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201261杭州在平面直角坐标系内


(201261 杭州)在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数 y=k(x2+x-1)
22. 2 在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数 y=k(x +x﹣1)的图象交于点 A(1,k)和点 B(﹣1,﹣k) . (1)当 k=﹣2 时,求反比例函数的解析式; (2)要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大,求 k 应满足的条件以及 x 的 取值范围; (3)设二次函数的图象的顶点为 Q,当△ ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时,求 k 的值. 考点:二次函数综合题。 分析: (1)当 k=﹣2 时,即可求得点 A 的坐标,然后设反比例函数的解析式为:y= ,利 用待定系数法即可求得答案; (2)由反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大,可得 k<0,又由二次函 数 y=k(x +x﹣1)的对称轴为 x=﹣ ,可得 x<﹣ 时,才能使得 y 随着 x 的增大而 增大; (3)由△ ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形,A 点与 B 点关于原点对称,利用直角三 角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可得 OQ=OA=OB,又由 Q(﹣ , k) ,A(1, k) ,即可得 = ,继而求得答案.
2

解答:解: (1)当 k=﹣2 时,A(1,﹣2) , ∵ 在反比例函数图象上, A ∴ 设反比例函数的解析式为:y= , 代入 A(1,﹣2)得:﹣2= , 解得:m=﹣2, ∴ 反比例函数的解析式为:y=﹣ ;

(2)∵ 要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大, ∴ k<0, ∵ 二次函数 y=k(x +x﹣1)=k(x+ ) ﹣ k,的对称轴为:直线 x=﹣ , 要使二次函数 y=k(x +x﹣1)满足上述条件,在 k<0 的情况下,x 必须在对称轴的左 边, 即 x<﹣ 时,才能使得 y 随着 x 的增大而增大, ∴ 综上所述,k<0 且 x<﹣ ;
2 2 2

(3)由(2)可得:Q(﹣ , k) , ∵ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形,A 点与 B 点关于原点对称, △ (如图是其中的一 种情况) ∴ 原点 O 平分 AB, ∴ OQ=OA=OB, 作 AD⊥ OC,QC⊥ OC, ∴ OQ= ∵ OA= ∴ 解得:k=± = . = = , , ,

点评:此题考查了二次函数的性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质等知识.此题 综合性较强,难度较大,注意掌握待定系数法求函数解析式,注意数形结合思想的应 用.


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