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第六章第2课时一元二次不等式及其解法


第2课时

一元二次不等式及其解法

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考纲展示

备考指南

1.一元二次不等式的解法及三 1.通过函数图象了解一元二次 个二次间的关系问题是命题热 不等式与相应的二次函数、一 点. 元二次方程的联系. 2.考查题型多为客观题,有时 2.会解一元二次不等式,会设 会在解答中出现交汇命题,着 计求解一元二次不等式的程序 重考查二次不等式的解法,属 框图. 中、低档题.

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本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax>b(a≠0)的解集为 b {x|x> }. a (1)当 a>0 时,解集为______________
b {x|x< }. a (2)当 a<0 时,解集为______________

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2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的 关系 判别式Δ=b2 -4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0

二次函数y= ax2+bx+ c(a>0)的图象

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判别式 Δ=b2 -4ac 一元二次方程 ax2+bx+c= 0(a>0)的根

Δ>0 有两相异实根 x1,x2(x1<x2)

Δ=0 有两相等实 根 x1=x2=- b 2a

Δ<0 没有实 数根

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判别式 Δ= Δ>0 2 b -4ac ax2+bx+ {x|x>x2 或 x<x1} c >0(a>0)的 _______________ 解集 ax2+bx+c {x|x1<x<x2} <0(a>0) _______________ 的解集

Δ=0
b {x|x≠- } 2a __________

Δ<0 R

? ___

? ___

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思考探究 不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为 R 的充要条件是什么?
?a>0, ? 提示:? ? ?Δ<0.

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课前热身 x-1 1.(2012· 高考重庆卷)不等式 ≤0 的解集为( 2x+1 1 A.(- ,1] 2 1 B.[- ,1] 2 1 C.(-∞,- )∪[1,+∞) 2 1 D.(-∞,- ]∪[1,+∞) 2

)

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?x-1≤0, ? x-1 解 析 : 选 A. ≤0 等 价 于 不 等 式 组 ? ①或 2x+1 ? ?2x+1>0, ?x-1≥0, ? ? ② ?2x+1<0. ?

1 解①得- <x≤1,解②得 x∈?, 2 1 ∴原不等式的解集为(- ,1]. 2

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?x -1<0 ? 2.不等式组? 2 的解集是( ?x -3x<0 ?

2

) B.{x|0<x<3} D.{x|-1<x<3}

A.{x|-1<x<1} C.{x|0<x<1}
2

?x -1<0 ?-1<x<1 ? ? 解析:选 C.由? 2 ,得? ,∴0<x<1. ?0<x<3 ? ? ?x -3x<0

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1 3. 设一元二次不等式 ax +bx+1>0 的解集为{x|-1<x< }, 3 则 ab 的值为( ) A.-6 B.-5 C.6 D.5
2

答案:C

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4.若不等式 x2-x≤0 的解集为 M,函数 f(x)=ln(1-|x|)的定 义域为 N,则 M∩N 为________.
解析:由 x2-x≤0,解得 0≤x≤1, ∴M={x|0≤x≤1}. 又 1-|x|>0,解得-1<x<1, ∴N={x|-1<x<1}, 则 M∩N={x|0≤x<1}. 答案:[0,1)

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5.不等式 x2+ax+4<0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范 围是__________. 答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)

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考点探究讲练互动
考点突破 考点 1 一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式: (1)2x2+4x+3>0; (2)-3x2-2x+8≥0; (3)12x2-ax>a2(a∈R). 【解】 (1)∵Δ=42-4×2×3<0, ∴方程 2x2+4x+3=0 没有实根, 二次函数 y=2x2+4x+3 的图象开口向上,与 x 轴没有交点, 即 2x2+4x+3>0 恒成立, 所以不等式 2x2+4x+3>0 的解集为 R.
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(2)原不等式可化为 3x2+2x-8≤0,∵Δ=100>0, 4 2 ∴方程 3x +2x-8=0 的两根为-2, , 3 结合二次函数 y=3x2+2x-8 的图象可知原不等式的解集为 4 {x|-2≤x≤ }. 3 (3)由 12x2-ax-a2>0?(4x+a)(3x-a)>0 a a ?(x+ )(x- )>0, 4 3 a a a a ①a>0 时,- < ,解集为{x|x<- 或 x> }; 4 3 4 3 ②a=0 时,x2>0,解集为{x|x∈R 且 x≠0}; a a a a ③a<0 时,- > ,解集为{x|x< 或 x>- }. 4 3 3 4
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【方法感悟】 (1)解一元二次不等式的一般步骤: ①对不等式变形,使一端为 0 且二次项系数大于 0,即 ax2+ bx+c>0(a>0),ax2+bx+c<0(a>0); ②计算相应的判别式; ③当 Δ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根; ④根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集. (2)解含参数的一元二次不等式可考虑因式分解,然后比较两 根大小,若不能分解因式,则可对判别式 Δ 进行分类讨论.

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跟踪训练 1.解下列不等式: (1)8x-1≤16x2; (2)x2-2ax-3a2<0(a<0).

解:(1)原不等式转化为 16x2-8x+1≥0,即(4x-1)2≥0, ∴x∈R,故原不等式的解集为 R. (2)原不等式转化为(x+a)(x-3a)<0. ∵a<0,∴3a<-a, ∴原不等式的解集为{x|3a<x<-a}.

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考点 2 三个“二次”间的关系 高考江苏卷)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的 例2 (2012· 值域为[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m +6),则实数 c 的值为__________. a2 a2 【解析】 由题意知 f(x)=x2+ax+b=(x+ ) +b- . 2 4 a2 a2 ∵f(x)的值域为[0,+∞),∴b- =0,即 b= . 4 4 a ∴f(x)=(x+ )2. 2

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?x+a ?2<c, 又∵f(x)<c,∴? 2 ?
a a 即- - c<x<- + c. 2 2 a - - c=m, 2 ∴ a - + c=m+6, ② 2

? ? ?



②-①,得 2 c=6,∴c=9. 【答案】 9

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【题后感悟】 二次函数、一元二次不等式、一元二次方程 之间有着密切关系. (1)一元二次不等式解集的端点就是对应的一元二次方程 的解. (2)不等式的解集结构与二次项系数有直接的关系. (3)二次函数的图象能直观反映一元二次不等式解集的情况.

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跟踪训练 2.若不等式-4<2x-3<4 与不等式 x2+px+q<0 的解集相 p 同,则 =__________. q 1 7 解析:由-4<2x-3<4,得- <x< . 2 2 7 1 1 7 由题意得 - =-p,(- )× =q, 2 2 2 2 7 p 12 即 p=-3,q=- ,∴ = . 4 q 7

12 答案: 7

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考点 3 一元二次不等式的应用 杭州模拟)某商品每件成本价为 80 元,售价为 100 例3 (2013· 元,每天售出 100 件.若售价降低 x 成(1 成=10%),售出商 8 品数量就增加 x 成.要求售价不能低于成本价. 5 (1)设该商店一天的营业额为 y, 试求 y 与 x 之间的函数关系式 y=f(x),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元,求 x 的取值 范围.

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【解】

(1)依题意, x 8 y=100(1- )· 100(1+ x). 10 50 又售价不能低于成本价, x 所以 100(1- )-80≥0,即 x≤2, 10 所以 y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为 x∈[0,2]. (2)由题意得 20(10-x)(50+8x)≥10 260, 化简得 8x2-30x+13≤0. 1 13 解得 ≤x≤ . 2 4 1 所以 x 的取值范围是[ ,2]. 2
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【方法感悟】 求解不等式应用题一般可按如下四步进行: (1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关 系. (2)引进数学符号,用不等式表示不等关系. (3)解不等式. (4)回归实际问题.

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跟踪训练 3.汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要继续向前滑行 一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车 距离是分析交通事故的一个重要因素.在一个限速 40 km/h 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时 刹车,但还是相碰了,事发后现场测得甲车的刹车距离略超 过 12 m,乙车的刹车距离略超过 10 m.又知甲、乙两种车型 的刹车距离 s(m)与车速 x(km/h)之间有如下关系:s 甲=0.1x+ 0.01x2,s 乙=0.05x+0.005x2.问:是谁超速行驶,在此事故中 应负主要责任?

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解:由题意列出不等式, 对甲车型:0.1x+0.01x2>12, 解得 x>30(x<-40 舍去); 对乙车型:0.05x+0.005x2>10, 解得 x>40(x<-50 舍去), 从而 x 甲>30 km/h,x 乙>40 km/h, 经比较知乙车超过限速,在此事故中应负主要责任.

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方法感悟 1.解一元二次不等式时,首先要将一元二次不等式化成标准 型,即 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 的形式,其中 a>0.求解 时要善于联想: (1)二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点; (2) 方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根,运用好“三个二次”间的 关系. 2.解不等式的基本思路是等价转化,分式不等式整式化,使 要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式, 进而获得解决.

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难题易解 破解一元二次不等式恒成立问题



(2013· 包头模拟)在实数集上定义运算

:x

y=x(1-

y),若不等式(x-a)

(x+a)<1 对任意实数 x 恒成立,则实

数 a 的取值范围是__________.

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抓信息 破难点 (1)利用定义把(x-a) (x+a)<1 转化为关于 x 的不等关系. (2)利用判别式或以函数最值求解.

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【解析】 由题意知(x-a) (x+a)=(x-a)(1-x-a) =-x2+x+a2-a. 故-x2+x+a2-a<1 对任意 x∈R 都成立. 即-x2+x<-a2+a+1 对任意 x∈R 都成立. 12 1 1 1 2 2 而-x +x=-(x- ) + ≤ ,∴-a +a+1> , 2 4 4 4 1 3 2 即 4a -4a-3<0,解得- <a< , 2 2 1 3 故所求 a 的取值范围为(- , ). 2 2

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【答案】

1 3 (- , ) 2 2

【方法提炼】 对一元二次不等式恒成立问题往往从以下几 个角度入手: (1)结合二次函数图象和性质用判别式法,当取值为全体实数 时,一般用此法. (2)从函数的最值入手考虑,如大于零恒成立可转化为最小值 大于零. (3)能分离变量的尽量把参数和变量分离出来.

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跟踪训练 4.(2013· 安徽省名校联考)已知 a∈[-1,1],不等式 x2+(a- 4)x+4-2a>0 恒成立,则 x 的取值范围为( ) A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)

解析:选 C.把不等式的左端看成关于 a 的一次函数,记 f(a) =(x-2)a+(x2-4x+4),则 f(a)>0 对于任意的 a∈[-1,1]恒 成立,易知只需 f(-1)=x2-5x+6>0,且 f(1)=x2-3x+2> 0 即可,联立方程并解得 x<1 或 x>3.故选 C.

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