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山东版2016届高三第六次月考 数学(理) Word版含答案


第六次月考数学理试题【山东版】

2.下列说法正确的是

,则x ? 1 ”的否命题为“若 x2 ? 1, 则x ? 1 ” A.命题“若 x ? 1
2

2 B.命题“ ?x0 ? R,x0 ? x0 ?1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ?1 ? 0 ”
2

C.命题“若 x ? y, 则 sin x ? sin y ”的逆命题为假命题 D.若“p 或 q”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题 3.执行如右图所示的程序框图,输出的 k 值是 A.4 B.5 C.6 D.7 4.若 z ? sin ? ?

3 ? 4? ? i ? cos ? ? ? 是纯虚数,则 tan ?? ? ? ? 的值为 5 ? 5?
4 3
C. ?

A.

3 4

B.

3 4

D. ?

4 3

5.某种运动繁殖量 y (只)与时间 x (年)的关系为 y ? a log3 ? x ?1? , 设这种动物第 2 年有 100 只,到第 8 年它们发展到 A.200 只 B.300 只 C.400 只 D.500 只

6.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则该几何 体的体积为 A.

3 3

B.1

C.

2 3 3

D. 3

7. 已 知 集合 A ? x 2 x 2 ? x ? 3 ? 0 , B ? ? x y ? lg

?

?

? ?

1? x ? ? , 在 区 间 ? ?3, 3? 上任 取 一实 数 x , 则 x ? 3?

x ? A ? B的概率为 1 1 A. B. 4 8

C.

1 3

D.

1 12

8.各项都是正数的等比数列 ?an ? 中,且 a2, a3 , a1 成等差数列,则

1 2

a3 ? a4 的值为 a4 ? a5

A.

5 ?1 2

B.

5 ?1 2
2

C.

1? 5 2

D.

5 ?1 1? 5 或 2 2
b?2 的取值 a ?1

9.实系数一元二次方程 x ? ax ? 2b ? 0 的一个根在 ? 0,1? 上,另一个根在 ?1, 2 ? 上,则 范围是 A. ?1, 4? B. ?1, 4 ? C. ? ,1? ?4 ?

?1 ?

D. ?

?1 ? ,1? ?4 ?

10.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左右焦点分别为 F1 , F2 ,两条曲线在第一象限的 交点为 P , ?PF 1F 2 是以 PF 1 为底边的等腰三角形 . 若 PF 1 ? 10 ,椭圆与双曲线的离心率分别为

e1,e2,则e1 ? e2 的取值范围是
A.

?0, ???

B. ? , ?? ?

?1 ?3

? ?

C. ? , ?? ?

?1 ?5

? ?

D. ? , ?? ?

?1 ?9

? ?

第 II 卷(共 100 分) 注意事项: 1.第 II 卷包括 5 道填空题,6 道解答题. 2.第 II 卷所有题目的答案, 考生需用 0.5 毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内, 在试卷上答 题不得分. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.答案须填在答题纸相应的横线上. 11.将函数 f ? x ? ? 2sin ? x ?

? ?

??

? 的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半,纵坐标保持不变得到新 3?

函数 g ? x ? ,则 g ? x ? 的最小正周期是__________. 12.已知直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 和圆心为 C 的圆 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 A,B 两点,则线段 AB
2 2

的长度等于__________. 13.若 ? x ?

? ?

3? ? 的展开式的各项系数绝对值之和为 1024,则展开式中 x 项的系数为_________. x?

n

14.由曲线 y ?

x ,直线 y ? x ? 2及y 轴所围成的图形的面积为__________.

15.对大于或等于 2 的正整数的幂运算有如下分解方式:
2 22 ? 1 ? 3 , 23 ? 1 ? 3 ? 5 ,4 ? ? 1 ? 3 ? 5;? 7?, ?

22 ? 3 ? 5 , 33 ? 7 ? 9 ? 13 1, 4 ?

1 ?3 ? 15 ? 17 ?1 ?? 9,

.

根 据 上 述 分 解 规 律 , 若 m2 ? 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? 11, p3 的 分 解 中 最 小 的 正 整 数 是 21 , 则

m ? p ? ___________.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答时用 0.5 毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内,写 出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分)已知向量 m ?

u r

?

u r r r ? 1? 3 sin x ? cos x,1 , n ? ? cos x, ? ,若 f ? x ? ? m ? n . 2? ?

?

(I)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (II)已知 ?ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 a ? 3 , f ? 锐角) , 2sin C ? sin B ,求 A、 c、b 的值.

3 ?A ? ? (A 为 ? ?? ? 2 12 ? 2

17.(本题满分 12 分)口袋中装着标有数字 1,2,3,4 的小球各 2 个,从口袋中任取 3 个小球,按 3 个小球上最大数字的 8 倍计分,每个小球被取出的可能性相等,用 ? 表示取出的 3 个小球上的最 大数字,求: (I)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率; (II)随机变量 ? 的概率分布和数学期望; (III)计分介于 17 分到 35 分之间的概率.

18. ( 本 题 满 分

12

分 ) 在 如 图 的 多 面 体 中 , EF ? 平 面

AEB ,

AE ? EB, AD / / EF , EF / / BC, BC ? 2 AD ? 4, EF ? 3, AE ? BE ? 2, G是BC的中点. ( I ) 求
证:AB//平面 DEG; (II)求二面角 C ? DF ? E 的余弦值.

19.(本题满分 12 分) 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点为 an an ?1

?

cn , 0 ,一条渐近线方程为 y ?

?

2 x ,其中 ?an ? 是以 4 2

为首项的正数数列. (I)求数列 ?cn ? 的通项公式; (II)若不等式 取值范围.

1 2 n n 2 ? ?L? ? ? ? log a x ? a ? 1? 对一切正常整数 n 恒成立,求实数 x 的 n c1 c2 cn 3 ? 2 3

x2 y 2 20.(本题满分 13 分)在直角坐标系 xOy ,椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 a b
5 F1、F2 .其中 F2 也是抛物线 C2:y 2 ? 4x 的焦点,点 M 为 C1与C2 在第一象限的交点,且 MF2 ? . 3
(I)求椭圆 C1 的方程; (II)若过点 D(4,0)的直线 l与C1 交于不同的两点 A、B,且 A 在 DB 之间,试求 ?AOD与? BOD 面积之比的取值范围.

21.(本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ?

1 2 ax ? bx ? a ? 0 ? . 2

(I)若 a ? ?2 时,函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在其定义域上是增函数,求 b 的取值范围; (II)在(I)的结论下,设函数 ? ? x ? ? e
2x

? bex , x ??0,ln 2? ,求函数 ? ? x ? 的最小值;

(III)设函数 f ? x ? 的图象 C1 与函数 g ? x ? 的图象 C2 交于 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线 分别交 C1、C2 于点 M、 N, 问是否存在点 R, 使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处的切线平行?若存在,

求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.

(Ⅱ)∵

f(

? ? A ? 3 又 0 ? A ? ,∴ A ? ? )? s i A n? 2 3 2 12 2


…………………8 分 ………………………9 分 ………………………10 分

∵ 2sin C ? sin B .由正弦定理得 b ? 2c,
2 2 ∵ a ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? b ? c ? 2bc cos

?
3

, ②

解①②组成的方程组,得 ? 综上 A ?

?c ? 3 . ?b ? 2 3
………………………12 分

?
3

,b ? 2 3 ,c ? 3.

17.( 满分 12 分) 解: (Ⅰ)“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A , 则 P( A) ?
3 1 1 1 C4 ? C2 ? C2 ? C2 4 ? . 3 C8 7

……………………………3 分

(Ⅱ)由题意 ? 所有可能的取值为:2,3,4.

P(? ? 2) ?

2 1 1 2 2 1 1 2 C2 ? C2 ? C2 ? C2 C4 ? C2 ? C4 ? C2 1 2 ? ; P ( ? ? 3) ? ? ; 3 3 C8 14 C8 7

P(? ? 4) ?

2 1 1 2 C6 ? C2 ? C6 ? C2 9 ? ; 3 C8 14

……………………………7 分

所以随机变量 ? 的概率分布为

?
P

2

3

4

2 9 7 14 1 2 9 4 ? 3? ? 4 ? ? 3 . 因此 ? 的数学期望为 E? ? 2 ? 14 7 14 7

1 14

……………………………9 分

(Ⅲ)“一次取球所得计分介于 17 分到 35 分之间”的事件记为 C ,则

P(C ) ? P(? ? 3或? ? 4) ? P(? ? 3) ? P(? ? 4) ?
18.( 满分 12 分)

2 9 13 ? ? . …………………12 分 7 14 14

(Ⅰ)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC ,∴ AD / / BC . 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD/ /BG , ∴四边形 ADGB 是平行四边形,∴ AB / / DG . ……………………………2 分 ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG . ……………4 分 (Ⅱ)解∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , BE ? 平面 AEB , ∴ EF ? AE , EF ? BE , 又 AE ? EB ,∴ EB, EF , EA 两两垂直. 以点 E 为坐标原点,以 EB, EF , EA 所在直线分别为 x, y, z 轴建立如图的空间直角坐标系. …………………6 分 由已知得, A (0,0,2) , B (2,0,0) , C (2,4,0) , F (0,3,0) , D (0,2,2) .…………7 分 由已知得 EB ? (2,0,0) 是平面 EFDA 的法向量. 设平面 DCF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , ∵ FD ? (0, ?1,2), FC ? (2,1,0) ,

A

z

D

??? ?

……8 分
x B

E

F

y

G

C

??? ?

??? ?

??? ? ? ? ?? y ? 2 z ? 0 ? FD ? n ? 0 ∴ ? ??? ,即 ? ,令 z ? 1 ,得 n ? (?1, 2,1) . ? ? ?2 x ? y ? 0 ? ? FC ? n ? 0
设二面角 C ? DF ? E 的大小为 ? ,由图知 ? 为钝角, ∴ cos ? ? ? | cos ? n, EB ?|? ? |

…………………10 分

??? ?

?2 6 , |? ? 6 2 6
6 . 6
…………………12 分

∴二面角 C ? DF ? E 的余弦值为 ?

19. ( 满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点为( cn ,0),∴ cn ? an ? an?1 .…1 分 an an ?1
an a 2 ? 2 ,即 n =2, x ,∴ a n ?1 2 a n ?1
…………………3 分

又∵一条渐近线方程为 y ?

20. ( 满分 13 分) 解: (Ⅰ)依题意知 F2 (1,0) ,设 M ( x1 , y1 ) . 由抛物线定义得 | MF2 |? 1 ? x1 ?

5 2 ,即 x1 ? . 3 3

………………1 分

将 x1 ?

2 6 2 代人抛物线方程得 y1 ? , 3 3

………………2 分

2 2 6 2 ( )2 ( ) 2 2 ? 1 及 a 2 ? b2 ? 1,解得 a ? 4, b ? 3 . 进而由 3 2 ? 32 a b

x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆 C1 的方程为 4 3

………………5 分

(Ⅱ)依题意知直线 l 的斜率存在且不为 0,设 l 的方程为 x ? my ? 4 代人 整理得 (3m2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 由 ? ? 0 ,解得 m 2 ? 4 .

x2 y 2 ? ? 1, 4 3

………………6 分 ………………7 分

?24 m ? ? y1 ? y2 ? 3m2 ? 4 ? 设 A( x , y ), B( x , y ) ,则 y1 ? y2 ? 36 ? 3 m2 ? 4 ?
1 1 2 2

① ②
………………8 分

1 OD ? y 1 y S?AOD 2 ? 1 且 0 ? ? ? 1. 令? ? ,则 ? ? 1 S?BOD OD ? y2 y2 2
?24m ? (? ? 1) y2 ? ? ? 3m 2 ? 4 将 y1 ? ? y2 代人①②得 ? ? ? y 2 ? 36 2 ? 3m 2 ? 4 ?
即m ?
2

………………9 分

,消去 y 2 得

(? ? 1)2

?

?

16m2 , 3m2 ? 4

4(? ? 1) 2 . 10? ? 3? 2 ? 3

………………10 分

2 由m ? 4得

(? ? 1)2 ? 1 ,所以 ? ? 1 且 3? 2 ? 10? ? 3 ? 0 , 10? ? 3? 2 ? 3
………………12 分

解得

1 ? ? ? 1或 . 1? ? ? 3 3 1 ? ? ?1 3 1 3

又? 0 ? ? ? 1 ,∴

1) . 故 ?ODA 与 ?ODB 面积之比的取值范围为 ( ,
21. ( 满分 14 分) 解: (Ⅰ)依题意: h( x) ? ln x ? x 2 ? bx. ∵ h( x)在(0,??) 上是增函数, ∴ h?( x) ?

………………13 分

1 1 ? 2 x ? b ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,∴ b ? (2 x ? ) min x x

………………2 分

∵ x ? 0, 则

2 1 ? 2 x ? 2 2 . 当且仅当 x ? 时取等号. 2 x
………………4 分

∴b 的取值范围为 (??,2 2 ]. (Ⅱ)设 t ?e x , 则函数化为 y ? t 2 ? bt, t ? [1,2] ,即 y ? (t ? ) ?
2

b 2

b2 , t ? [1, 2] .…5 分 4

∴当 ?

b ? 1, 即 ? 2 ? b ? 2 2时,函数 y在[1,2] 上为增函数,当 t=1 时, y min ? b ? 1. 2

b2 b b ; 当 1 ? ? ? 2, 即 ? 4 ? b ? ?2时, 当t ? ? 时, y min ? ? 2 2 4
当?

b ? 2,即b ? ?4时, 函数y在[1, 2] 上为减函数,当 t=2 时, ymin ? 4 ? 2b. ……8 分 2

? ( x) min
综上所述,

(b ? ?4) ?4 ? 2b ? 2 ? b ?? ? (?4 ? b ? ?2) ? 4 ? ? b ? 1 (?2 ? b ? 2 2)

………………9 分

(Ⅲ) 设点 P、 Q 的坐标是 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),且0 ? x1 ? x2 . 则点 M、 N 的横坐标为 x ?

x1 ? x 2 . 2

C1 在 M 处的切线斜率为 k1 ?

2 . x1 ? x2

所以 r (u)在[1,??) 上单调递增,故 r (u) ? r (1) ? 0 ,则 ln u ?

2(u ? 1) , u ?1

这与①矛盾,假设不成立,故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.……14 分


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