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甘肃省兰州一中2013届高三上学期12月月考数学(理)试题


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本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请将答案填在答题卡上.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5

分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设 a ? R ,且 (a ? i ) i 为正实数,则 a ?
2

A. 2

B. 1
2

C. 0

D. ? 1

2.已知随机变量 ? 服从正态分布 N , P(? ? 4)=0.79, 则 P(-2 ? ? ? 1)= (1,? ) A.0.21 3.下列说法正确的是 B. 0.58 C. 0.42 D. 0.29

A. 有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱, B. 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形, C. 有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台, D. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.
4. ( x ? )(2 x ? ) 展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中的常数项为
5

a x

1 x

A. ?40

B. ?20

C. 20

D. 40

?x ? y ?1 ? 0 ? x?2 y 5.若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 3 的最小值为 ? x?0 ?

A. 0
6. 函数 y ?

B. 1
x ln x x
的图像可能是

C. 2

D. 9

1

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7.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x , ( a, b 为常数, a ? 0, x ? R )在 x ? 则函数 y ? f (

?
4

处取得最小值,

3? ? x) 4

A. 是偶函数,且它的图像关于 (? , 0) 对称 C. 是奇函数,且它的图像关于 (
3? , 0) 对称 2

B. 是偶函数,且它的图像关于 (

3? , 0) 对称 2

D. 是奇函数,且它的图像关于 (? , 0) 对称

* 8.在数列 ? an ? 中,若对任意的 n 均有 an ? an ?1 ? an ? 2 为定值( n ? N ) ,

且 a7 ? 2, a9 ? 3, a98 ? 4 ,则数列 ? an ? 的前 100 项的和 S100 ?

A. 132

B. 299

C. 68

D. 99

9. 设 f(x)、 g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 且 g(3)=0.则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是

A. (-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,- 3)∪(3,+∞)
??? ? ??? ?

B.(-3,0)∪(0, 3) D.(-∞,- 3)∪(0, 3)

10.如图所示,两个不共线向量 OA , OB 的夹角为 ? ,

B M O
D.
1 2

M , N 分别为 OA 与 OB 的中点,点 C 在直线 MN 上,
且 OC ? xOA ? yOB( x, y ? R) ,则 x ? y 的最小值为
2 2

C N A

????

??? ?

??? ?

A.

2 4

B.

1 8

C.

2 2

11.设 f ( x) 是定义在 R 上的增函数,且对任意 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立,如果实数

m, n 满足不等式 f (m2 ? 6m ? 21) ? f (n2 ? 8n) ? 0 ,那么 m 2 ? n 2 的取值范围是
A. (9,49) B. (13,49) C. (9,25) D. (3,7)

12.对于定义在 D 上的函数 f ( x) ,若存在距离为 d 的两条直线 y ? kx ? m1 和 y ? kx ? m2 , 使得对任意 x ? D 都有 kx ? m1 ? f ( x) ? kx ? m2 恒成立,则称函数 f ( x)( x ? D) 有一个宽 度为 d 的通道.给出下列函数:① f ( x) ?

1 2 ,② f ( x) ? sin x ,③ f ( x) ? x ? 1 ,其中在 x

区间 [1, ??) 上通道宽度可以为 1 的函数有:

A. ①②

B. ①③

C. ①
2

D. ③

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第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 从如图所示的长方形区域内任取一个点 M ( x, y ) ,则点 M 取自阴影部分的概率为 ______. 14.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为_______________.

15.等比数列 ? an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中的 任何两个数不在下表中的同一列,则数列 ? an ? 的通项公式 an ? ______________. 第一列 第一行 第二行 第三行
2

第二列 2 4 8
x

第三列 10 14 18

3 6 9

2 ?1? 16.已知函数 f ( x) ? x ? , g ( x) ? ? ? ? m .若 ?x1 ? [1, 2] , ?x2 ? [?1,1] x ?2?
使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 m 的取值范围是________________.

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选择、填空题答案: 1—5:DDBDB 6—10:BDBDB, 11—12:AB

13.

(8 ? ? ) 3 1 5 n ?1 ; 14. ;15. 2 ? 3 ;16. [? , ??) 6 3 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3 ? 3) 海里的 两个观测点,现位于 A 点北偏东 45 ,B 点北偏西 60 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60 且与 B 点 相距 20 3 海里的 C 点救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多长时间? 解:
? ? ?

18.已知函数 f ( x) ?

1 2x ? 3 , 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? f ( ), n ? N * , an 3x

(1)求数列 ? an ? 的通项公式;

4

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(2)令 Tn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? ?? a2 na2 n ?1 , 求 Tn ; (3)若 Tn ?

m * 对 n ? N 恒成立,求 m 的最小值. 2
1 2 2x ? 3 2 1 2 又 an ?1 ? f ( ) ? ? an , 即 ? an ? 是以 1 为首项, 以 ? ? , an 3 3x 3 x 3

解: (1)因为 f ( x) ?

为公差的等差数列,所以 an ?

2 1 n? . 3 3

(2) Tn ? a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? a4 a5 ? ? ? a2 n a2 n ?1

4 ? a2 (a1 ? a3 ) ? a4 (a3 ? a5 ) ? ? ? a2 n (a2 n ?1 ? a2 n ?1 ) ? ? (a2 ? a4 ? ? ? a2 n ) 3 4 ? ? (2n2 ? 3n) 9 20 m * * (3)由 n ? N ,?Tn ? 递减,所以 n ? 1 ,Tn 取最大值 ? ,由 Tn ? 时,n ? N 恒成立, 9 2 40 40 所以, m ? (2Tn ) max ? ? , 所以, mmin ? ? . 9 9
? 19. 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D 中 , 底 面 是 边 长 为 2 3 的 菱 形 , ?BAD ? 120 且

PA ? 面ABCD , PA ? 2 6 , M , N 分别为 PB, PD 的中点.
(1)证明: MN / /面ABCD (2)过点 A 作 AQ ? PC ,垂足为点 Q ,求二面角 A ? MN ? Q 的余弦值. 19.

P N M A B C Q D

5

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20.现有 4 个人去参加某娱乐活动, 该活动有甲、 乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性, 约定: 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏, 掷出点数为 1 或 2 的人 去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰好有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用 X , Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ? ? X ? Y ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望 E? .

1 2 , 去参加乙游戏的概率为 .设“这 3 3 1 2 i i 4 ?i 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai , (i ? 0,1, 2,3, 4) ,则 P( Ai ) ? C4 ( ) ( ) . 3 3 8 2 1 2 2 2 (1)这 4 个人中恰好有 2 人去参加甲游戏的概率 P( A2 ) ? C4 ( ) ( ) ? 3 3 27
解: 依题意, 这 4 个人中, 每个人去参加甲游戏的概率为 (2)设“这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B , B ? A3 ? A4 , 故, P( B) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? C4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ?
3 3 4 4

1 3

2 3

1 3

1 . 9 1 . 9

所以,这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 (3) ? 的所有可能取值为 0,2,4.

P(? ? 0) ? P( A2 ) ?

8 27 40 17 , P(? ? 4) ? P( A0 ) ? P( A4 ) ? , 81 81



P(? ? 2) ? P( A1 ) ? P( A3 ) ?
所以, ? 的分布列是

?

0

2

4

7

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P
E? ? 148 . 81
2

8 27

40 81

17 81

21.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (2 ? a) x , (1)讨论 f ( x) 的单调性, (2)设 a ? 0 ,证明:当 0 ? x ?

1 1 1 时, f ( ? x) ? f ( ? x) , a a a

(3)若函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交于 A, B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0 ,证明:

f '( x0 ) ? 0

解:(1) f (x)的定义域为(0,+∞)
f ?( x) ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (2 ? a) ? ? x x

(ⅰ) 若 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f (x)在(0,+∞)内单调递增

(ⅱ) 若 a ? 0 时, 由 f ?( x) ? 0 得 x ?
1 x ? ( , ??) 时 f (x)单调递减 a 1 1 (2) 设 g ( x) ? f ( ? x) ? f ( ? x) a a
? g ( x) ? ln(1 ? ax) ? ln(1 ? ax) ? 2ax
g ?( x) ? a ?a 2a 3 x 2 ? ? 2a ? 1 ? ax 1 ? ax 1 ? a2 x2

1 1 , 且 x ? (0, ) 内单调递增 a a

1 时, g ?( x) ? 0 ,而 g (0) ? 0 ∴ g ( x) ? 0 a 1 1 1 即 0 ? x ? 时 f ( ? x) ? f ( ? x) a a a
当0 ? x ? (3) 由(1)可得,当 a ? 0 ,f (x)单调递增,所以 f (x)与 x 轴至多有一个交点,不合题

1 1 意. 故 a>0,从而 f ( x)max ? f ( ) , 且 f ( ) ? 0 a a
不妨设 A( x1 , 0), B( x2 , 0), 0 ? x1 ? x2 ,则 0 ? x1 ? 由(2)知 f ( ? x1 ) ? f ( ?

1 ? x2 a

1 1 1 1 ? x1 ) ? f ( ? ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f ( x2 ) a a a a x1 ? x2 1 2 即 x2 ? ? x1 ? x0 ? ? ? f ?( x0 ) ? 0 a 2 a
8

2 a

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22.选考题(本小题 10 分) 请从下列三道题当中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,请在答题卷上注 明题号。
22—1.设函数

f ( x) ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 3

(1)解不等式 f ( x) ? 5x ? 1 , (2)若 g ( x) ?

1 定义域为 R ,求实数 m 的取值范围. f ( x) ? m

解:(1)原不等式等价于:
1 3 3 ? ?1 ? ?x ? ? ?x? ?x ? 2 或 ?2 2 或 ? 2 ? ? ? ? ?9 x ? 3 ?1 ? 5 x ? x ? ?5
? 1? 因此不等式的解集为 ? x x ? ? 3? ?

(2) 由于 g ( x) ?

1 的定义域为 R f ( x) ? m

∴ f ( x) ? m ? 0 在 R 上无解 又 f ( x) ?| 2 x ?1| ? | 2 x ? 3|?| 2 x ?1 ? 2 x ? 3|? 2 ∴-m<2, 即 m>-2
22—2. 如图,在 ?ABC 中, CD 是 ?ACB 的角平分线, ?ACD 的外接圆交

即 f ( x) min ? 2

BC 于 E ,

AB ? 2 AC ,
(1)求证: BE ? 2 AD (2)当 AC ? 1, BC ? 2 时,求 AD 的长.
B D

A

C E

证明:(1)连接 DE, ∵ACDE 为圆的内接四边形. 又∠DBE=∠CBA ∴△BDE∽△BCA 即
BE DE ? BA CA

∴∠BDE=∠BCA

而 AB=2AC ∴BE=2DE

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又 CD 是∠ACB 的平分线

∴AD=DE 从而 BE=2AD.

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