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2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.2双曲线及其性质课时练理


2017 高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.2 双曲线及其 性质课时练 理
时间:60 分钟 基础组 1.[2016?武邑中学模拟]已知双曲线

x y2 2 - =1 的一个焦点与抛物线 y =4x 的焦点重 a2 b2
)

2

合,且双曲线的离心率等于 5,则该双曲线的方程为( 4y 2 A.5x - =1 5 C. - =1 5 4 答案 D 解析 ∵抛物线的焦点为 F(1,0),∴c=1. 又 = 5,∴a=
2

B. - =1 5 4 5y D.5x - =1 4
2 2

x

2

y

2

y2 x2

c a

1

1 4 2 2 2 ,∴b =c -a =1- = . 5 5 5
2

5y 2 故所求方程为 5x - =1,故选 D. 4 2 .[2016?枣强中学一轮检测]“m<8”是“方程 ( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 A 解析 方程 - =1 表示双曲线,则(m-8)(m-10)>0,解得 m<8 或 m>10,故 m-10 m-8 - =1 表示双曲线”的充分不必要条件,故选 A. m-10 m-8 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 m-10



y2 m-8

= 1 表示双曲线”的

x2

y2

“m<8”是“方程

x2

y2

3. [2016?衡水中学周测]已知点 M(-3,0)、N(3,0)、B(1,0),动圆 C 与直线 MN 相切 于点 B,分别过点 M、N 且与圆 C 相切的两条直线相交于点 P,则点 P 的轨迹方程为( A.x - =1(x>1) 8 C.x - =1(x>0) 8 答案 A 解析 如图所示,设两切线分别与圆相切于点 S、T,则|PM|-|PN|=(|PS|+|SM|)- (|PT|+|TN|)=|SM|-|TN|=|BM|-|BN|=2=2a,所以所求曲线为双曲线的右支且不能与
2 2

y

2 2

B.x - =1(x>0) 10 D.x - =1(x>1) 10
2

y

2

y2

y2

y2 x 轴相交,a=1,c=3,所以 b2=8,故点 P 的轨迹方程为 x2- =1(x>1).
8

1

4.[2016?冀州中学月考]以正三角形 ABC 的顶点 A,B 为焦点的双曲线恰好平分边 AC,

BC,则双曲线的离心率为(
A. 3-1 C. 3+1 答案 C

) B.2 D.2 3

解析 如图,设|AB|=2c,显然|AD|=c,|BD|= 3c,即( 3-1)c=2a,

∴e=

= 3+1,∴选 C. 3-1

2

5.[2016?武邑中学周测]已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 3,则双曲线的 渐近线方程为( A.y=± 2 x 2 ) B.y=± 2x 1 D.y=± x 2

y2 x2 a b

C.y=±2x 答案 A

解析 由题意得,双曲线的离心率 e= = 3,故 =

c a

a b

2 ,故双曲线的渐近线方程为 y 2

2

=±

2 x,选 A. 2

x2 y2 6. [2016?衡水中学月考]已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 2 5,抛物线 a b y= x2+1 与双曲线 C 的渐近线相切,则双曲线 C 的方程为(
A. - =1 8 2 C.x - =1 4 答案 D
2

1 16

)

x2 y2

B. - =1 2 8 D. -y =1 4

x2 y2 x2

y2

2

b b 1 2 1 2 b 解析 由对称性,取一条渐近线 y= x 即可,把 y= x 代入 y= x +1,得 x - x+ a a 16 16 a
1=0,由题意得 Δ = 2-4? =1,a =4,选 D. 7.[2016?枣强中学猜题]已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点为 F1,左、右顶点 分别为 A1、A2,P 为双曲线上任意一点,则分别以线段 PF1,A1A2 为直径的两个圆的位置关系 为( ) A.相交 C.相离 答案 B 解析 设以线段 PF1,A1A2 为直径的两圆的半径分别为 r1,r2,若 P 在双曲线左支,如图 1 1 1 所示,则|O2O1|= |PF2|= (|PF1|+2a)= |PF1|+a=r1+r2,即圆心距为半径之和,两圆外 2 2 2 切,若 P 在双曲线右支,同理求得|O2O1|=r1-r2,故此时,两圆相内切,综上,两圆相切, 故选 B. 8.[2016?衡水中学期中]已知 F1,F2 为双曲线 C:x -y =2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=( )
2 2 2

b2 a

1 2 2 2 2 2 2 2 ?1=0,即 a =4b ,又 c= 5,∴c =a +b =5b =5,∴b 16

x2 y2 a b

B.相切 D.以上情况都有可能

3

A. C.

1 4 3 4

B. D.

3 5 4 5

答案 C 解析 由题意可知 a=b= 2,∴c=2. ∵|PF1|=2|PF2|,又|PF1|-|PF2|=2 2, ∴|PF1|=4 2,|PF2|=2 2,|F1F2|=4. 由余弦定理得 cos∠F1PF2= = ?4 2? +?2 2? -4 2?2 2?4 2
2 2

|PF1| +|PF2| -|F1F2| 2|PF1|?|PF2| 3 = ,故选 C. 4
2

2

2

2

2

9.[2016?武邑中学期中]设 F1,F2 是双曲线 x - =1 的两个焦点,P 是双曲线上的一 24 点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2 的面积等于( A.4 2 C.24 答案 C 解析 双曲线的实轴长为 2,焦距为|F1F2|=2?5=10.据题意和双曲线的定义知,2= 4 1 |PF1|-|PF2|= |PF2|-|PF2|= |PF2|,∴|PF2|=6,|PF1|=8. 3 3 ∴|PF1| +|PF2| =|F1F2| ,∴PF1⊥PF2, 1 1 ∴S△PF1F2= |PF1|?|PF2|= ?6?8=24,故选 C. 2 2
2 2 2

y2

) B.8 3 D.48

x2 y2 10.[2016?衡水中学期末]已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若 a b
双曲线左支上存在一点 P 与点 F2 关于直线 y= x 对称,则该双曲线的离心率为( A. 5 2 B. 5 D.2

b a

)

C. 2 答案 B

解析 由题意可知渐近线为 PF2 的中垂线,设 M 为 PF2 的中点,所以 OM⊥PF2.tan∠MOF2 =

MF2 b = ,因为 OF2=c,所以 MF2=b,OM=a.因此 PF2=2b,PF1=2a,又因为 PF2-PF1=2a, OM a
2 2 2 2

所以 b=2a,则 c =a +b =5a ,即 c= 5a,故 e= = 5. 11. [2016?冀州中学期末]若双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的一个焦点到一条渐近线的距 1 离等于焦距的 ,则该双曲线的离心率为________. 4
4

c a

x2 y2 a b

答案 解析

2 3 3 双曲线的一条渐近线方程为 bx- ay= 0,一个焦点坐标为 (c,0).根据题意:

|bc-a?0| 1 c 2 2 3 2 2 = ?2c,所以 c=2b,a= c -b = 3b,所以 e= = = . 2 2 4 a 3 b +a 3 12.[2016?衡水中学预测]双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1 和 F2, → 左、右顶点分别为 A1 和 A2,过焦点 F2 与 x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为 P,若|PA1| → → 是|F1F2|和|A1F2|的等比中项,则该双曲线的离心率为________. 答案 2
2

x2 y2 a b

→ 2 → → ?b ?2 2 2 2 2 解析 由题意可知|PA1| =|F1F2|?|A1F2|,即? ? +(a+c) =2c(a+c),又 c =a +b ,

?a?

则 a =b ,所以 e= =

2

2

c a

c2 = a2

a2+b2 = 2. a2
能力组

13.[2016?枣强中学热身]双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)与抛物线 y =2px(p>0)相交 于 A,B 两点,公共弦 AB 恰好过它们的公共焦点 F,则双曲线 C 的离心率为( A. 2 C.2 2 答案 B B.1+ 2 D.2+ 2 )

x a

2

y2 b

2

? ? 解析 抛物线的焦点为 F? ,0?,且 c= ,所以 p=2c.根据对称性可知公共弦 AB⊥x 2 ?2 ?
p p

? ? 轴,且 AB 的方程为 x= ,当 x= 时,yA=p,所以 A? ,p?.又因为双曲线左焦点 F1 的坐标 2 2 ?2 ?
p p p
为?- ,0?,所以|AF1|= ? 2 ? 1)?2c=2a,所以 =

? p

?

?-p-p?2+p2= 2p,又|AF|=p,所以 2p-p=2a,即( 2- ? 2 2? ? ?
= 2+1,选 B.

c a

1 2-1

14. [2016?衡水中学猜题]焦点为(0,6)且与双曲线 -y =1 有相同渐近线的双曲线方 2 程是( A. C. ) - =1 12 24 - =1 24 12

x2

2

x

2

y2 x2

B. D.

- =1 12 24 - =1 24 12

y2 x2

x2 y2

y2

答案 B 解析 设所求双曲线方程为 -y =λ (λ ≠0),因为焦点为(0,6),所以|3λ |=36,又 2 焦点在 y 轴上,所以 λ =-12,选 B.
5

x2

2

2 2 或利用排除法:因为焦点为(0,6),故排除 A、D,又 -y =1 的渐近线为 y=± x, 2 2 故选 B. 15.[2016?衡水中学一轮检测]已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为

x2

x2 y2 a b

F1,F2,点 O 为双曲线的中心,点 P 在双曲线右支上,△PF1F2 内切圆的圆心为 Q,圆 Q 与 x
轴相切于点 A,过 F2 作直线 PQ 的垂线,垂足为 B,则下列结论成立的是( A.|OA|>|OB| B.|OA|<|OB| C.|OA|=|OB| D.|OA|与|OB|大小关系不确定 答案 C 解析 如图,由于点 Q 为三角形 PF1F2 内切圆的圆心,故过点 F2 作 PQ 的垂线并延长交 )

PF1 于点 N,易知垂足 B 为 F2N 的中点,连接 OB,

1 1 则|OB|= |F1N|= (|F1P|-|F2P|)=a, 2 2 又设内切圆与 PF1,PF2 分别切于 G,H, 则由内切圆性质可得|PG|=|PH|,|F1G|=|F1A|,|F2A|=|F2H|, 故|F1P|-|F2P|=|F1A|-|F2A|=2a, 设|OA|=x,则有 x+c-(c-x)=2a, 解得|OA|=a,故有|OA|=|OB|=a,故选 C. 16. [2016?冀州中学模拟]已知 F1,F2 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦点,过 F2 作 垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P 和 Q.且△F1PQ 为正三角形,则双曲线的渐近线方程为 ________. 答案 y=± 2x 解析 解法一:设 F2(c,0)(c>0),P(c,y0),代入方程得 y0=± ,∵PQ⊥x 轴,∴|PQ|

x2 y2 a b

b2 a

6

2b = .

2

a

在 Rt△F1F2P 中,∠PF1F2=30°,

b2 ∴|F1F2|= 3|PF2|,即 2c= 3? . a
又∵c =a +b ,∴b =2a 或 2a =-3b (舍去), ∵a>0,b>0,∴ = 2. 故所求双曲线的渐近线方程为 y=± 2x. 解法二:∵在 Rt△F1F2P 中,∠PF1F2=30°,∴|PF1|=2|PF2|. 由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a, ∴|PF2|=2a, 由已知易得|F1F2|= 3|PF2|, ∴2c=2 3a,∴c =3a =a +b ,∴2a =b ,∵a>0,b>0,∴ = 2, 故所求双曲线的渐近线方程为 y=± 2x.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b a

b a

7


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