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2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.1椭圆及其性质课时练理


2017 高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.1 椭圆及其性 质课时练 理
时间:60 分钟 基础组 1.[2016?冀州中学仿真]若曲线 ax +by =1 为焦点在 x 轴上的椭圆, 则实数 a, b 满足 ( ) A.a >b
2 2 2 2

1 1 B. <

a b

C.0<a<b 答案 C
2 2

D.0<b<a

x y 1 1 2 2 解析 由 ax +by =1,得 + =1,因为焦点在 x 轴上,所以 > >0,所以 0<a<b. 1 1 a b a b x2
2

2.[2016?武邑中学预测]设 F1、F2 分别是椭圆 +y =1 的左、右焦点,若椭圆上存在 4 → → → 一点 P,使(OP+OF2)?PF2=0(O 为坐标原点),则△F1PF2 的面积是( A.4 C.2 答案 D → → → → → → → → 解析 ∵(OP+OF2)?PF2=(OP+F1O)?PF2=F1P?PF2=0,∴PF1⊥PF2,∠F1PF2=90°. 1 2 2 设|PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=4,m +n =12,2mn=4,∴S△F1PF2= mn=1,故选 2 D. 3.[2016?衡水二中模拟]已知点 P 是椭圆 + =1(x≠0,y≠0)上的动点,F1、F2 分 16 8 → → 别为椭圆的左、右焦点,O 是坐标原点,若 M 是∠F1PF2 的平分线上一点,且F1M?MP=0,则 → |OM|的取值范围是( A.[0,3) C.[2 2,3) 答案 B ) B.(0,2 2) D.(0,4] B.3 D.1 )

x2

y2

解析 延长 F1M 交 PF2 或其延长线于点 G.
1

→ → → → ∵F1M?MP=0, ∴F1M⊥MP, 又 MP 为∠F1PF2 的平分线, ∴|PF1|=|PG|且 M 为 F1G 的中点, ∵O 为 F1F2 的中点, 1 1 → ∴OM 綊 F2G.∵|F2G|=|PG|-|PF2|=||PF1|-|PF2||,∴|OM|= |2a-2|PF2||=|4- 2 2 |PF2||. → ∵4-2 2<|PF2|<4 或 4<|PF2|<4+2 2,∴|OM|∈(0,2 2). 7 4.[2016?枣强中学期末]在△ABC 中,AB=BC,cosB=- .若以 A,B 为焦点的椭圆 18 经过点 C,则该椭圆的离心率为( A. C. 3 4 3 8 ) B. D. 3 7 3 18
2 2

答案 C 解析 依题意知 AB=BC=2c,AC=2a-2c,在△ABC 中,由余弦定理得(2a-2c) =8c 3 ? 7? 2 2 -2?4c ??- ?,故 16e +18e-9=0,解得 e= . 8 ? 18? 5.[2016?衡水二中仿真]如图,F1,F2 是双曲线 C1:x - =1 与椭圆 C2 的公共焦点, 3 点 A 是 C1,C2 在第一象限的公共点.若|F1F2|=|F1A|,则 C2 的离心率是( )
2

y2

A. C.

1 3 1 5

B. D.

2 3 2 5

答案 B 解析 由题知|AF1|+|AF2|=2a(设 a 为椭圆的长半轴),|AF1|-|AF2|=2,而|F1F2|= 2 |F1A|=4,因此可得 2?|F1A|=2a+2,∴8=2a+2,∴a=3,又 c=2,故 C2 的离心率 e= . 3 6.[2016?枣强中学期中]已知 F1,F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,A 是椭圆上 4 3 一动点, 圆 C 与 F1A 的延长线、 F1F2 的延长线以及线段 AF2 相切, 若 M(t,0)为一个切点, 则( )
2

x2 y2

A.t=2 C.t<2 答案 A

B.t>2 D.t 与 2 的大小关系不确定

解析 如图,P,Q 分别是圆 C 与 F1A 的延长线、线段 AF2 相切的切点,|MF2|=|F2Q|= 2a-(|F1A|+|AQ|)=2a-|F1P|=2a-|F1M|,即|F1M|+|MF2|=2a,所以 t=a=2.故选 A.

x2 y2 7.[2016?冀州中学猜题]椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为 B,F 为 a b

?π π ? 则该椭圆离心率的取值范围为( 其右焦点, 若 AF⊥BF, 设∠ABF=α , 且 α ∈? , ?, ?12 4 ?
A.? C.? 6? ? 2 , ? 3? ?2 B.? D.? 3? ? 2 , ? 2? ?2

)

? 6 ? ,1? ?3 ?

? 2 ? ,1? ?2 ?

答案 A 解析 由题知 AF⊥BF,根据椭圆的对称性,AF′⊥BF′(其中 F′是椭圆的左焦点),因 此四边形 AFBF′是矩形,于是|AB|=|FF′|=2c,|AF|=2csinα ,根据椭圆的定义,|AF| +|AF′|=2a,∴2csinα +2ccosα =2a,∴e= =

c 1 = a sinα +cosα

1

π? ? 2sin?α + ? 4? ?

,而 α

∈?

?π ,π ?, ? ?12 4 ?
π? ? 3 ? π ?π π ? 6? ? 2 ? ∴α + ∈? , ?,∴sin?α + ?∈? ,1?,故 e∈? , ?,故选 A. 2? 4? ? 2 4 ?3 ? 3? ? ?2

x2 y2 8. [2016?武邑中学仿真]已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0)、 a b F2(c,0), 若椭圆上存在点 P 使
A.(0, 2-1) C.?0, = , 则该椭圆离心率的取值范围为( sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 B.?

a

c

)

? 2 ? ,1? ?2 ?

? ?

2? ? 2?

D.( 2-1,1)

答案 D 解析 根据正弦定理得 |PF2| |PF1| a c = ,所以由 = 可得 sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 sin∠PF1F2 sin∠PF2F1
3

a c |PF1| c = ,即 = = e ,所以 |PF1| = e|PF2| ,又 |PF1| + |PF2| = e|PF2| + |PF2| = |PF2| |PF1| |PF2| a
|PF2|?(e+1)=2a,则|PF2|= 2a ,因为 a-c<|PF2|<a+c(不等式两边不能取等号,否则 e+1 2a c 2 c 2 <a+c, 即 1- < <1+ , 所以 1-e< <1 e+1 a e+1 a e+1

分式中的分母为 0, 无意义), 所以 a-c<
??1-e??1+e?<2, ? +e,即? 2 ? ?2<?1+e? ,

解得 2-1<e<1,选 D.

9.[2016?衡水中学模拟]已知椭圆的焦点在 x 轴上,一个顶点为 A(0,-1),其右焦 点到直线 x-y+2 2=0 的距离为 3,则椭圆的方程为________. 答案

x2
3

+y =1

2

解析 据题意可知椭圆方程是标准方程,故 b=1.设右焦点为(c,0)(c>0),它到已知直 |c+2 2| x 2 2 2 2 线的距离为 =3,解得 c= 2,所以 a =b +c =3,故椭圆的方程为 +y =1. 3 2
2

x y 1 10.[2016?冀州中学期中]如图,焦点在 x 轴上的椭圆 + 2=1 的离心率 e= ,F,A 4 b 2
→ → 分别是椭圆的一个焦点和顶点,P 是椭圆上任意一点.则PF?PA的最大值为________.

2

2

答案 4 解析 设 P 点坐标为(x0,y0).由题意知 a=2,

c 1 2 2 2 ∵e= = ,c=1,∴b =a -c =3. a 2
故所求椭圆方程为 + =1. 4 3 ∴-2≤x0≤2,- 3≤y0≤ 3. ∵F(-1,0),A(2,0), → →

x2 y2

PF=(-1-x0,-y0),PA=(2-x0,-y0),
1 2 1 → → 2 2 2 ∴PF?PA=x0-x0-2+y0= x0-x0+1= (x0-2) . 4 4

4

→ → 即当 x0=-2 时,PF?PA取得最大值 4. 11.[2016?衡水中学仿真]已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左、右焦

? 3? 点分别为 F1 和 F2,且|F1F2|=2,点?1, ?在该椭圆上. ? 2?
(1)求椭圆 C 的方程; 12 2 (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若△AF2B 的面积为 ,求以 F2 为圆心 7 且与直线 l 相切的圆的方程. 解 3 (1)由题意知 c=1,2a= + 2

?3?2+22=4,a=2,故椭圆 C 的方程为x +y =1. ?2? 4 3 ? ?

2

2

3? ? 3? ? (2)①当直线 l⊥x 轴时,可取 A?-1,- ?,B?-1, ?,△AF2B 的面积为 3,不符合题 2? ? 2? ? 意. ②当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 y=k(x+1), 代入椭圆方程得(3+4k )x
2 2 2

8k 2 2 +8k x+4k -12=0,显然 Δ >0 成立,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- x1?x2 2, 3+4k 4k -12 12?k +1? = , 2 ,可得|AB|= 2 3+4k 3+4k 又圆 F2 的半径 r=
4 2 2 2

2|k|

1 12|k| k +1 12 2 ,∴△AF2B 的面积为 |AB|r= = ,化简得: 2 2 2 3+4k 7 1+k
2 2

2

17k +k -18=0,得 k=±1, ∴r= 2,圆的方程为(x-1) +y =2. 12.[2016?枣强中学预测]如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别是椭圆 2+ 2= 1(a>b>0)的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连接 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作

x2 y2 a b

x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C.

?4 1? (1)若点 C 的坐标为? , ?,且 BF2= 2,求椭圆的方程; ?3 3?
(2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值. 解 设椭圆的焦距为 2c,则 F1(-c,0),F2(c,0).
5

(1)因为 B(0,b),所以|BF2|= b +c =a. 又|BF2|= 2,故 a= 2. 16 1 9 9 4 1 ? ? 2 因为点 C? , ?在椭圆上,所以 2 + 2=1.解得 b =1. a b ?3 3? 故所求椭圆的方程为 +y =1. 2 (2)因为 B(0,b),F2(c,0)在直线 AB 上, 所以直线 AB 的方程为 + =1.

2

2

x2

2

x y c b

x y ? ?c+b=1, 解方程组? x y ? ?a +b =1,
2 2 2 2 2

2a c x= ? ? a +c , 得? b?c -a ? y= , ? ? a +c
1 2 2 2 2 1 2 2 2 2

2

或?

?x2=0, ? ? ?y2=b.

-a ?? ? 2a c 2,b?c 所以点 A 的坐标为? 2 . a2+c2 ? ? a +c ? -c ?? ? 2a c b?a 又 AC 垂直于 x 轴,由椭圆的对称性,可得点 C 的坐标为? 2 2, . a2+c2 ? ?a +c ?
2 2 2

b?a2-c2? -0 a2+c2 b?a2-c2? b 因为直线 F1C 的斜率为 2 = 2 3 ,直线 AB 的斜率为- ,且 F1C⊥ 2a c 3a c+c c -?-c? a2+c2 b?a2-c2? ? b? AB,所以 2 3 ??- ?=-1. 3a c+c ? c?
1 5 2 2 2 2 2 2 又 b =a -c ,整理得 a =5c .故 e = .因此 e= . 5 5 能力组 13. [2016?冀州中学一轮检测]过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)左焦点 F,且斜率为 1 的直线 → → 交椭圆于 A,B 两点,向量OA+OB与向量 a=(3,-1)共线,则该椭圆的离心率为( A. C. 3 3 3 4 B. D. 6 3 2 3 )

x2 y2 a b

答案 B 解析 → → 设椭圆的左焦点为 F(-c,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则OA+OB=(x1+x2,y1+ 2a c 2b c . 2 2,所以 y1+y2=x1+x2+2c= 2 a +b a +b2
2 2

y2),直线 AB 的方程为 y=x+c,代入椭圆方程并整理得(a2+b2)x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0.
由韦达定理得 x1+x2=-

→ → 根据OA+OB与 a=(3,-1)共线,得 x1+x2+3(y1+y2)=0,
6

2a c 2b c b 1 即- 2 +3? 2 =0,解得 2= ,所以 e= a +b2 a +b2 a 3

2

2

2

b2 6 1- 2= ,故选 B. a 3

x2 y2 14. [2016?武邑中学一轮检测]已知点 A, D 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点和上 a b
→ → 顶点,点 P 是线段 AD 上的任意一点,点 F1,F2 分别是椭圆的左,右焦点,且PF1?PF2的最大 11 值是 1,最小值是- ,则椭圆的标准方程为________. 5 答案

x2
4

+y =1

2

→ → 解析 设点 P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则PF1=(-c-x,-y),PF2=(c-x,-y), → → 2 2 2 所以PF1?PF2=x +y -c . 因为点 P 在线段 AD 上,所以 x +y 可以看作原点 O 至点 P 的距离的平方,易知当点 P 与点 A 重合时,x +y 取最大值 a ,当 OP⊥AD 时,x +y 取最小值
2 2 2 2 2 2 2

a2b2 . a2+b2 x2
2

a -c =1 ? ? 2 2 由题意,得? a b 11 2 2 2-c =- ? 5 ?a +b

2

2

,解得 a =4,b =1.即椭圆的标准方程为 +y =1. 4
2 2

2

2

15.[2016?武邑中学月考]已知圆 O:x +y =4,点 A( 3,0),以线段 AB 为直径的圆 内切于圆 O,记点 B 的轨迹为 Γ .

(1)求曲线 Γ 的方程; (2)直线 AB 交圆 O 于 C,D 两点,当 B 为 CD 的中点时,求直线 AB 的方程. 解 (1)设 AB 的中点为 M,切点为 N,连接 OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,取 A 关 于 y 轴的对称点 A′,连接 A′B,故|A′B|+|AB|=2(|OM|+|MN|)=4. 所以点 B 的轨迹是以 A′,A 为焦点,4 为长轴长的椭圆. 其中,a=2,c= 3,b=1, 则曲线 Γ 的方程为 +y =1. 4 (2)因为 B 为 CD 的中点,所以 OB⊥CD,

x2

2

7

→ → 则OB⊥AB.设 B(x0,y0), 则 x0(x0- 3)+y0=0.
2

x0 2 2 2 又 +y0=1,解得 x0= ,y0=± 4 3 3
则 kOB=± 2 ,所以 kAB=± 2, 2

2

则直线 AB 的方程为 2x+y- 6=0 或 2x-y- 6=0. 16. [2016?衡水中学热身]已知 F1,F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点

x2 y2 a b


P(- 2,1)在椭圆上,线段 PF2 与 y 轴的交点 M 满足PM+F2M=0.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 上任一动点 N(x0,y0)关于直线 y=2x 的对称点为 N1(x1,y1),求 3x1-4y1 的 取值范围. 解 (1)点 P(- 2,1)在椭圆上,



2 1 ∴ 2+ 2=1.①

a

b

→ → 又∵PM+F2M=0,M 在 y 轴上, ∴M 为 PF2 的中点, ∴- 2+c=0,c= 2. ∴a -b =2,② 联立①②,解得 b =2(b =-1 舍去), ∴a =4. 故所求椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2 (2)∵点 N(x0,y0)关于直线 y=2x 的对称点为 N1(x1,y1),
2 2 2 2 2

x2 y2

y -y ? ?x -x ?2=-1, ∴? y +y x +x =2? . ? ? 2 2
0 1 0 0 1 1 0 1

4y -3x ? ?x = 5 , 解得? 3y +4x ? ?y = 5 .
0 0 1 0 0 1

∴3x1-4y1=-5x0.

∵点 N(x0,y0)在椭圆 C: + =1 上, 4 2 ∴-2≤x0≤2,∴-10≤-5x0≤10, 即 3x1-4y1 的取值范围为[-10,10].
8

x2 y2


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