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北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末高二数学(理)试卷及答案


北京市西城区 2014 — 2015 学年度第一学期期末试卷(理科) 高二数学
试卷满分:150 分

2015.1
考试时间:120 分钟

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.

x2 ? y 2 ? 1的实轴长为( 1

. 双曲线 4
A. 4 B. 2



C. )

3

D. 1

2. 抛物线 x2 ? 4 y 的准线方程为( A. y ? 2 B. y ? ?2

C. y ? 1

D. y ? ?1 )

3. 已知 m, n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是( A. 若 m // ? , n // ? , 则 m // n C. 若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n

B. 若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? D. 若 m // ? , m ? n ,则 n ? ? )

2 4. 命题“ ?a, b ? R ,如果 a ? b ,则 a ? ab ”的否命题为( 2 A. ?a, b ? R ,如果 a ? ab ,则 a ? b 2 B. ?a, b ? R ,如果 a ? ab ,则 a ? b
2 C. ?a, b ? R ,如果 a ? ab ,则 a ? b 2 D. ?a, b ? R ,如果 a ? b ,则 a ? ab

5. 已知椭圆长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率为( A.

) D.

3 2

B.

1 2

C.

3 3

1 3

6. 已知直线 l1 : ax ? y ? 2 ? 0 和直线 l2 : x ? ay ? 2 ? 0 平行,则实数 a 的值为( A. 1 B. ?1 C. ?1 和 1 D.



2 3


7. “ a ? ?3 ”是“圆 x ? y ? 1与圆 ( x ? a) ? y ? 4 相切”的(
2 2 2 2

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

1

8. 如图所示, 汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部 分,灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直,灯泡位于抛物线的焦 点处. 已知灯口的直径是 24cm,灯深 10cm,那么灯泡与反光 镜的顶点(即截得抛物线的顶点)距离为( )
10cm 24cm

A.10cm

B. 7.2cm

C. 3.6cm

D. 2.4cm

9. 右图是正方体的平面展开图,在这个正方体中, 正确的命题是( ) F C D B

A. BD 与 CF 成 60 角 B. BD 与 EF 成 60 角 C. AB 与 CD 成 60 角 D. AB 与 EF 成 60 角 10. 如图,在边长为 2 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, E

A

P, Q 分别为棱 AB , A1D1 的中点,M , N 分别为面 BCC1B1 和
遇正方体的面反 DCC1D1 上的点. 一质点从点 P 射向点 M , 射(反射服从光的反射原理) ,反射到点 N ,再经平面反射, 恰好反射至点 Q . 则三条线段 PM , MN , NQ 的长度之和为 ( A. )

A1

Q

D1 N D B1

C1

M P B

C

A

22

B.

21

C.

2 5

D.

3 2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题中横线上. 11. 命题“ ?x ? R, x2 ? 2x ? 0 ”的否定是_______________. 12. 空间向量 a ? (?1,1, ?2) , b ? (1, ?2, ?1) , n ? ( x, y, ?2) ,且 n // b . 则 a ? n ? _______. 13. 右图是一个四棱锥的三视图,则该四棱锥的 体积为_______. 14. 已知 F 为双曲线 C :
2

2

2

正 (主) 视图

侧(左)视图

x ? y 2 ? 1 的一个焦点, 3

2

2

则点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距离为_______.

俯视图

2 2 15. 由直线 y ? x 上一点向圆 ( x ? 4) ? y ? 1引切线,则切线长的最小值为

.

16 .已知点 M (3,0) 和点 N (?3, 0) ,直线 PM , PN 的斜率乘积为常数 a ( a ? 0 ) ,设点 P 的轨迹为 C . 给出以下几个命题: ①存在非零常数 a ,使 C 上所有点到两点 (?4, 0), (4, 0) 距离之和为定值;
2

②存在非零常数 a ,使 C 上所有点到两点 (0, ?4), (0, 4) 距离之和为定值; ③不存在非零常数 a ,使 C 上所有点到两点 (?4, 0), (4, 0) 距离差的绝对值为定值; ④不存在非零常数 a ,使 C 上所有点到两点 (0, ?4), (0, 4) 距离差的绝对值为定值. 其中正确的命题是________.(填出所有正确命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 13 分) 如图,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥ 平面 ABE , ?AEB (Ⅰ)求证: AD // 平面 BCE ; (Ⅱ)求证: AE ? BF . D C

? 90o , F 为 CE 上的点.

F A E B

18.(本小题满分 13 分) 已知三个点 A(0, 0) , B(4, 0) , C (3,1) ,圆 M 为△ ABC 的外接圆. (Ⅰ)求圆 M 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? kx ? 1 与圆 M 交于 P, Q 两点,且 PQ ? 5 ,求 k 的值.

3

19.(本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD,底面四边形 ABCD 为直角梯形, AD // BC , AD ? AB ,

PA ? AD ? 2 , AB ? BC ? 1 , Q 为 PD 中点.
(Ⅰ)求证: PD ? BQ ; (Ⅱ)求直线 BQ 与平面 PCD 所成角的正弦值. Q P

A

D

B

C

20.(本小题满分 14 分)

x2 ? y 2 ? 1 ,直线 l 过点 (0, ?2) 与椭圆 W 交于两点 A, B , O 为坐标原点. 4 3 (Ⅰ)设 C 为 AB 的中点,当直线 l 的斜率为 时,求线段 OC 的长; 2 (Ⅱ)当△ OAB 面积等于 1 时,求直线 l 的斜率.
已知椭圆 W :

4

21.(本小题满分 13 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是矩形, AB ? 2 BC ? 4 , 四边形 CDEF 是等腰梯形, EF // DC ,

EF ? 2 ,且平面 ABCD ? 平面 CDEF , AF ? CF .
(Ⅰ)过 BD 与 AF 平行的平面与 CF 交于点 G . 求证: G 为 CF 的中点; (Ⅱ)求二面角 B ? AF ? D 的余弦值. E F G D A B C

22.(本小题满分 13 分) 如图,曲线 E 是由抛物线弧 E1 : y 2 ? 4 x ( 0 ? x ? 线,且 E1 与 E2 有相同的焦点. (Ⅰ)求椭圆弧 E2 的方程; (Ⅱ)设过点 F (1, 0) 的直线与曲线 E 交于 A, B 两点, | FA |? r1 , | FB |? r2 ,且 ?AFx ? ? ( 0 ? ? ? ? ),试用

2 x2 y2 2 )与椭圆弧 E2 : 2 ? 2 ? 1 ( ? x ? a )所围成的封闭曲 3 3 a b

cos? 表示 r1 ;并求

r1 的取值范围. r2

y

O

x

5

北京市西城区 2014 — 2015 学年度第一学期期末试卷 高二数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1.A 2.D 3.C 4. D 5. A 6. B 7.A 8. C 9.C 10. A

2015.1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 11. ?x ? R, x2 ? 2 x ? 0 14. 1 12. ?2 15. 7 13.

? 3

16. ②④

注:16 题,仅选出②或④得 3 分;错选得 0 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:因为四边形 ABCD 为矩形, 所以 AD // BC . 又因为 BC ? 平面 BCE , ??????2 分 D C

AD ? 平面 BCE ,??????4 分
所以 AD // 平面 BCE . ??????5 分 A

F B E ??????7 分

(Ⅱ)证明:因为 AD ? 平面 ABE , AD // BC , 所以 BC ? 平面 ABE ,则 AE ? BC . 又因为 ?AEB ? 90 ,
o

所以 AE ? BE . 所以 AE ? 平面 BCE . 又 BF ? 平面 BCE , 所以 AE ? BF . 18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)设圆 M 的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,
2 2

??????9 分 ??????11 分

??????13 分 ??????1 分

因为点 A(0, 0) , B(4, 0) , C (3,1) 在圆 M 上,则

?F ? 0 , ? 2 ?4 ? 4 D ? F ? 0, ?32 ? 12 ? 3D ? E ? F ? 0. ? 解得 D ? ?4 , E ? 2 , F ? 0 .
所以 ?ABC 外接圆的方程为 x ? y ? 4x ? 2 y ? 0 .
2 2

??????4 分 ??????6 分 ??????7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)圆 M 的圆心为 (2, ?1) ,半径为 5 . 又 PQ ? 5 ,所以圆 M 的圆心到直线 y ? kx ? 1 的距离为

15 .??????9 分 2

6

所以

2k
2

1+k 2 解得 k ? 15 . k ? ? 15 .
19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? AB PA ? AD ,

?

15 , 2

??????11 分 ??????13 分

又 AD ? AB , 如 图 , 建 立 以 A 为 原 点 , AB 为 x 轴 , AD 为 y 轴 , AP 为 z 轴 的 空 间 直 角 坐 标 系. ??????2 分 由已知, PA ? AD ? 2 , AB ? BC ? 1 , AD // BC . 所以, A(0, 0, 0) , B(1, 0, 0) , C (1,1, 0) , P z

D(0, 2,0) , P(0, 0, 2)

??????4 分 Q

又 Q 为 PD 中点,所以 Q(0,1,1) . 所以 PD ? (0, 2, ?2) , BQ ? (?1,1,1) , 所以 PD ? BQ ? 0 , 所以 PD ? BQ . ??????6 分 ??????7 分 B A

y D C

(注:若第一问不用空间向量,则第一问 4 分) (Ⅱ)解:设平面 PCD 的法向量为 n ? (a, b, c) , 则 n ? PD ? 0 , n ? CD ? 0 .又 CD ? (?1,1,0) , x

?2b ? 2c ? 0 , ??a ? b ? 0 令 c ? 1 ,得 a ? b ? 1 ,所以 n ? (1,1,1) .
所以 ? 因此 cos? BQ, n? ?

??????9 分 ??????11 分 ??????13 分

BQ ? n BQ n

?

1 ? ? , 3 3 3
? . 3

所以直线 BQ 与平面 PCD 所成角的正弦值为 20.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当直线 l 的斜率为

??????14 分

3 ? 时,直线 l 的方程为 y ? x ? 2 . ??????1 分 2 2
??????2 分

? ? y ? x ? 2, ? ? 2 2 由? 2 得 5x ? 12 x ? 6 ? 0 , ? x ? y2 ? 1 ? ?4 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C( x0 , y0 ) . 12 则 x1 ? x2 ? , 5 6 3 1 所以点 C 的坐标 x0 ? , y0 ? x0 ? 2 ? ? , 5 2 5 6 2 1 2 37 所以 OC ? ( ) ? (? ) ? . 5 5 5
(Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 2 ,
7

??????3 分 ??????4 分 ??????5 分

? x2 2 ? ? y ? 1, 由? 4 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ?16kx ? 12 ? 0 , ? y ? kx ? 2 ? 所以 ? ? (16k )2 ? 48(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 3) 16k 12 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

??????6 分 ??????7 分 ??????8 分

16k 2 12 ? 1? k 2 ( ) ? 4? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 4 1 ? k 2 4k 2 ? 3 . 1 ? 4k 2 2 原点 O 到直线 l 的距离 d ? . 1? k 2 所以△ OAB 面积为 ?
??????10 分 ??????11 分

1 1 4 1 ? k 2 4k 2 ? 3 2 4 4k 2 ? 3 . AB d ? ? ? ? 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1? k 2 因为△ OAB 面积等于 1 ,
4 4k 2 ? 3 ? 1, 1 ? 4k 2 7 解得 k ? ? , 2
所以 带入判别式检验,符合题意,所以 k ? ? 21. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:连接 AC 交 BD 于点 H , ??????12 分 ??????13 分

7 . 2

??????14 分

ABCD 为矩形,则 H 为 AC 中点,连接 GH .
因为 AF // 平面 BDG ,平面 ACF 所以 AF // HG . 所以 G 为 CF 的中点. (Ⅱ)解:在平面 CDEF 上作 FO ? CD ,垂足为 O , 由于平面 CDEF 为等腰梯形,所以 OC ? 1 , 因为且平面 ABCD ? 平面 DCFE , 所以 FO ? 平面 ABCD , 在平面 ABCD 中,作 OM ? CD ,交 AB 于 M , 所以 FO ? OM , 如图,以 O 为原点建立空间直角坐标系 O ? xyz . 平面 BDG ? GH ,

??????1 分 ??????2 分 ??????3 分 ??????4 分

??????5 分

??????6 分

则 A(2, ?3, 0) , B(2,1, 0) , C (0,1, 0) , D(0, ?3, 0) . 设 F (0,0, h) ( h ? 0 ). 因为 AF ? CF ,所以 AF ? CF ? 0 ,即 (?2,3, h) ? (0, ?1, h) ? 0 , 所以 0 ? 3 ? h ? 0 ,解得 h ? 3 .
2

??????7 分
8

设平面 ABF 的法向量为 n ? (a, b, c) , 而 AF ? (?2,3, 3) , AB ? (0, 4,0) ,

? ? ??2a ? 3b ? 3c ? 0, ? AF ? n ? 0, 由? 得? ? ? ?4b ? 0. ? AB ? n ? 0 令 c ? 2 ,解得 a ? 3 , b ? 0 .
所以 n ? ( 3,0, 2) . ??????9 分 A D 由于 AD ? (?2,0,0) , CF ? (0, ?1, 3) , 所以 AD ? CF ? 0 , CF ? AD , 又 CF ? AF ,所以 CF ? 平面 ADF , 所以 CF 为平面 ADF 的法向量,

z E F G O C H x M B y

??????11 分 ??????12 分

(0, ?1, 3) ? ( 3,0, 2) 2 3 21 . ? ? 7 4? 7 2 7 由图知,二面角 B ? AF ? D 的平面角为钝角, 21 所以二面角 B ? AF ? D 的余弦值为 ? . 7 cos?CF , n? ?
22. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)抛物线弧 E1 : y 2 ? 4 x 的焦点为 (1, 0) ,且 x ? 所以 ( , 所以 2a ?

??????13 分

2 8 2 时, y ? , 3 3
??????2 分

2 3

8 ) 为椭圆上一点,又椭圆的焦点为 (?1, 0), (1, 0) , 3

2 8 2 8 7 5 ( ? 1)2 ? ( ) 2 ? ( ? 1) 2 ? ( ) 2 ? ? ? 4 . ??????3 分 3 3 3 3 3 3
??????4 分

所以 a ? 2 ,

b2 ? a 2 ? 1 ? 3 ,
所以椭圆 E2 的方程为

2 x2 y 2 ? ? 1 ( ? x ? 2 ). 3 4 3

??????5 分

(Ⅱ)曲线 E 由两部分曲线 E1 和 E2 组成,所以按 A 在抛物线弧 E1 或椭圆弧 E2 上加以分类,由曲线 E 的对称性,不 妨设 A 在 x 轴上方(或 x 轴上). 当x? 当?

2 5 1 2 6 时, y ? ? ,此时 r ? , cos ? ? ? ; 3 3 5 3

1 ? cos ? ? 1 时, A 在椭圆弧 E2 上, 5

由题设知 A(1 ? r1 cos? , r1 sin ? ) , 将 A 点坐标代入

x2 y 2 ? ? 1 得, 3(1 ? r1 cos? )2 ? 4(r1 sin ? )2 ? 12 ? 0 , 4 3
2

整理得 (4 ? cos2 ? )r 1 ? 6r 1 cos? ? 9 ? 0 ,
9

3 3 或 r1 ? (舍去). ??????6 分 2 ? cos ? cos ? ? 2 1 当 ? 1 ? cos ? ? ? 时, A 在抛物线弧 E1 上,由抛物线定义可得 r 1 ? 2?r 1 cos? , 5 2 所以 r1 ? , ??????7 分 1 ? cos ? 1 2 1 3 综上,当 ? 1 ? cos ? ? ? 时, r1 ? ;当 ? ? cos ? ? 1 时, r1 ? . 5 1 ? cos ? 5 2 ? cos ?
解得 r1 ? 相应地, B(1 ? r2 cos(? ? ?), r2 sin(? ? ?)) ,

1 ? cos ? ? 1 时, B 在抛物线弧 E1 上, 5 2 所以 r2 ? 2 ? r2 cos(? ? ?) , r2 ? , ??????8 分 1 ? cos ? 1 当 ?1 ? cos ? ? 时, B 在椭圆弧 E2 上, 5 3 根据图形的对称性, r2 ? . ??????9 分 2 ? cos ? 1 所以,当 ? 1 ? cos ? ? ? 时 A 在抛物线弧 E1 上, B 在椭圆弧 E2 上, 5


r1 2 2 ? cos? 2 1 11 ? ? ? (1 ? ) ? [1, ] ; r2 1 ? cos? 3 3 1 ? cos? 9


??????10 分

1 ? cos ? ? 1 时 A 在椭圆弧 E2 上, B 在抛物线弧 E1 上, 5

r1 3 1 ? cos? 3 1 9 ? ? ? (1 ? ) ? [ ,1] ; r2 2 ? cos? 2 2 2 ? cos? 11
当?

??????11 分

1 1 ? cos ? ? 时 A 、 B 在椭圆弧 E2 上, 5 5

r1 3 2 ? cos? 2 ? cos? 9 11 ? ? ? ?( , ) ; r2 2 ? cos? 3 2 ? cos? 11 9
综上,

??????12 分

9 11 r1 的取值范围是 [ , ] . 11 9 r2

??????13 分

10


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