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行列式知识点


行列式
一、二阶行列式概念:形如
a11
a11 a21 a12 a22

的式子称为二阶行列式;数学规定

a11 a21

a12 ? a11a22 ? a12a21 ; a22

a12

a13 a23 的式子称为三阶行列式。 a33

二、三阶行列式:形如 a21 a22 a31 a32
a11 a12 a13

规定 a21 a22 a31 a32
a11 a21 a31
? a11

a23 ? a11a22a33 ? a12a23a31 ? a13a21a32 ? a13a22a31 ? a12a21a33 ? a11a23a32 a33

a12 a22 a32
a22 a32

a13 a23 ? a11 (a22a33 ? a23a32 ) ? a12 (a23a31 ? a21a33 ) ? a13 (a21a32 ? a22a31) a33
a23 a ? a12 23 a33 a33 a21 a a a ? a13 21 22 ? a11 22 a31 a31 a32 a32 a23 a a a a ? a12 21 23 ? a13 21 22 a33 a31 a33 a31 a32

? a11 A11 ? a12 A12 ? a13 A13
三、n 阶行列式的定义
a11 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann a21 an1

定义:n 阶行列式 D ?

等于所有取自不同行、不同列的 n 个元素的乘积

a1 p1 a2 p2

anpn 的代数和,其中 p1 p2 … pn 是 1, 2, … ,n 的一个排列,每一项的符号由其逆序数
a11 a12 a22 0 a11 a1n a2 n ann a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
Aij ? (?1)i ? j Mij

决定。 D ?

0 0

? ? ?1?

t ?12 n ?

a11a22

ann ? a11a22

ann 也可简记为 det ? aij ? ,其中 aij 为行

列式 D 的(i,j 元) 。
a21 an1
? ? ? ?1?
pn t p1 p2 pn ?

根据定义,有 D ?

?

p1 p2

a1 p1 a2 p2

anpn

代数余子式和余子式的关系: Mij ? (?1)i ? j Aij 四、行列式按行(列)展开

1

余子式

在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后,留下来的 n ? 1 阶行列式叫做

元素 aij 的余子式,记作 M ij 。 代数余子式 记 ?
Aij ? ? ?1?
i? j

M ij ,叫做元素 aij 的代数余子式。

确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去,将剩下的元素按照原来的位 置关系所组成的二阶行列式; 而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第 i 行,
i? j 第 j 列)有关,其代数余子式的正负号是“ (?1) ” .

引理

一个 n 阶行列式,如果其中第 i 行所有元素除(i,j) (i, j ) 元外 aij 都为零,那么这行列式等

于 aij 与它的代数余子式的乘积,即 D ? aij Aij 。
a11 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann

定理 n 阶行列式 D ?

a21 an1

等于它的任意一行 (列) 的各元素与其对应的代数余子式

的乘积之和,即 D ? ai1 Ai1 ? ai 2 Ai 2 ?
( j ? 1, 2, , n) 。

? ain Ain , (i ? 1, 2,

, n) 或D ? a1 j A1 j ? a2 j A2 j ?

? anj Anj ,

五、行列式的性质 定义 行列互换,行列式不变.即
a11 a 21 ? a n1 a12 ? a1n a11 a 21 a 22 ? a2n ? a n1 ? a n2 . ? ? ? a nn a11 a21 a22 a2 n an1 an 2 ann a12 a1n a a 22 ? a 2n ? 12 ? ? ? ? a n2 ? a nn a11 a12 a22 an 2 a21 an1 a1n a1n a2 n ann

记D ?

, DT ?

,行列式 D T 称为行列式 D 的转置行列式。

性质 1 性质 2

行列式与它的转置行列式相等。 D T = D 行列式的两行对换,其值变号。即

2

a11 ? ai1 ? ak1 ? an1
性质 3

a12 ? ai 2 ? ?

? a1n ? ? ? ? ?
=-

a11 ? a k1 ? a i1 ? a n1
a11 ? ? k ai1 ? an1

a12 ? ? ai 2 ?

? a1n ? ? ? ? ?
.

? ain

a k 2 ? a kn ? a in ?

ak 2 ? akn ? an 2 ? ann

a n 2 ? a nn
a12 ? ai2 ? an2 ? ? ? ? ? a1n ? ain . ? ann

一个数乘行列式的一行(或列) ,等于用这个数乘此行列式.即

a11 ? kai1 ? a n1
性质 4 性质 5

a12 ? kai2 ? a n2

? ? ? ?

a1n ? ? a nn

? kain

行列式中的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到 D 的外面; 行列式一行(或列)元素全为零,则行列式为零.即 a11 a12 ? a1,n -1 a1n ? ? ? ? ? 0 0 ? 0 0 ?0. ? ? ? ? ? a n1 a n2 ? a n, n -1 a nn 如果行列式中有两行(或列)对应元素相同或成比例,那么行列式为零.即

性质 6

a11 ? a i1 ? kai1 ? a n1
性质 7
a11 D? a21 an1

a12 ? ai 2 ? ? an2

? ? ? ? ? ?

a1n ? a in ? ? a nn

a11 ? a i1 ?k ? a i1 ? a n1

a12 ? ai 2 ? ai 2 ?

? a1n ? ? ? ? ? =0. ? ? a in ? a in

kai 2 ? kain

a n 2 ? a nn

若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式的和。 ?i ) ?i a12 (a1i ? a1 a1n a11 a12 a1i a1n a11 a12 a1 a1n ?i ) ?i a22 (a2i ? a2 a2 n a a22 a2i a2 n a21 a22 a2 a2 n ? 21 ?
an 2 ?) (ani ? ani ann an1 an 2 ani ann an1 an 2 ? ani ann

性质 8

把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行
3

列式的值不变。

a11 ? a i1 ? cak1 ? a k1 ? a n1

a12 ? ? ak 2 ? an2

? ? ? ? ? ?

a1n ? ? a kn ? a nn

a11 ? a i1 ? ? a k1 ? a n1

a12 ? ai 2 ? ?

? a1n ? ? ? ? ? . ? ? a in

a i 2 ? cak 2 ? a in ? cakn

a k 2 ? a kn a n 2 ? a nn

性质 9 行列式中按任一行展开,其值相等,按任一列展开也一样。

六、几个特殊的行列式: ① 主对角行列式:主对角元素的乘积; ② 副对角行列式:副对角元素的乘积 ??( ?1)
n ( n ?1) 2



③ 上、下三角行列式( ?◥? ? ?◣? ):主对角元素的乘积;
a11 a12 a 22 a13 ? a1n a11 a 22 a 32 ? an2 a 33 ? ? a n3 ? a nn a 23 ? a 2 n a 21 a 33 ? a3n , a 31 ? ? ? a nn a n1

形如

这样的行列式,形状像个三角形,故称为

“三角形”行列式. 推论 1:上,下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积 。
a11 a12 a22 0 a1n a2 n ann
n? n ?1? 2

即D?

0 0

? ? ?1?

t ?12 n ?

a11a22

ann ? a11a22

ann

推论 2:主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积,副对角行列式的值等于 ? ?1? 副对角线上各元的乘积。

乘以其

?1


?1
?2 ?n
? ?1?2

?n ,

?2 ?n

? ? ?1?

n? n ?1? 2

?1?2

?n

七、行列式的计算: 利用行列式的性质 即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式.
4

上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:
a11 0 0 ? 0 a12 a 22 0 ? 0 a13 ? a1n a11 a 21 ? a11 a 22 ? a nn , a31 ? a n1 0 a 22 a32 ? an2 0 ? 0 0 0 ? a11 a 22 ? a nn . ? a 23 ? a 2 n a 33 ? a3n ? 0 ? ? ? a nn 0 ? a 33 ? ? ?

a n 3 ? a nn

5


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