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《高三数学总复习》数学理新课标A版一轮总复习课件 第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布列-4


第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布列

第四节

随机事件的概率

课前学案 基础诊断

课堂学案 考点通关

自主园地 备考套餐

开卷速查

考 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性, 纲 了解概率意义以及频率与概率的区别. 导 学 2.了解两个互斥事件的概率加法公式.

课前学案

基础诊断
夯基固本 基础自测

1.事件 1 ________________的事件,叫做相对于 (1)在条件S下, □ 条件S的必然事件. 2 ________________的事件,叫做相对于 (2)在条件S下, □ 条件S的不可能事件. 3 ____________________的事件,叫做相 (3)在条件S下, □ 对于条件S的随机事件.

2.概率和频率 (1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否发 生,称n次实验中事件A发生的次数nA为事件A发生的频数,称事 4 ____________为事件A发生的频率. 件A发生的比例fn(A)=□ (2)对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着 5 ____________ 试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用 □ 来估计概率P(A).

3.事件的关系与运算

4.概率的几个基本性质 16 ______________. (1)概率的取值范围:□ 17 ________. (2)必然事件的概率P(E)=□ 18 __________. (3)不可能事件的概率P(F)=□ (4)概率的加法公式: 19 _____________. 如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=□

(5)对立事件的概率: 若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件,P(A 20 ______,P(A)=□ 21 __________. ∪B)=□

答案:

1个难点——对频率和概率的理解 (1)依据定义求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量 的重复试验,用事件发生的频率近似地作为它的概率,但是, 某一事件的概率是一个常数,而频率随着试验次数的变化而变 化.

(2)概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规 律,与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.也就是说,单 独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性,才是概率意义下的 “可能性”,事件A的概率是事件A的本质属性.

1个重点——对互斥事件与对立事件的理解 (1)对于互斥事件要抓住如下特征进行理解: ①互斥事件研究的是两个事件之间的关系; ②所研究的两个事件是在一次试验中涉及的; ③两个事件互斥是从试验的结果中不能同时出现来确定的.

(2)对立事件是互斥事件的一种特殊情况,是指在一次试验中 有且只有一个发生的两个事件,集合A的对立事件记作 A .从集合的 角度来看,事件 A 所含结果的集合是全集U中由事件A所含结果组 成的集合的补集,即A∪ A =U,A∩ A =?.对立事件一定是互斥事 件,但互斥事件不一定是对立事件.

2种方法——求互斥事件的方法 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法: (1)直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的 概率的和,运用互斥事件的求和公式计算; (2)间接法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1 -P( A ),即运用逆向思维(正难则反).

1.掷一枚均匀的硬币两次,事件M:一次正面朝上,一次 反面朝上;事件N:至少一次正面朝上.则下列结果正确的是 ( ) 1 1 A.P(M)=3 P(N)=2 1 1 B.P(M)=2 P(N)=2 1 3 C.P(M)= P(N)= 3 4 1 3 D.P(M)=2 P(N)=4

解析:由条件知事件M包含:(正、反)、(反、正).事件N包 含:(正、正)、(正、反)、(反、正). 1 3 故P(M)=2,P(N)=4.
答案:D

2.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么互斥而 不对立的事件是( )

A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有两个红球
解析:A中的两个事件不互斥,B中两事件互斥且对立,C中 的两个事件不互斥,D中的两个互斥而不对立.

答案:D

m 3.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为 ,当n很大 n m 时,P(A)与 n 的关系是( m A.P(A)≈ n m C.P(A)> n )

m B.P(A)< n m D.P(A)= n

解析:事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值.

答案:A

4.2012年伦敦奥运会中国与韩国选手进行女子重剑决赛.中 国选手获胜的概率为0.41.战平的概率为0.27,那么中国选手不输的 概率为__________.
解析:中国选手不输的概率为0.41+0.27=0.68.

答案:0.68

5.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取 一个数为b,则a<b的概率为__________.
解析:从{1,2,3,4,5}中任取一数a,从{1,2,3}中任取一数b,共 有5×3=15种取法,满足a<b的有(1,2),(1,3),(2,3)共3种,故所 3 1 求概率P= = . 15 5

1 答案:5

课堂学案

考点通关
考点例析 通关特训

考点一

事件关系的判断

【例1】 (1)在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C, D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是( A.A∪B与C是互斥事件,也是对立事件 B.B∪C与D是互斥事件,也是对立事件 C.A∪C与B∪D是互斥事件,但不是对立事件 D.A与B∪C∪D是互斥事件,也是对立事件 )

(2)在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2 3 7 张,若事件“2张全是移动卡”的概率是 10 ,那么概率是 10 的事件 是( ) A.至多有一张移动卡 C.都不是移动卡 B.恰有一张移动卡 D.至少有一张移动卡

解析:(1)由于A,B,C,D彼此互斥,且A∪B∪C∪D是一个 必然事件,故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示,由图可 知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何 两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件,故选D.

(2)至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”“两 张全是联通卡”两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件, 故选A.

答案:(1)D

(2)A

?名师点拨 判断事件关系时的注意事项 (1)利用集合观点判断事件关系; (2)可以写出所有试验结果,看所求事件包含哪几个试验结 果,从而判断所求事件的关系.

通关特训1

一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字

1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现 奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向 上的一面出现的点数不小于4,则( A.A与B是互斥而非对立事件 B.A与B是对立事件 C.B与C是互斥而非对立事件 D.B与C是对立事件 )

解析:根据互斥事件与对立事件的意义作答,A∩B={出现点 数1或3},事件A,B不互斥且不对立;B∩C=?,B∪C=Ω,故事 件B,C是对立事件,故选D.

答案:D

考点二

随机事件的概率

【例2】 将一枚骰子先后抛掷两次,观察向上的点数. (1)求点数之积是4的概率; (2)设a,b分别是将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数,求式 子2a-b=1成立的概率.

解析:将一枚骰子先后抛掷两次,向上的点数共有36种不同 的结果. (1)将一枚骰子先后抛掷两次,向上的点数分别记为a,b,点 数之积是4对应以下3种情况:
? ?a=1, ? ? ?b=4, ? ?a=4, ? ? ?b=1, ? ?a=2, ? ? ?b=2.

3 1 因此,点数之积是4的概率为P1=36=12.

(2)由2a b=1得2a b=20,∴a-b=0,
- -

∴a=b. 而将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数相等对应以下6种情 况:
? ?a=1, ? ? ?b=1, ? ?a=2, ? ? ?b=2,
a-b

? ?a=3, ? ? ?b=3,

? ?a=4, ? ? ?b=4,

? ?a=5, ? ? ?b=5,

? ?a=6, ? ? ?b=6.

因此,式子2

6 1 =1成立的概率为P2=36=6.

?名师点拨 求随机事件概率的关键 求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数,计算的方法 有:(1)列举法,(2)列表法,(3)利用树状图列举.

通关特训2 现有某类病毒记作XmYn,其中正整数m, n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为 __________.
解析:基本事件总数为N=7×9=63,其中m,n都为奇数的 M 20 事件个数为M=4×5=20,所以所求概率P= = . N 63

20 答案:63

考点三

互斥事件与对立事件的概率

【例3】 有编号为1,2,3的三个白球,编号为4,5,6的三个黑 球,这六个球除编号和颜色外完全相同,现从中任意取出两个球. (1)求取得的两个球颜色相同的概率; (2)求取得的两个球颜色不相同的概率.

解析:从六个球中取出两个球的基本事件是: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共计15个. (1)记事件A为“取出的两个球是白球”,则这个事件包含的基 3 1 本事件是(1,2),(1,3),(2,3),共计3个,故P(A)= 15 = 5 ;记“取出 1 的两个球是黑球”为事件B,同理可得P(B)=5.

记事件C为“取出的两个球的颜色相同”,A,B互斥,根据 2 互斥事件的概率加法公式,得P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=5. (2)记事件D为“取出的两个球的颜色不相同”,则事件C,D 2 对立,根据对立事件概率之间的关系,得P(D)=1-P(C)=1- = 5 3 . 5

?名师点拨 求复杂互斥事件概率的两种方法 (1)直接求法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和, 运用互斥事件概率的加法公式计算. (2)间接求法:先求此事件的对立事件,再用公式P(A)=1- P( A )求得,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少” 型题目,用间接求法就会较简便.

通关特训3

经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及

相应的概率如下: 排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5人及5人以上 0.04

求:(1)至多2人排队等候的概率是多少? (2)至少3人排队等候的概率是多少?

解析:记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事 件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4 人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则 事件A、B、C、D、E、F互斥. (1)记“至多2人排队等候”为事件G,则 G=A∪B∪C, 所以P(G)=P(A∪B∪C) =P(A)+P(B)+P(C) =0.1+0.16+0.3 =0.56.

(2)方法一:记“至少3人排队等候”为事件H,则 H=D∪E∪F, 所以P(H)=P(D∪E∪F) =P(D)+P(E)+P(F) =0.3+0.1+0.04 =0.44. 方法二:记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为 事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.

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