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浙江省2014届理科数学复习试题选编28:空间角和空间距离(学生版)


浙江省 2014 届理科数学复习试题选编 28:空间角和空间距离

一、选择题 1 ( .浙江省海宁市 2013 届高三 2 月期初测试数学 (理) 试题) 在平行四边形 ABCD 中, BC ? 2 AB ? 2, ?B ? 60o ,

点 E 是线

段 AD 上任一点(不包含点 D ),沿直线 CE 将△ CDE

翻折成△ CD ' E ,使 D ' 在平面 ABCE ( D. 3 ( ( D.4 ) ) )

上的射影 F 落在直线 CE 上,则 AD ' 的最小值是 A. 4 ? 3 B. 4 ? 2 C.2

2 . (浙江省六校联盟 2013 届高三回头联考理科数学试题)棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 在空间直角坐标

系中移动,但保持点 A.B 分别在 X 轴、y 轴上移动,则点 C1 到原点 O 的最远距离为 A. 2 2 B. 2 3 C.5

3 . (温州市 2013 年高三第一次适应性测试理科数学试题) 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, CC1 与平面 A1 BD 所

成角的余弦值为 A.

( B.



2 3

3 3

C.

2 3

D.

6 3

4 . (浙江省绍兴一中 2013 届高三下学期回头考理科数学试卷) 已知正方体 ABCD ?

A1 B1C1 D1 的棱长为

1, M , N 是对角线 AC1 上的两点,动点 P 在正方体表面上且满足 | PM |?| PN | ,则动点 P 的轨迹长度 的最大值为 A.3 B. 3 2 C. 3 3 D.6 ( )

5 . ( 浙 江 省 “ 六 市 六 校 ” 联 盟 2013 届 高 三 下 学 期 第 一 次 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 如 图 所 示 , 在 正 方 体

ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , E 为 DD1 上一点 , 且 DE ?

1 DD1 , F 是侧面 CDD1 C 1 上的动点 , 且 B1 F // 平面 3
( )

A1 BE ,则 B1 F 与平面 CDD 1 C 1 所成角的正切值构成的集合是

3 A. { } 2
C. { m |

3 3 ?m? 2} 2 2

2 13 } 5 2 3 D. { m | 13 ? m ? } 5 2
B. {

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A1 B1

D1

C1
E A D
C
(第 10 题图)

B

6 . (浙江省稽阳联谊学校 2013 届高三 4 月联考数学(理)试题(word 版) )已知四面体 A ? BCD 中, P 为

棱 AD 的中点 , 则过点 P 与侧面 ABC 和底面 BCD 所在平面都成 60 的平面共有 ( 注 : 若二面角 ( ) ? ? l ? ? 的大小为 120? ,则平面 ? 与平面 ? 所成的角也为 60? ) A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D.无数个
7 . (浙江省温州中学 2013 届高三第三次模拟考试数学(理)试题)已知正四面体 A ? BCD 中, P 为 AD 的

?

中点,则过点 P 与侧面 ABC 和底面 BCD 所在平面都成 60 的平面共有 (注:若二面角 ? ? l ? ? 的大小为 120 ,则平面 ? 与平面 ? 所成的角也为 60 )
? ?

?





A.2 个

B.4 个

C.6 个

D.无数个

非选择题部分(共 100 分)
8 . ( 【解析】浙江省镇海中学 2013 届高三 5 月模拟数学(理)试题)如图 ?ABC 是等腰直角三角形,其中

?A ? 90? ,且 DB ? BC , ?BCD ? 30? ,现将 ?ABC 折起,使得二面角 A ? BC ? D 为直角,则下列叙
述正确的是

① BD ? AC ? 0 ;

??? ? ????

②平面 BCD 的法向量与平面 ACD 的法向量垂直; ( )

③异面直线 BC 与 AD 所成的角为 60? ;④直线 DC 与平面 ABC 所成的角为 30? A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③④

9 . (浙江省五校 2013 届高三上学期第一次联考数学 (理) 试题) 一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3 (单 位:

牛顿)的作用而处 于平衡状态.已知 F1 , F2 成 120? 角, 且 F1 , F2 的大小分别为 1 和 2,则有 A. F1 , F3 成 90? 角 B. F1 , F3 成 150? 角 C. F2 , F3 成 90? 角 D. F2 , F3 成 60? 角
10. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) )在空间中,过点 A 作平面 ? 的垂
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线 , 垂 足 为 B , 记 B ? f ? ( A) . 设 ? , ? 是 两 个 不 同 的 平 面 , 对 空 间 任 意 一 点

P , Q1 ? f ? [ f? ( P)], Q2 ? f? [ f ? ( P)] ,恒有 PQ1 ? PQ2 ,则
A.平面 ? 与平面 ? 垂直 C.平面 ? 与平面 ? 平行 B.平面 ? 与平面 ? 所成的(锐)二面角为 450 D.平面 ? 与平面 ? 所成的(锐)二面角为 60 0





11. (浙江省宁波市 2013 届高三第一学期期末考试理科数学试卷)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 BC1 与截面 BB1D1D 所

成的角是 A.

( B.



? 6

? 4

C.

? 3

D.

? 2
)如图,斜边长为 4 的直角

二、填空题 12 .( 浙 江 省 永 康 市 2013 年 高 考 适 应 性 考 试 数 学 理 试 题

?ABC , ?B=90? , ?A ? 60?
____.
M B C

且 A 在平面 ? 上 , B , C 在平面 ? 的同侧 , M 为 BC 的中点 . 若

?ABC 在平面 ? 上的射影是以 A 为直角顶点的三角形 ?AB' C ' ,则 M 到平面 ? 的距离的取值范围是

B' α

C' A

13 . ( 浙 江 省 温 州 八 校 2013 届 高 三 9 月 期 初 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 在 二 面 角

? ?l ? ?
5, 则

中, A ? l , B ? l , AC ? ? , BD ? ? , 且 AC ? l , BD ? l , 已知 AB ? 1, AC ? BD ? 2 , CD ? 二面角 ? ? l ? ? 的余弦值为___________

14. (浙江省宁波一中 2013 届高三 12 月月考数学 (理) 试题) 正四面体 S—ABC 中,E 为 SA 的中点,F 为 ?ABC

的中心,则直线 EF 与平面 ABC 所成的角的正切值是____ _______________. 15. (浙江省 2013 年高考模拟冲刺(提优)测试二数学(理)试题)在三棱锥 S-ABC 中,△ABC 为正三角形, 且 A 在面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂心,又二面角 H-AB-C 为 30 ,则
0

SA ? ________; AB

16. (浙江省杭州四中 2013 届高三第九次教学质检数学(理)试题)如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别为线段

AD,BC 上的点,∠ABE=20°,∠CDF=30°.将△ABE 绕直线 BE、△CDF 绕直线 CD 各自独立旋转一周,则在所 有旋转过程中,直线 AB 与直线 DF 所成角的最大值为_________.

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A

E

D

B

F

C

17. (浙江省杭州高中 2013 届高三第六次月考数学(理)试题) ?ABC1 和 ?ABC2 是两个腰长均为 1 的等腰

直角三角形,当二面角 C1 ? AB ? C2 为 60? 时,点 C1 和 C2 之间的距离等于 __________.(请写出所有 可能的值)
三、解答题 18. (浙江省杭州二中 2013 届高三 6 月适应性考试数学(理)试题)等边三角形 ABC 的边长为 3 ,点 D 、 E

分别是边 AB 、AC 上的点,且满足

AD CE 1 ? ? (如图 1).将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1 DE 的位置, DB EA 2

使二面角 A1 ? DE ? B 成直二面角,连结 A1 B 、 A1C (如图 2). (Ⅰ)求证: A1 D ? 平面 BCED ; (Ⅱ)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ?若存在,求出 PB 的长,若 不存在,请说明理由. A

A1
D E B 图1 C B 图2 D E C

19( .浙江省考试院 2013 届高三上学期测试数学 (理) 试题) 如图,平面 ABCD⊥平面 ADEF,其中 ABCD 为矩形,ADEF

为梯形, AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2 DE=2. (Ⅰ) 求异面直线 EF 与 BC 所成角的大小;

1 (Ⅱ) 若二面角 A-BF-D 的平面角的余弦值为 ,求 AB 的长. 3

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B

C

A F (第 20 题图)

D E

20. (浙江省温州市十校联合体 2013 届高三上学期期末联考理科数学试卷)如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在

圆 O 上,∠BAC=30°, BM⊥AC 交 AC 于点 M,EA⊥平面 ABC,FC//EA,AC=4,EA=3,FC=1. (I)证明:EM⊥BF; (II)求平面 BEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值. E

F A O M C

B
(第 20 题图)

21. (浙江省名校新高考研究联盟 2013 届高三第一次联考数学(理)试题)如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、F

在圆 O 上, AB // EF ,矩形 ABCD 所在的平面与圆 O 所在的平面互相垂直.已知 AB ? 2 , EF ? 1 . (Ⅰ)求证:平面 DAF ? 平面 CBF ; (Ⅱ)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小; (Ⅲ)当 AD 的长为何值时,平面 DFC 与平面 FCB 所成的锐二面角的大小为 60? ?
C

D

.
A

B
E

O

F
第 5 页,共 54 页

22. (浙江省湖州市 2013 年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) )如图,一个正 ?ABC? 和一个平

BD ? AD ? 43 , AB , 行四边形 ABDE 在同一个平面内,其中 AB ? 8 , DE 的中点分别为 F , G . 现沿 直线 AB 将 ?ABC? 翻折成 ?ABC ,使二面角 C ? AB ? D 为 120? ,设 CE 中点为 H . (Ⅰ) (i)求证:平面 CDF // 平面 AGH ; (ii)求异面直线 AB 与 CE 所成角的正切值; (Ⅱ)求二面角 C ? DE ? F 的余弦值.
C

C?

A

E

H A

F
B
D

G

第20题
B

E

F
D

G

23. (浙江省一级重点中学(六校)2013 届高三第一次联考数学(理)试题)如图:在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1

中, AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 90? . (Ⅰ)若异面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角为 60? ,求棱柱的高 h ; (Ⅱ)设 D 是 BB1 的中点, DC1 与平面 A1 BC1 所成的角为 ? ,当棱柱的高 h 变化时,求 sin ? 的最大值.

24. (浙江省新梦想新教育新阵地联谊学校 2013 届高三回头考联考数学 (理) 试题 ) 如图,在四棱锥 P ? ABCD

中, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD , AC ? CD , ?ABC ? 60? , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明: CD ? AE ; (Ⅱ)证明: PD ? 平面 ABE ; (Ⅲ)求二面角 A ? PD ? C 的正切值.
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P
E

A
B
C

D

25 . ( 浙 江 省 宁 波 市 十 校 2013 届 高 三 下 学 期 能 力 测 试 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 如 图 , ?ABC

中 , ?B ? 90? , AB ? 2, BC ? 1, D、 E 两点分别在线段 AB、AC上,满足

AD AE ? ? ? , ? ? (0,1) . 现将 AB AC

?ABC 沿 DE 折成直二面角 A ? DE ? B . 1 ? (1)求证:当 ? ? 时, 面ADC ? 面ABE ;(2)当 ? ? (0,1) 时,二面角 E ? AC ? D 的大小能否等于 ?若 2 4 能,求出 ? 的值;若不能,请说明理由.
A A

D

E D

E C C

B

B

26 . ( 浙 江 省 温 州 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 如 图 , 在 三 棱 锥

P ? ABC

中, PA ? PB ? PC ? AC ? 4, AB ? BC ? 2 2 (I)求证:平面 ABC ⊥平面 APC (II)若动点 M 在底面三角形 ABC 上,二面角 M ? PA ? C 的余弦值为

2 2 ,求 BM 的最小值. 3

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27 . ( 【 解 析 】 浙 江 省 镇 海 中 学 2013 届 高 三 5 月 模 拟 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 如 图 , 在 梯 形

ABCD

中 , AB / / CD, AD ? CD ? CB ? a, ?ABC ? 60? , 平面 ACFE ? 平面 ABCD , 四边形 ACFE 是矩 形, AE ? a ,点 M 在线段 EF 上. (1)求证: BC ? 平面 ACFE ;(2)求二面角 B ? EF ? D 的余弦值.

28. (2013 届浙江省高考压轴卷数学理试题)如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA1 B1 B ⊥底面 ABC ,

侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60°的角, AA1 ? 2 .底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,其重心为 G 点, E 是 线段 BC1 上一点,且 BE ?

1 BC1 . 3 (1)求证: GE // ? 侧面 AA1 B1 B ;
(2)求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的正切值; (3)在直线 ..AG 上是否存在点 T,使得 B1T ? AG ?若存在,指出点 T 的位置;若不存在,说明理由.

第 20 题图

29. (浙江省 2013 年高考模拟冲刺(提优)测试二数学(理)试题)如图:在多面体 EF-ABCD 中,四边形 ABCD

是平行四边形,△EAD 为正三角形,且平面 EAD ? 平面 ABCD,EF∥AB, AB=2EF=2AD=4, ?DAB ? 60 0 . (Ⅰ)求多面体 EF-ABCD 的体积; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 BCF 所成角的大小.

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30 . (浙江省温岭中学 2013 届高三高考提优冲刺考试(五)数学(理)试题) 如图 , 在长方形 ABCD

中 , AB ? 2 , AD ? 1 , E 为 DC 的 中 点 , 现 将 ?DAE 沿 AE 折 起 , 使 平 面 DAE ⊥ 平 面 ABCE , 连
DB , DC , BE .

(Ⅰ)求证: BE ? 平面 ADE ; (Ⅱ)求二面角 E ? BD ? C 的余弦值. D E C D E C

A

B

A

B

(第 20 题)
31 . ( 浙 江 省 嘉 兴 市 第 一 中 学2013 届 高 三 一 模 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 如图,直角梯形 ABCD

中,AB//CD, ?BCD = 90° , BC = CD = (I )求证:AD 丄 BF :

2 ,AD = BD:EC 丄底面 ABCD, FD 丄底面 ABCD 且有 EC=FD=2.

(II )若线段 EC 上一点 M 在平面 BDF 上的射影恰好是 BF 的中点 N,试求二面角 B-MF-C 的余弦值.

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32 . (浙江省稽阳联谊学校 2013 届高三 4 月联考数学 ( 理 ) 试题( word 版) ) 如图 , 在矩形

ABCD 中 , AB ? 2,BC ? 1, E 为边 AB 上一点,以直线 EC 为折线将点 B 折起至点 P , 并保持 ?PEB 为锐角, 连接 PA, PC , PD, 取 PD 中点 F ,若有 AF / / 平面 PEC . (I)求线段 AE 的长; ? (II)当 ?PEB ? 60 时 (i)求证:平面 PEC ? 平面 CDAE ; (ii)求平面 PEC 与平面 PAD 所成角的余弦值.

33. (浙江省嘉兴市 2013 届高三上学期基础测试数学(理)试题)如图, ABCD ? A1 B1C1 D1 是棱长为 1 的正

方体,四棱锥 P ? A1 B1C1 D1 中, P ? 平面 DCC1 D1 , PC1 ? PD1 ?

5 . 2

P

D1 A1 B1

C1

D A

C B

第20题

(Ⅰ)求证:平面 PA1 B1 平面 ABC1 D1 ;
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(Ⅱ)求直线 PA1 与平面 ADD1 A1 所成角的正切值.
34 . ( 浙 江 省 杭 州 高 中 2013 届 高 三 第 六 次 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 如 图 , 已 知 长 方 形

ABCD

中, AB ? 2, AD ? 1 , M 为 DC 的中 点. 将 ?ADM 沿 AM 折起,使得平面 ADM ? 平面 ABCM . (1) 求证: AD ? BM (2)点 E 是线段 DB 上的一动点,当二面角 E ? AM ? D 大小为

?
3

时,试确定点 E 的位置.

A

35. (浙江省杭州四中 2013 届高三第九次教学质检数学 (理) 试题) 如图,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,AF⊥

平面 ABCD,CE∥AF, CE ? ? AF (? ? 1) . (Ⅰ)证明:BD⊥EF; (Ⅱ)若 AF=1,且直线 BE 与平面 ACE 所成角的正弦值为 E F
3 2 ,求 ? 的值. 10

A B
(第 20 题图)

D C

36. (浙江省乐清市普通高中 2013 届高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题)如图,底角为 60 0 的等腰

梯形 ABFE 垂直于矩形 ABCD , AB ? 2, EF ? 1 . (1)求证:平面 ADF ? 平面 BCF ; (2)当 AD 长为 2 时,求二面角 D ? EF ? A 的余弦值的大小.

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37 . ( 浙 江 省 六 校 联 盟 2013 届 高 三 回 头 联 考 理 科 数 学 试 题 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ,PA⊥ 底 面

ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, ABC=60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明:CD ⊥AE; (Ⅱ)证明:PD⊥平面 ABE; (Ⅲ)求二面角 A-PD-C 的正切值.

38. (浙江省温州市 2013 届高三第三次适应性测试数学(理)试题 (word 版) ) 已知四棱锥 P ?

ABCD , PA ?

底面 ABCD , AD // BC , AB ? AD, AC 与 bd 交于点 O ,又 PA ? 3, AD ? 2, AB ? 2 3 , BC ? 6, (Ⅰ) 求证: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)求二面角 O ? PB ? A 的余弦值.

39. (浙江省重点中学协作体 2013 届高三摸底测试数学(理)试题)如图,斜三棱柱 ABC ?

A1 B1C1 ,已知侧

第 12 页,共 54 页

面 BB1C1C 与底面 ABC 垂直且∠BCA=90°,∠ B1BC ? 60? , BC ? BB1 =2, 若二面角 A ? B1 B ? C 为 30°, (Ⅰ)证明 AC ? 平面BB1C1C 及求 AB1 与平面 BB1C1C 所成角的正切值; (Ⅱ)在平面 AA1 B1 B 内找一点 P,使三棱锥 P ? BB1C 为正三棱锥,并求 P 到平面 BB1C 距离 B B1

C A

C1 A1

40. (浙江省温州八校 2013 届高三 9 月期初联考数学(理)试题)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为

矩形,且 PA ? AD ? 1 ,

AB ? 2 , ?PAB ? 120? , ?PBC ? 90? ,
(Ⅰ)平面 PAD 与平面 PAB 是否垂直?并说明理由; (Ⅱ)求直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值.
D C

A

B

P

41. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 (理) 试题 (纯 WORD 版) ) 如图,在四面体 A ? BCD 中, AD ?

平面 BCD , BC ? CD, AD ? 2, BD ? 2 2 . M 是 AD 的中点, P 是 BM 的中点,点 Q 在线段 AC 上, 且 AQ ? 3QC . (1)证明: PQ // 平面 BCD ;(2)若二面角 C ? BM ? D 的大小为 60 0 ,求 ?BDC 的大小.

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A

M P Q B C (第 20 题图) D

42. (浙江省诸暨中学 2013 届高三上学期期中考试数学 (理) 试题) 如图,已知四棱锥 P ?

ABCD 中, PA ? 平 面 ABCD , 底 面 ABCD 是直 角梯形 , ?DAB ? ?ABC ? 90? , E 是 线段 PC 上 一点 , PC ? 平面 BDE . (Ⅰ)求 证: BD ? 平面 PAC (Ⅱ)若 PA ? 4 , AB ? 2 , BC ? 1 ,求直线 AC 与平面 PCD 所成角的正弦值.

43. (浙江省温州十校联合体 2013 届高三期中考试数学(理)试题)(本 小题满分 14 分)如图 1,在 Rt△ABC

中,∠C=90°,D,E 分别是 AC,AB 上的中 点, 将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,作 A1F⊥CD,垂足为 F,如图 2. (1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)若∠A=45°,AC=2,在线段 CD 上是否存在点 F,使得二面角 A1-BE-F 为 45°.若存在,则指出点 F 的位 置,若不存在,请说明理由.

44. (浙江省永康市 2013 年高考适应性考试数学理试题 ) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,直线 PA ? 平面 ABC ,



?ABC ? 90? ,又点 Q , M , N 分别是线段 PB , AB , BC 的中点,且点 K 是线段 MN 上的动点.
(Ⅰ)证明:直线 QK // 平面 PAC ;

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(Ⅱ)若 PA ? AB ? BC =8,且二面角 Q ? AK ? M 的平面角的余弦值为

3 ,试求 MK 的长度. 9

P

Q A M B K N C

45. (浙江省“六市六校”联盟 2013 届高三下学期第一次联考数学(理)试题)如图,边长为 4 的正方形 ABCD

所在平面与正 Δ PAD 所在平面互相垂直,M、Q 分别为 PC、AD 的中点. (1)求证:PA∥平面 MBD; (2)求二面角 P-BD-A 的余弦值; (3)试问:在线段 AB 上是否存在一点 N,使得平面 PCN⊥平面 PQB,若存在,试指出点 N 的位置,并证明你 的结论;若不存在,请说明理由.
P

M
Q

A

D

B
(第 20 题图)

C

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