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2013石景山一模高三数学试题(理)含答案


2013 年石景山区高三统一测试

数学(理科)
本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结 束后上交答题卡.

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中

,选出符合题目要求的一项. 1.设集合 M ? {x | x2 ? 4} , N ? {x | log2 x ? 1} ,则 M ? N 等于( A. ? ?2,2?
2



B. ?2?

+? C. ?2, ?

+ D. ? ?2, ??


2.若复数 (a - i ) 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值是( A. 1 B. ? 1 C. 2 D. ?

2
?

3. 将一颗骰子掷两次, 观察出现的点数, 并记第一次出现的点数为 m, 第二次出现的点数为 n. 向量 p =(m,n),

? ? ? q =(3,6),则向量 p 与 q 共线的概率为 (
[

) C. )

A.

1 3

B.

1 4

1 6

D.

1 12

4.执行右面的框图,输出的结果 s 的值为( A. ?3 C. ? B. 2 D.

1 2

1 3

5.如图,直线 AM 与圆相切于点 M,ABC 与 ADE 是圆的两条割线, 且 BD ? AD ,连接 MD、EC. 则下面结论中,错误的结论是( .. A. ?ECA ? 90? C. AM 2 ? AD ? AE B. ?CEM ? ?DMA ? ?DBA D. AD ? DE ? AB ? BC E ) M A B C

D

2 5 6.在 (2 x ? ) 的二项展开式中, x 的系数为(

1 x



A. ?10 C. ? 40

B. 10 D. 40

高三数学试卷(理科)第 1 页(共 9 页)

7.对于直线 l : y ? k ( x ? 1) 与抛物线 C : y 2 ? 4x , k ? ?1 是直线 l 与抛物线 C 有唯一交点的( )条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要

8.若直角坐标平面内的两点 P、Q 满足条件: ①P、Q 都在函数 y ? f (x) 的图像上;②P、Q 关于原点对称. 则称点对[P, Q]是函数 y ? f (x) 的一对 “友好点对” (注: 点对[P, Q]与[Q , P]看作同一对 “友好点对” . ) 已知函数 f ( x) ? ? A. 0 B. 1

?log 2 x( x ? 0)
2 ?? x ? 4 x( x ? 0)

,则此函数的“友好点对”有( D. 3 共 110 分)

)对

C. 2

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.直线 2 ? sin ? =1 与圆 ? =2cos ? 相交弦的长度为 10.在△ ABC 中,若 ?B ?

. .

π , b ? 2a ,则 ?C ? 4

11. 在等差数列 an ? 中,a1 = -2013, 其前 n 项和为 S n , 若 12.某四棱锥的三视图如图所示, 则最长的一条侧棱长度是 .

?

S12 S10 =2, S2 013 的值等于 则 ? 12 10
2
正(主)视图



3

侧(左)视图

2

2

3

2

俯视图

13.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ? 2 , BC 则 AE ? BF 的值是

??? ??? ? ?
F

??? ??? ? ?



D

C

E

A

B

14 . 对 于 各 数 互 不 相 等 的 整 数 数 组 (i1 , i2 , i3 , ?, in ) ( n 是 不 小 于 3 的 正 整 数 ) 若 对 任 意 的 p , , .一个数组中所有“逆序” q ? {1,2,3, ?, n} ,当 p ? q 时有 i p ? iq ,则称 i p , iq 是该数组的一个“逆序” 的个数称为该数组的“逆序数” ,如数组(2,3,1)的逆序数等于 2.则数组(5,2,4,3,1)的逆序数等于 _________;若数组 (i1 , i2 , i3 , ?, in ) 的逆序数为 n,则数组 (in , in ?1 , ?, i1 ) 的逆序数为_________.

高三数学试卷(理科)第 2 页(共 9 页)

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? sin(2 x ?

?
6

) ? cos 2 x .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ) 在△ABC 中, 内角 A、 C 的对边分别为 a、 c. B、 b、 已知 f ( A) ? 的面积. 16.(本小题满分 13 分) PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物. PM2.5 日均值在 35 微克/ 立方米以下空气质量为一级;在 35 微克/立方米 ~ 75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米 以上空气质量为超标. 石景山古城地区 2013 年 2 月 6 日至 15 日每天的 PM2.5 监测数据如茎叶图所示. (Ⅰ)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天 PM2.5 日均监测数据未超标的概率; (Ⅱ) 小王在此期间也有两天经过此地, 这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标.请计算出这两天空气质 量恰好有一天为一级的概率; (Ⅲ)从所给 10 天的数据中任意抽取三天数据,记 ? 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 ? 的 分布列及期望. PM2.5 日均值 (微克/立方米) 2 3 5 6 8 10 1 7 9 0 5 4 6

? 3 , a ? 2, B ? , 求△ABC 3 2

17 . (本小题满分 14 分)

3 6 7

如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD 中, AD // BC , ?ABC ? 90? , PD?平面 ABCD ,

C? B? 3, B 4. A D?1, A
(Ⅰ)求证: BD ? PC ; (Ⅱ)求直线 AB 与平面 PDC 所成的角;

P E A B D C

?? ? ? ?? ?? (Ⅲ)设点 E 在棱 PC 上, P ? P ,若 E ?C

DE ∥平面 PAB ,求 ? 的值.

高三数学试卷(理科)第 3 页(共 9 页)

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,对 ?x ? (0, ?? ) , f ( x) ? bx ? 2 恒成立,求实数 b 的取值 范围.

19. (本小题满分 14 分) 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,上顶点为 A ,在 x 轴负半轴上有一 a 2 b2

点 B ,满足 BF ? F F2 ,且 AB ? AF2 . 1 1 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若过 A、B、F2 三点的圆与直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,线段 MN 的 中垂线与 x 轴相交于点 P (m,0) ,求实数 m 的取值范围. A y

????

???? ?

B

F1 O

F2

x

20. (本小题满分 13 分) 给定有限单调递增数列 {xn } (n ? N ? , n ? 2) 且 xi ? 0(1 ? i ? n) , 定义集合 A ? {( xi , x j ) 1 ? i, j ? n, 且 ,则称数列 {xn } 具有性质 i, j ? N ?} .若对任意点 A1 ? A ,存在点 A2 ? A 使得 OA1 ? OA2( O 为坐标原点)

P.
(Ⅰ)判断数列 {xn } : ? 2 ,2 和数列 { yn } : ? 2,?1,1,3 是否具有性质 P ,简述理由. (Ⅱ)若数列 {xn } 具有性质 P ,求证: ①数列 {xn } 中一定存在两项 xi , x j 使得 xi ? x j ? 0 ; ②若 x1 ? ?1 , x2 ? 0 且 xn ? 1,则 x2 ? 1 . (Ⅲ)若数列 {xn } 只有 2013 项且具有性质 P , x1 ? ?1 , x3 ? 2 ,求 {xn } 的所有项和 S2013 .

高三数学试卷(理科)第 4 页(共 9 页)

2013 年石景山区高三统一测试

高三数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 A 5 D 6 C 7 A 8 C

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案 9 10 11 12 13 14

3

7? 12

?2013

29

2

8;

n 2 ? 3n 2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) ? sin(2 x ?

?
6

) ? cos 2 x ? sin 2 x cos

?
6

? cos 2 x sin

?
6

? cos 2 x
????1 分

?

3 3 sin 2 x ? cos 2 x 2 2

? 1 3 ? 3( sin 2 x ? cos 2 x) ? 3 sin(2 x ? ) 3 2 2
令?

????3 分

?
2

+2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

+2k?
????5 分

?

5? ? +k? ? x ? +k? 12 12

函数 f ( x ) 的单调递增区间 ?

? ? 5? ? ? 12 +k?, +k? ? (k ? Z ) . 12 ? ?

????6 分

(Ⅱ)由 f ( A) ?

? 1 3 , sin(2 A ? )= , 3 2 2
2 ? ? 5 ? ,所以 ? 2 A ? ? ? 3 3 3 3
????8 分 ????10 分

因为 A 为 ?ABC 内角,由题意知 0 ? A ?

5 ? ? ? ,解得 A ? . 3 6 4 a b ? 由正弦定理 ,得 b ? 6 , sin A sin B
因此 2 A ? 由A?

?

?
4

,由 B ?

?
3

,可得 sin C ?

6? 2 ,????12 分 4

高三数学试卷(理科)第 5 页(共 9 页)

∴ s ? 1 ab sin C ? 1 ? 2 ? 6 ? 6 ? 2 ? 3 ? 3 .

????13 分

2

2

4

2

16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)记“当天 PM2.5 日均监测数据未超标”为事件 A,

P ( A) ?

2?4 3 ? . 10 5

????2 分

( Ⅱ ) 记 “ 这 两 天 此 地 PM2.5 监 测 数 据 均 未 超 标 且 空 气 质 量 恰 好 有 一 天 为 一 级 ” 为 事 件 B,

P( B ) ?

1 1 C2 ? C4 8 ? . 2 C6 15

????5 分

(Ⅲ) ? 的可能值为 0,1, 2,3 ,

P(? ? 0) ?

3 C6 1 C 2 ? C1 1 ? ; P(? ? 1) ? 6 3 4 ? ; 3 C10 6 C10 2 1 2 C6 ? C4 3 ? 3 C10 10 3 C4 1 ? 3 C10 30

P(? ? 2) ?

P(? ? 3) ?

????9 分

其分布列为:

?

0

1
1 2

2
3 10

3

P
1 1 3 1 6 E? ? 0 ? ? 1 ? +2 ? +3 ? = 6 2 10 30 5
17. (本小题满分 14 分)

1 6

1 30
????13 分

证明: (I)在直角梯形 ABCD 中, AD ? 1, AB ? 3 所以 BD ? 2, CD ? 2 3 ,所以 BD ? CD . 又因为 PD ? 面ABCD ,所以 PD ? BD 所以 BD ? PC ????2 分 由 PD ? BD ? D ,所以 BD ? 面PCD ????4 分

(II)如图,在平面 ABCD 内过 D 作直线 DF//AB,交 BC 于 F, 分别以 DA、DF、DP 所在的直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系. 由条件知 A(1,0,0) ,B(1, 3 ,0) ,

D 设 P ?a,则 B 1,, ? 3, D 3C ,) ? (? P 3? ? 0 ( , ) ? a ,
由(I)知 BD ? 面PDC, 就是平面PDC的法向量 . DB

? ? ? ?

? ? ? ?

????5 分

??? ?

z P E

? ? ? ? ? ? ? ? A0, , B , . B ? 0 ? 0 ( ,3 D,3 ) ( 1 )
高三数学试卷(理科)第 6 页(共 9 页)

x B

A D yF

G C

设 AP 角 BD 大 与成 , 面 C 小 所为

?

?? ? ???? ? ? |D A| BB ? 3 3 ? ?? ? i ?? n ? . 则 s ? ?? ? ?? |D ? A| 23 2 B| B |

????7 分

为 ? ?, 0 0 9 ?? ? ? 0 ? ?,即直线 A平 所 6 0 ? . ????8 分 6 B 面成 与 C角 P D (III)由(2)知 C(-3, 3 ,0) ,记 P(0,0,a) ,则

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? , ) ?, ?,a ) ?3 , A?0 30, D?0 ,a, P( , P( 3 a B , ) P ( ,0 ) A 1 0 - , C ? ( ,

E 3 3 a, ? ( , 而 P ? P ,所以 P ? , ) E ?C
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? (, , ? DP D C 0 ? 3 a ? 3 aa. E P P ? ,)( , ) 3 ? ? ) ???? ( a 3 , ? D E P0 ? , ?=
????10 分

?? ? ?

?? ??

? ? ? ?

? ??

?

???

???? ? ? ? AB ?n ? 0 ? 3y ? 0 ?y ? 0 ? ? ?x , , ) 设 n( y z 为平面 PAB 的法向量,则 ? ??? ? ,即 ? ,即 ? . ? ? x ? az ? 0 ? x ? az ?PA ?n ? 0 ? ?

?a , ) 取z ? 1,得 x ? a,进而 n(,01 ,
E平 B En , / P A 由 D/ 面 ,得 D ? ?0
∴ - ?a 0 a?0 ? ? . 3 a ?而 ,? a - , 18. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)在区间 ? 0, ?? ? 上, f ?( x ) ? a ?

?

????12 分

?? ? ??

? ?

1 4

????14 分

1 ax ? 1 ? . x x

????????1 分 ?????3 分

①若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 是区间 ? 0, ?? ? 上的减函数; ②若 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ?

1 . a

在区间 (0, ) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 是减函数; 在区间 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 是增函数; 综上所述,①当 a ? 0 时, f ( x) 的递减区间是 ? 0, ?? ? ,无递增区间; ②当 a ? 0 时, f ( x) 的递增区间是 ( , ??) ,递减区间是 (0, ) . (II)因为函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,所以 f ?(1) ? 0 解得 a ? 1 ,经检验满足题意. 由已知 f ( x) ? bx ? 2, 则 f ( x) ? bx ? 2,1 ? ????7 分

1 a

1 a

1 a

1 a

????6 分

1 ln x ? ?b x x

???????8 分

高三数学试卷(理科)第 7 页(共 9 页)

令 g ( x) ? 1 ?

1 1 ? ln x ln x-2 1 ln x ? ,则 g ?( x ) ? ? 2 ? ? x x x x2 x2

???????10 分 ???????12 分 ????13 分

易得 g (x) 在 0, e 2 上递减,在 e 2 ,?? 上递增, 所以 g ( x) min ? g (e 2 ) ? 1 ? 19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)连接 AF1 ,因为 AB ? AF2 , BF 1 即 a ? 2c ,故椭圆的离心率 e ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知

?

?

?

?

1 e
2

,即 b ? 1 ?

1 . e2

? F1F2 ,所以 AF1 ? F1F2 ,
........ 分 ........3

1 2

1 3a c 1 1 ? , 得 c ? a 于是 F2 ( a, 0) , B ( ? , 0) , 2 2 a 2 2

1 1 Rt ?ABC 的外接圆圆心为 F1 (? a, 0) ) ,半径 r ? | F2 B |? a ...... 分 ......4 2 2
1 | ? a ?3| 由已知圆心到直线的距离为 a ,所以 2 ? a ,解得 a ? 2,? c ? 1, b ? 2

3

x2 y2 ? ? 1. 所求椭圆方程为 4 3

........ 分 ........6

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 F2 (1,0) , 设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1)

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 3 ?4

消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 . .. 分 ..7

因为 l 过点 F2 ,所以 ? ? 0 恒成立 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 )

?6k 8k 2 则 x1 ? x 2 ? , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k

4k 2 ?3k MN 中点 ( , ) 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
为长轴,中点为原点,则 m ? 0

MN ........ 分 当 k ? 0 时, ....... 9
....... .......10 分

3k 1 4k 2 ? ? (x ? ). 当 k ? 0 时 MN 中垂线方程 y ? 3 ? 4k 2 k 3 ? 4k 2
令 y ? 0 ,? m ?

k2 1 ? 3 3 ? 4k 2 ?4 k2

.....12 分 ....

?

3 1 ? 0 , 2 ? 4 ? 4 , 可得? 0 ? m ? 1 2 k k 4

高三数学试卷(理科)第 8 页(共 9 页)

综上可知实数 m 的取值范围是 [0, ) . 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)数列 {xn } 具有性质 P ,数列 { yn } 不具有性质 P .

1 4

....... .......14 分

对于数列 {xn } , A1 (?2,2) 则 A2 (2,2) ; A1 (?2,?2) 则 A2 (2,?2) ; 若 若 所以具有性质 P .对于数列 { yn } , 当 A1 (?2,3) 若存在 A2 ( x, y) 满足 OA ? OA2 ,即 ? 2 x ? 3 y ? 0 ,即 1

y 2 ? ,数列 { yn } 中不存在这样的数 x 3

x, y ,因此不具有性质 P .

??????3 分

(Ⅱ) (1)取 A1 ( xk , xk ) ,又数列 {xn } 具有性质 P ,所以存在点 A2 ( xi , x j ) 使得 OA ? OA2 ,即 1

xk xi ? xk x j ? 0 ,又 xk ? 0 ,所以 xi ? x j ? 0 . ??????5 分
(2)由(1)知,数列 {xn } 中一定存在两项 xi , x j 使得 xi ? x j ? 0 ;又数列 {xn } 是单调递增数列 且 x2 ? 0 ,所以 1 为数列 {xn } 中的一项. 假设 x2 ? 1 ,则存在 k (2 ? k ? n, k ? N ? ) 有 xk ? 1 ,所以 0 ? x2 ? 1 此 时 取 A1 ( x2 , xn ) , 数 列 {xn } 具 有 性 质 P , 所 以 存 在 点 A2 ( xt , xs ) 使 得 OA ? OA2 , 所 以 1

x2 xt ? xn xs ? 0 ;只有 x1 ? 0 ,所以当 xt ? ?1 时 x2 ? xn xs ? xs ? x2 ,矛盾;
当 xs ? ?1 时 x2 ?

xn ? 1 ,矛盾.所以 x2 ? 1 . xt

????9 分

(Ⅲ) (Ⅱ) 由 知,x2 ? 1 .若数列 {xn } 只有 2013 项且具有性质 P , 可得 x4 ? 4 ,x5 ? 8 猜想数列 {xn } 从第二项起是公比为 2 的等比数列.(用数学归纳法证明). 所以 S 2013 ? ?1 ? 1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2
2011

?

2 ? 22012 ? 22012 ? 2 1? 2

????13 分

【注:若有其它解法,请酌情给分】

高三数学试卷(理科)第 9 页(共 9 页)


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