当前位置:首页 >> 数学 >>

第8讲 概率、离散型随机变量的分布列、期望、方差


第8讲

概率、离散型随机变量的分布列、
期望、方差

1.考题展望
高考对互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同 时发生的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望 的考查,一般是以综合题的形式综合考查,以其中一 小问考查互斥事件或独立事件的概率的计算,另一小 问考查随机变量的分布列和数学期望,试题难度中档, 同时考查

考生的运算求解能力和必然或然的数学思想, 考查考生思维的全面性与深刻性,以及阅读理解能力 和数据收集处理能力,考查分值12分,是大多数考生 的得分点之一.

2.高考真题 考题1(2012 全国新课标) 某个部件由三个

元件按如图所示方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作, 设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正 态分布 N(1 000,502),且各个元件能否正常工作 相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1 000 小时 3 的概率为 . 8

【解析】 由三个电子元件的使用寿命均服从正 态分布 N(1 000,502), 得:三个电子元件的使用寿命超过 1 000 小时 1 的概率都为 P= . 2 超过 1 000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的 3 2 概率 P1=1-(1-P) = , 4 那么该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率 3 为 P2=P1×P= . 8 【命题立意】本题考查互斥事件及独立事件的概 率,考查学生分析问题、解决问题的能力.

考题2(2012 湖北) 根据以往的经验,某工程施 工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影响 如下表: 300≤X 700≤ 降水量 X X<300 X≥900 <700 X<900 工期延误 0 2 6 10 天数 Y

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300, 700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:
(1)工期延误天数Y的均值与方差; (2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过 6天的概率.

【解析】(1)由已知条件和概率的加法公式有: P(X<300)=0.3,P(300≤X<700) =P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤x<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2. P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以 Y 的分布列为: Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3; D(Y)=(0-3)2 ×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10- 3)2×0.1=9.8.

(2)由概率的加法公式,P(X≥300)=1-P(X<300) (2)由概率的加法公式,P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7, =0.7, 又 P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9- 又 P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300) 0.3=0.6. =0.9-0.3=0.6. 由条件概率, P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300) 得 由条件概率, P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300) 得 P(300≤X<900) 0.6 6 = = = . P(300≤X<900) 0.6 6 0.7 7 P(X≥300) = = =. 0.7 7 工期延误 故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下, P(X≥300) 6 故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下, 工期延误 不超过 6 天的概率是 . 7 6 【命题立意】本题考查概率与统计的基础知识,概率统 不超过 6 天的概率是 . 7 计是高考的一个热点问题,几乎年年必考,熟练基础知 识是解决此类问题的关键. 【命题立意】本题考查概率与统计的基础知识,概率统 计是高考的一个热点问题,几乎年年必考,熟练基础知 识是解决此类问题的关键.

考题3(2012 全国新课标) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花, 然后以每枝 10 元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃 圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, 求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝), 整理得下表: 日需求 1 1 1 1 1 1 2 量n 4 5 6 7 8 9 0 1 2 1 1 1 1 1 频数 0 0 6 6 5 3 0

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概 率.
(ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润

(单位: 元),求X的分布列、数学期望及方差;
(ⅱ)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花, 你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.

【解析】 (1)当 n≥16 时, y=16×(10-5)=80, 当 n≤15 时,y=5n-5(16-n)=10n-80, ? 10n-80 (n≤15) ? 得:y=? (n∈N). ? 80 (n≥16) ?

(2)(ⅰ)X 可取 60,70,80, P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2, P(X=80)=0.7. X 的分布列为 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76. DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44.

(ⅱ)答案一: 花店一天应购进 16 枝玫瑰花. 理 由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的 利润(单位:元),那么 Y 的分布列为 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y 的 数 学 期 望 为 EY = 55×0.1 + 65×0.2 + 75×0.16+85×0.54=76.4

Y的方差为DY=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+ (75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04. 由以上的计算结果可以看出,DX<DY,即购进16枝玫 瑰花时利润波动相对较小.

另外,虽然EX<EY,但两者相差不大.
故花店一天应购进16枝玫瑰花.

答案二:花店一天应购进 17 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的 利润(单位:元),那么 Y 的分布列为 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54

Y 的 数 学 期 望 为 EY = 55×0.1 + 65×0.2 + 75×0.16 + 85×0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出,EX<EY,即购进17枝玫 瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润,故花 店一天应购进17枝玫瑰花. 【命题立意】本题主要考查概率、统计等基础知识, 考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查 函数与方程思想.

1.独立、互斥、对立事件的概率 (1)事件 A,B 是相互独立事件, 它们同时发生记作 A· B;两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件 发生的概率的积,即 P(A· B)=P(A)· P(B),并能推广到 n(n≥3)个. (2)如果事件 A, 互斥, B 那么事件 A+B 发生(即 A, B 中有一个发生)的概率等于事件 A, 分别发生的概率 B 的和,即 P(A+B)=P(A)+P(B),并能推广到 n(n≥3) 个. (3)对立事件的概率的和为 1,即 P(A)+P(-)=1, A 它的变式为 P(A)=1-P(-). A 求事件积的概率必须注意事件的独立性; 求事件和的概 率必须注意事件是否互斥.

2.独立重复试验 (1)如果在 1 次试验中某事件发生的概率为 p, 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)=Cnkpk(1-p)n-k. (2)要注意恰有 k 次发生和某指定的 k 次发生 的差异,对独立重复试验来说,前者的概率为 Cnkpk(1-p)n-k,后者的概率为 pk(1-p)n-k.

3.离散型随机变量的分布列、期望与方差 (1)主干知识:随机变量的可能取值,分布列, 期望,方差,二项分布,超几何分布. (2)基本公式: ①Eξ =x1p1+x2p2+?+xnpn. ②Dξ =(x1-Eξ)2·p1+(x2-Eξ)2·p2+? +(xn-Eξ)2·pn. ③E(aξ+b)=aEξ+b,D(aξ+b)=a2Dξ . ④ξ ~B(n,p),则 P(ξ=k)=Cnkpk(1-p)n-k, Eξ=np,Dξ=np(1-p).

1.二项分布 例1在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂,准备进行 某种实验,过圆锥的高的中点有一个不计厚度且平行于 圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区,其中小锥体 叫第一实验区,圆台体叫第二实验区,且两个实验区是 互通的.假设蜜蜂落入培养房内的任何位置是等可能的, 且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的. (1)求蜜蜂落入第二实验区的概率;

(2)若随机将10只蜜蜂染上红色,
求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率; (3)记X为落入第一实验区的蜜蜂数, 求随机变量X的数学期望EX.

【解析】(1)记“蜜蜂落入第一实验区”为事件 A, “蜜蜂落入第二实验区”为事件 B. 1 1 1 V小锥体 3·4·S圆锥底面·2h圆锥 依题意,P(A)= = 1 V圆锥体 ·S圆锥底面·h圆锥 3 1 = , 8 7 ∴P(B)=1-P(A)= . 8 7 ∴蜜蜂落入第二实验区的概率为 . 8

(2)记“蜜蜂被染上红色”为事件 C,事件 B,C 为 相互独立事件, 10 1 7 又 P(C)= = ,P(B)= , 40 4 8 1 7 7 ∴P(BC)=P(B)P(C)= × = . 4 8 32 7 ∴恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率为 . 32

(3)因为蜜蜂落入培养房内的任何位置是等可 能的,且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响 1 的,所以变量 X 服从二项分布,即 X~B(40, ). 8 1 ∴随机变量 X 的数学期望为 EX=40× =5. 8 【点评】二项分布相应的试验为独立重复试验,审 题时应思考试验模式是否具有独立重复试验特征, 若具有则相应的分布为二项分布, 由此可简化解答 过程.

2.超几何分布

例2厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批 产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数 量的产品做检验,以决定是否接收这批产品. (1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任 意取出4件进行检验,求至少有1件是合格品的概率;
(2)若厂家发给商家20件产品,其中有3件不合格,按合 同规定该商家从中任取2件,都进行检验,只有2件都合 格时才接收这批产品,否则拒收.求该商家可能检验出 不合格产品数的分布列及期望,并求该商家拒收这批产 品的概率.

【解析】(1)记“厂家任取4件产品检验,
其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A来算,

P(A)=1-P(

A )=1-0.24=0.998 4.

(2)记“商家任取 2 件产品检验, 其中不合格产品数为 i 件”(i=1, 2)为事件 Ai, C171C31 51 C32 3 P(A1)= ,P(A2)= 2= 2 = C20 190 C20 190 ∴商家拒收这批产品的概率 51 3 27 P=P(A1)+P(A2)= + = . 190 190 95 27 故商家拒收这批产品的概率为 . 95 ξ可能的取值为 0,1,2.

C172 68 C31C171 51 P(ξ=0)= 2= ,P(ξ=1)= = ,P(ξ=2) C20 95 C202 190 C32 3 = 2= C20 190 ξ 0 1 2 68 51 3 P 95 190 190 68 51 3 3 Eξ=0× +1× +2× = =0.3 95 190 190 10 记“商家任取 2 件产品检验,都合格”为事件 B,则 68 27 商家拒收这批产品的概率 P=1-P(B)=1- = , 95 95 27 所以商家拒收这批产品的概率为 . 95

【点评】超几何分布的题设情境特征是总体可划分为 二类,所求分布的随机变量是由其中的一类所抽取的 元素个数的变化而确定的,在整体抽取时,已知该类 元素抽取了多少,但不知道是第几次抽到.

3.随机变量的分布列和期望 例3一种电脑屏幕保护画面,只有符号“○” 和“×”随机地反复出现,每秒钟变化一次,每次 变化只出现“○”和“×”之一, 其中出现“○” 的概率为 p,出现“×”的概率为 q,若第 k 次出 现“○”, 则记 ak=1; 出现“×”, 则记 ak=-1, 令 Sn=a1+a2+?+an. 1 (1)当 p=q= 时,记 ξ=|S3|, 2 求 ξ 的分布列及数学期望; 1 2 (2)当 p= ,q= 时, 3 3 求 S8=2 且 Si≥0(i=1,2,3,4)的概率.

1 【解析】(1)∵ξ=|S3|的取值为 1,3,又 p=q= , 2 1 1 3 ∴P(ξ=1)=C31( )· )2·2= , ( 2 2 4 1 1 1 P(ξ=3)=( )3+( )3= . 2 2 4 ∴ξ的分布列为 ξ 1 3 3 1 P 4 4 3 1 3 ∴Eξ=1× +3× = . 4 4 2

(2)当 S8 =2 时,即前八秒出现“○”5 次和 “×”3 次,又已知 Si≥0(i=1,2,3,4),若第一、 三秒出现“○”,则其余六秒可任意出现“○”3 次;若第一、二秒出现“○”,第三秒出现“×”, 则后五秒可任出现“○”3 次.故此时的概率为 P= 2 3 30×8 80 80 3 3 1 5 (C6 +C5 )· ) ·( ) = 8 = 7 (或 ( ). 3 3 3 3 2 187 【点评】 求解离散型随机变量的分布列和数学期 望,在依题设分析随机变量的可能值时,既要获得取 值相应的数据,又要分析取得该值时相应的情况,以 便准确计算其概率.

4.期望与合情推理综合问题 例4工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的 任务,每次只派一个人进去,且每个人只派一次,工作 时间不超过10分钟.如果前一个人10分钟内不能完成任 务则撤出,再派下一个人.现在一共只有甲、乙、丙三 个人可派,他们各自能完成任务的概率分别为p1,p2, p3,假设p1,p2,p3互不相等,且假定各人能否完成任 务的事件相互独立.

(1)如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人,求任务 能被完成的概率.若改变三个人被派出的先后顺序,任 务能被完成的概率是否发生变化?
(2)若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概 率依次为q1 ,q2 ,q3 ,其中q1 ,q2 ,q3 是p1 ,p2 ,p3 的一 个排列,求所需派出人员数目X的分布列和均值(数学期 望)EX;

(3)假定1>p1>p2>p3,试分析以怎样的先后顺序派出人员, 可使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到最小.

【解析】(1)无论以怎样的顺序派出人员,
任务不能被完成的概率都是(1-p1)(1-p2)(1-p3), 所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无 关, 并等于1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)=p1+p2+p3-p1p2-p2p3 -p3p1+p1p2p3.

(2)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别 为 q1,q2,q3 时, 随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 p q1 (1-q1)q2 (1-q1)(1-q2) 所需派出的人员数目的均值(数学期望)是 EX=q1+2(1-q1)q2+3(1-q1)(1-q2) =3-2q1-q2+q1q2.

(3)解法一:由(2)的结论知,当以甲最先、乙次之、丙 最后的顺序派人时,EX=3-2p1-p2+p1p2. 根据常理,优先派出完成任务概率大的人,可减少所 需派出的人员数目的均值.

下面证明:对于p1,p2,p3的任意排列q1,q2,q3
都有3-2q1-q2+q1q2≥3-2p1-p2+p1p2.(*)

事实上,(3-2q1-q2+q1q2)-(3-2p1-p2+p1p2) =2(p1-q1)+(p2-q2)-p1p2+q1q2 =2(p1-q1)+(p2-q2)-(p1-q1)p2-q1(p2-q2)

=(2-p2)(p1-q1)+(1-q1)(p2-q2)
≥(1-q1)[(p1+p2)-(q1+q2)]≥0, 即(*)成立.

解法二:①可将(2)中所求的EX改写为3-(q1+q2)+q1q2 -q1,若交换前两人的派出顺序,则变为3-(q1 +q2)+ q1q2-q2,由此可见,当q2>q1时,交换前两人的派出顺 序可减小均值. ②也可将(2)中所求的EX改写为3-2q1-(1-q1)q2,若交 换后两人的派出顺序,则变为3-2q1-(1-q1)q3 ,由此 可见,若保持第一个派出的人选不变,当q3>q2时,交换 后两人的派出顺序也可减小均值.

综合①②可知,当(q1,q2,q3)=(p1,p2,p3)时,EX达 到最小,即完成任务概率大的人优先派出,可减小所需 派出人员数目的均值,这一结论是合乎常理的.

【点评】本题是2011年安徽卷的第20题,难度较大,考 查相互独立事件的概率计算,考查离散型随机变量及其 分布列、均值等基本知识,考查在复杂情境下处理问题 的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理,分类 讨论思想,应用意识与创新意识.

〔备选题〕例5甲盒有标号分别为 1,2,3 的 3 个红球;乙盒有标号分别为 1,2,?,n(n≥2) 的 n 个黑球,从甲、乙两盒中各抽取一个小球,抽 1 取的标号恰好分别为 1 和 n 的概率为 . 12 (1)求 n 的值; (2)现从甲、乙两盒各随机抽取 1 个小球,抽 得红球的得分为其标号数;抽得黑球,若标号数为 奇数, 则得分为 1; 若标号数为偶数, 则得分为零. 设 被抽取的 2 个小球得分之和为 ξ,求 ξ 的数学期望 Eξ.

1 1 【解析】(1)由题意知 = ,∴n=4. 3n 12 1 C21 1 (2)P(ξ=1)= 1· 1= , C3 C4 6 C11 C21 C11 C21 1 1 1 P(ξ=2)= 1· 1+ 1· 1= + = , C3 C4 C3 C4 6 6 3 C11 C21 C11 C21 1 1 1 P(ξ=3)= 1· 1+ 1· 1= + = , C3 C4 C3 C4 6 6 3 C11 C21 1 P(ξ=4)= 1· 1= , C3 C4 6 1 1 1 1 5 ∴Eξ=1× +2× +3× +4× = . 6 3 3 6 2

1.求复杂事件的概率,一般有两种方法:
(1)直接求解:将所求事件的概率分成一些彼此互斥 事件的概率之和; (2)间接求解:先求出此事件的对立事件概率,再用 公式P(A)=1-P( A ),即运用“正难则反”的方法 求解.常见题型为含“至多”、“至少”等问题.

2.解决概率问题的一般步骤可概括如下: 第一步:确定事件的性质,等可能事件、 互斥事件、几何概型、独立事件或独立重复试 验. 第二步:判断事件的运算为积事件还是和 事件. 第三步:运用公式,等可能性事件:P(A) m = n ;互斥事件:P(A+B)=P(A)+P(B);独立 事件:P(A· B)=P(A)· P(B);n 次独立重复试验: Pn(k)=Cnkpk(1-p)n-k.

3.离散型随机变量的分布列,期望与方差问题往往是以 实际应用性问题形式出现,理解题意是解题关键,运用 分类讨论思想进行思考,通过合理分类寻找随机变量的 可能取值,准确计算随机变量相应的概率,因此努力培 养阅读理解能力,准确迅速的运算能力和分析问题以及 解决问题的思维能力显然十分重要.

1.有 n 位同学参加某项选拔测试,每位同学 能通过测试的概率都是 p(0<p<1), 假设每位同学 能否通过测试是相互独立的, 则至少有一位同学能 通过测试的概率为( D ) A.(1-p)n B.1-pn C.pn D.1-(1-p)n 【解析】 显然 n 位同学参加某项选拔测试可看作 n 次独立重复试验, 其中没有一位同学能通过测试的 概率为(1-p)n, 故至少有一位同学能通过测试的概 率为 1-(1-p)n.

2.甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是 甲队只要再赢一局就获冠军, 乙队需要再赢两局才 能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得 冠军的概率为( D ) 1 3 2 3 A. B. C. D. 2 5 3 4 【解析】由题得甲队获得冠军有两种情况,第一局 胜或第一局输第二局胜, 所以甲队获得冠军的概率 1 1 1 3 P= + × = ,所以选 D. 2 2 2 4

3.随机变量 ξ 的分布列如下: ξ P -1 a 0 b 1 c



1 其中 a,b,c 成等差数列,若 Eξ= ,则 Dξ 的值 3 5 9 .

?a+b+c=3b=1 ? 【解析】依题意得? ,即 1 ?-a+c=3 ? 1 ? ?a=6 5 ? ,由此解得 Dξ= . 9 1 ?c= ? 2

4.设 ξ 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,用 ξ=0 代表两条棱相交.则 4 11 . 概率 P(ξ=0)= 【解析】若两条棱相交,则交点必为正方体 8 个顶点中的一个,过任意 1 个顶点恰有 3 条棱.∴ 共有 8C32 对相交棱. ∴ 8C32 8×3 4 P(ξ=0)= 2 = = . C12 66 11

5.如图,旋转一次圆盘,指针落在 圆盘 3 分处的概率为 a,落在圆盘 2 分处 的概率为 b,落在圆盘 0 分处的概率为 c(不考虑边界情况).已知旋转一次圆盘 1 得分的数学期望为 2,则 ab 的最大值为 6



【解析】∵Eξ=2,∴3a+2b+0×c=2. 又∵a+b+c=1, ?a+b+c=1 ?a=2c ? ? 联立? ?? , ?3a+2b=2 ?b=1-3c ? ? 12 1 ∴ab=2c(1-3c)=-6(c- ) + , 6 6 ? ?a=1 3 ? ? 1 1 即当?b=2时,ab 取得最大值 . 6 ? ? 1 ?c=6 ?

6.栽培甲、乙两种果树,先要培育成苗,然后再进 行移栽.已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为0.6, 0.5,移栽后成活的概率分别为0.7,0.9.则恰好有一种 果树能培育成苗且移栽成活的概率为 0.492 .

【解析】解法一:分别记甲、乙两种果树成苗 为事件 A1,A2;分别记甲、乙两种果树苗移栽成 活为事件 B1,B2,P(A1)=0.6,P(A2)=0.5,P(B1) =0.7,P(B2)=0.9. 分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件 A,B,则 P(A)=P(A1B1)=0.42, P(B)=P(A2B2)= 0.45. 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率 为 P(A B + AB)=0.42×0.55+0.58×0.45=0.492.

解法二:恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率 为 P(A1B1 A 2+A1B1A2 B 2+ A 1A2B2+A1B 1A2B2)=0.492.

7.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有 4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出 一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的 球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出 一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下 列结论中正确的是 ②④ .(写出所有正确结论的 编号).

2 ①P(B)= ; 5 5 ②P(B|A1)= ; 11 ③事件 B 与事件 A1 相互独立; ④A1,A2,A3 是两两互斥的事件; ⑤P(B)的值不能确定,因为它与 A1,A2,A3 中究竟哪一个发生有关.

【解析】①P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)= 5×5 2×4 3×4 9 + + = ,所以①、⑤错; 10×11 10×11 10×11 22 5×5 10×11 5 ②P(B|A1)= = ,正确; 1 11 2 ③事件 B 与 A1 的发生有关系,所以错; ④A1,A2,A3 不能同时发生,是互斥事件.

8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18,19,20 层可以停靠.若该电梯在底层载有 5 位乘客, 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概 1 率均为 , ξ 表示这 5 位乘客在第 20 层下电梯的 用 3 人数.求: (1)随机变量 ξ 的分布列; (2)随机变量ξ 的期望.

解析】解法一:(1)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3, 4,5. 由等可能性事件的概率公式得 C51·24 80 25 32 P(ξ=0)= 5= , P(ξ=1)= = 3 243 35 243 C52·23 80 C53·22 40 P(ξ=2)= = ,P(ξ=3)= = 35 243 35 243 C54·2 10 1 1 P(ξ=4)= = ,P(ξ=5)= 5= . 35 243 3 243

从而 ξ 的分布列为 1 2 3 4 5 ξ 0 32 80 80 40 10 1 P 243 243 243 243 243 243 (2)由(1)得 ξ 的期望为 32 80 80 40 E ξ =0× 243 +1× 243 +2× 243 +3× 243 + 10 1 5 4× +5× = . 243 243 3

解法二:(1)考察一位乘客是否在第 20 层下电 梯为一次试验,这是 5 次独立重复试验. 1 k 1 k 2 5 -k 故 ξ~B(5, ),即有 P(ξ=k)=C5 ( ) ( ) ,k 3 3 3 =0,1,2,3,4,5. 由此计算 ξ 的分布列如解法一.

(2)同解法一. 解法三:(1)同解法一或解法二. (2)由对称性与等可能性,在三层的任一层下电梯 的人数同分布,故期望值相等. 5 即 3Eξ=5,从而 Eξ= . 3

9.一批产品共10件,其中7件正品,3件次品,每次从这 批产品中任取一件,在下述三种情况下,分别求直至取 得正品为止所需次数ξ的概率分布.

(1)每次取出的产品不再放回;
(2)每次取出的产品仍然放回去; (3)每次取出一件次品后,再另放一件正品放回到这批产 品中.

【解析】(1)由于总共 7 件正品,3 件次品,所以 ξ 可能取的值有 1,2,3,4. 取这些值时的概率分别为: 7 3 7 7 P(ξ=1)= ,P(ξ=2)= ? = 10 10 9 30 3 2 7 7 P(ξ=3)= ? ? = , 10 9 8 120 3 2 1 7 1 P(ξ=4)= ? ? ? = . 10 9 8 7 120

所以,ξ 的分布列为: ξ 1 2 3 4 7 7 7 1 P 10 30 120 120

(2)由于每次取出的产品仍放回去, 下次取时和 前一次情况完全相同,所以,ξ可能取的值是 1, 2,3,?k,?,相应取值的概率为: 7 P(ξ=1)= , 10 3 7 21 P(ξ=2)= ? = , 10 10 100 3 3 7 63 P(ξ=3)= ? ? = , 10 10 10 1 000 ? 3 k-1 7 ? ? ?ξ=k?=( P? ) ? . ? 10 10

(3)与(1)的情况类似, ξ 可能取的值有 1,2, 3,4. 取这些值时的概率分别为: 7 P(ξ=1)= , 10 3 8 6 P(ξ=2)= ? = , 10 10 25 3 2 9 27 P(ξ=3)= ? ? = , 10 10 10 500 3 2 1 10 3 P(ξ=4)= ? ? ? = . 10 10 10 10 500

所以,ξ 的分布列为: ξ 1 2 3 4 7 6 27 3 P 10 25 500 500


相关文章:
离散型随机变量分布列及期望方差
离散型随机变量分布列期望方差_数学_高中教育_教育专区。【本讲教育信息】一....第8讲 概率、离散型随机... 70页 免费 第68讲 离散型随机变量的... 69...
8离散型随机变量的分布列、期望与方差
离散型随机变量的分布期望方差【学习目标】 1、理解取有限个值的离散型随机...的分布列 X P 1-p ,则称 X 服从两点分布,并称 p=P(X=1)为成功概率....
离散型随机变量的分布列、期望与方差
离散型随机变量的分布列期望方差_数学_高中教育_教育专区。第三十六讲一、...8 环,学生容易认为其概率值为 0.2× 0.3,没有考虑到两次射击依次为 7 环...
60.离散型随机变量的期望和方差(答案)
考查概率时考查的重点,复习时,要掌握期 望方差的计算公式,并能运用其性质解题. 基础梳理 1.离散型随机变量的期望方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X...
概率及离散型随机变量分布列和期望与方差及答案
概率离散型随机变量分布列期望方差及答案。答案 概率离散型随机变量分布...在一次考试中排名全班第一的概率:语文为 0.9 , 数学为 0.8 , 英语为 0....
离散型随机变量及其分布列、期望与方差
离散型随机变量及其分布列期望方差_高二数学_数学_高中教育_教育专区。最新精...值的概率等于分别取其中每个值的概率之和; D.X 在某一范围内取值的概率大于...
第二讲 概率、随机变量及其分布列、期望与方差
第二讲 概率、随机变量及其分布列、期望方差_数学_高中教育_教育专区。高三...A? 。 2.离散型随机变量的分布列及数字特征 (1)离散型随机变量的分布列 ①...
离散型随机变量的分布列、期望、方差 复习指导
离散型随机变量的分布列期望方差 复习指导_从业资格考试_资格考试/认证_教育...第8讲 概率、离散型随机... 70页 免费 第四讲 离散型随机变... 4页 1...
概率及离散型随机变量分布列和期望与方差
概率离散型随机变量分布列期望方差 概率离散型随机变量分布列期望方差 1.判断下列给出的每对事件,(1)是否为互斥事件,(2)是否为对立事件,并说明道理...
更多相关标签:
离散型随机变量的方差 | 离散型随机变量的期望 | 离散型随机变量方差 | 离散型随机变量期望 | 离散型随机变量协方差 | 离散型随机变量期望值 | 离散型随机变量求期望 | 离散型随机变量概率 |