ka-2b), ∴(k-1,k,2)· (k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,即 5 2 2k +k-10=0,∴k=-2或 k=2.

见学案T10

? ? 例 3.已知向量 a =(-2,2,0), b =(-2, 0,2), ? ? ? ? ? 求向量 n ,使得 n ⊥ a 且 n ⊥ b 。 ? 解:设 n =(x,y,z), ? ? 则 n ? a =(x,y,z)· (-2,2,0)=-2x+2y=0, ? ? (-2,0,2)=-2x+2z=0, n ? b =(x,y,z)· ?? x ? y ? 0 解方程组 ? ,这个方程组有三个 ??x ? z ? 0
未知数,但只有两个方程,不妨把未知数 x 当 x,x)=x(1,1,1)。

? 作已知,求 y,z. 可得 y=x,z=x,于是 n =(x,
完成例3(2)

3.空间向量夹角,正投影及正投影的数量 的理解及计算 例 4.已知 A(1,1,0),B(0, 3,0),C(2, 2, 3),

??? ? ??? ? 求(1)cos ? AB, AC ? ; ??? ? ??? ? ( 2) AC 在 AB 上正投影的数量。
z C

y O x A D B

解:(1)由点 A, B, C 的坐标可求得

??? ? ??? ? AB ? (?1, 2,0) , AC ? (1,1,3) , ??? ? ??? ? | AB |? 5, | AC |? 11 , ??? ? ??? ? AB ? AC ? ?1?1 ? 2 ?1 ? 0 ? 3 ? 1 , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? AC 1 ? ??? ? ? 因此 cos ? AB, AC ?? ??? 。 | AB | ? | AC | 55 ? ??? ? ???
(2) AC 在 AB 上正投影的数量
??? ? ??? ? ??? ? AD= | AC | cos ? AB, AC ? = 11 ? 1 ? 1 ? 0.45 . 55 5
完成学案例2练习

??? ? 练习1.在ΔABC中,已知AB =(2, 4, 0), ??? ? 45° . BC =(-1, 3, 0),则∠ABC=____

练习 2. 已知空间三点 A(0, 2, 3), B(-2, 1, 6), C(1, -1, 5) ⑴ 求以向量 AB, AC 为一组邻边的平行四 边形的面积 S;

? ⑵ 若向量 a 分别与向量 AB, AC 垂直,且 ? ? | a |= 3 ,求向量 a 的坐标。 ? ? a ? (1,1,1)或a ? (?1, ?1, ?1)

S ?7 3

4.空间向量在立体几何中的应用初探

例 5 .如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

A1 B1 B1 E1 ? D1 F1 ? ,求 BE1 与 DF 1 所成的角的 4
余弦值.

解:不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度, 且设 DA =i, DC =j, DD1 =k. 以 i、 j、 k 为坐标向量建立空间直角坐标系 D-xyz, 则点 B 、 E1 、 D 、 F1 的坐标分别为 B(1,1,0) ,

3 E1(1, ,1),D(0,0,0), 4 1 F1(0, ,1) 4

3 1 ∴ BE1 =(1, ,1)-(1,1,0)=(0,- ,1), 4 4 1 1 DF1 =(0, ,1)-(0,0,0)=(0, ,1). 4 4 17 17 ∴ | BE1 |? , | DF1 |? , 4 4 15 DF1 = . BE1 · 16

15 ? ∴cos< BE1 , DF1 >= | BE1 | ? | DF1 | 17

BE1·DF1

练习、 如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底 面的棱柱)ABC-A1B1C1 中,CA=CB=1, ∠BCA=90° ,棱 AA1=2,N 为 A1A 的中点. (1)求 BN 的长; ???? ???? (2)求 BA1 与 B1C 夹角的余弦值.
[思路点拨] 先建立空间直角坐标系,写出各向量

的坐标,再利用向量方法进行求解.

??? ??? ? ???? [精解详析 ] 如图,以 CA , CB , CC1 为正交基底建

立空间直角坐标系 Cxyz.

(1)依题意得B(0,1, 0), N(1, 0,1), ???? ∴ | BN |= ( 1-0) 2+( 0-1) 2+(1- 0) 2= 3, ∴线段 BN的长为 3.

(2)依题意得A1(1, 0, 2), C(0, 0, 0), B1(0, 1, 2), ???? ???? ∴ BA1 = (1,- 1, 2), CB1 = (0, 1, 2), ???? ???? ∴ BA1 · 0+(- 1)× 1+ 2× 2= 3. CB1 =1× ???? ???? 又 | BA1 |= 6, | CB1 |= 5, ???? ???? ???? ???? BA1 · CB1 30 ∴ cos〈 BA1 , CB1 〉= ???? ???? = , | BA || CB | 10
1 1

???? ???? 30 即 BA1 与 B1C 夹角的余弦值为 . 10

小结:
1、空间向量的坐标运算; 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关 系的关键:
首先要选定单位正交基,进而确定各向量的 坐标,再利用向量的坐标运算确定几何关系。


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