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高中数学 学案73坐标系与参数方程


学案 73

坐标系与参数方程

导学目标: 1.了解坐标系的有关概念,理解简单图形的极坐标方程.2.会进行极坐标方 程与直角坐标方程的互化.3.理解直线、 圆及椭圆的参数方程, 会进行参数方程与普通方程的 互化,并能进行简单应用.

自主梳理 1.极坐标系的概念 在平面上取一个定点 O,叫做极点;自极点 O 引一条射线

Ox,叫做________;再选定 一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了 一个____________. 设 M 是平面上任一点,极点 O 与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的________,记为 ρ;以极 轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的________,记为 θ.有序数对(ρ,θ)叫 做点 M 的__________,记作(ρ,θ). 2.极坐标和直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长 度单位,设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的 关 系 为 x = __________ , y = __________. 另 一 种 关 系 为 : ρ2 = __________ , tan θ = ______________. 3.简单曲线的极坐标方程 (1)一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 φ(ρ,θ)=0,并且坐标 适 合 方 程 φ(ρ , θ) = 0 的 点 都 在 曲 线 上 , 那 么 方 程 φ(ρ , θ) = 0 叫 做 曲 线 的 ________________________________________________________________________. (2)常见曲线的极坐标方程 ①圆的极坐标方程 ____________表示圆心在(r,0)半径为|r|的圆; π ____________表示圆心在(r, )半径为|r|的圆; 2 ________表示圆心在极点,半径为|r|的圆. ②直线的极坐标方程 ________________表示过极点且与极轴成 α 角的直线; __________表示过(a,0)且垂直于极轴的直线; π __________表示过(b, )且平行于极轴的直线; 2 ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α)表示过(ρ0,θ0)且与极轴成 α 角的直线方程. 4.常见曲线的参数方程 (1)直线的参数方程 ? ?x=x0+lcos α, 若直线过(x0,y0),α 为直线的倾斜角,则直线的参数方程为? 这是直线 ?y=y0+lsin α. ? 的参数方程,其中参数 l 有明显的几何意义. (2)圆的参数方程 ?x=a+rcos α, ? 若圆心在点 M(a,b),半径为 R,则圆的参数方程为? 0≤α<2π. ? ?y=b+rsin α, (3)椭圆的参数方程 ?x=acos φ ? x2 y2 中心在坐标原点的椭圆 2+ 2=1 的参数方程为? (φ 为参数). a b ? ?y=bsin φ (4)抛物线的参数方程

?x=2pt2, ? 抛物线 y =2px(p>0)的参数方程为? ? ?y=2pt.
2

自我检测 1.(教材改编题)点 M 的直角坐标为(- 3,-1),则它的极坐标为________. 2.(原创题)在极坐标系中,点(ρ,θ)与(-ρ,π+θ)的位置关系为________. 3.(2011· 陕西)在直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 ? ?x=3+cos θ, 系,设点 A,B 分别在曲线 C1:? (θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 上,则|AB|的最 ?y=4+sin θ ? 小值为________. π 4.(2011· 广州一模)在极坐标中,直线 ρsin(θ+ )=2 被圆 ρ=4 截得的弦长为________. 4 ?x=cos α, ? 5.(2010· 陕西)已知圆 C 的参数方程为? (α 为参数),以原点为极点,x 轴正 ? ?y=1+sin α 半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ=1,则直线 l 与圆 C 的交点的直角 坐标为________________.

探究点一 求曲线的极坐标方程 a π a 例 1 在极坐标系中,以( , )为圆心, 为半径的圆的方程为________. 2 2 2 变式迁移 1 如图,求经过点 A(a,0)(a>0),且与极轴垂直的直线 l 的极坐标方程.

探究点二 极坐标方程与直角坐标方程的互化 例 2 (2009· 辽宁)在直角坐标系 xOy 中, O 为极点, 轴正半轴为极轴建立坐标系. 以 x 曲 π? 线 C 的极坐标方程为 ρcos?θ-3?=1,M、N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点. ? (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M、N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.

变式迁移 2 (2010· 东北三校第一次联考)在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cos θ+sin θ 和直 π 2 线 l:ρsin(θ- )= , 4 2 (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标.

探究点三 参数方程与普通方程的互化 例 3 将下列参数方程化为普通方程: 3k x= 1+k2 (1) ; 6k2 y= 1+k2

? ? ?

?x=1-sin 2θ ? (2)? ; ? ?y=sin θ+cos θ

(3)

? ? ? t ?y=1+t ?

1-t2 x= 1+t2 .
2

变式迁移 3 化下列参数方程为普通方程,并作出曲线的草图. ?x=1sin 2θ ? (1)? 2 (θ 为参数);

?y=sin θ+cos θ ?
1

?x= t (2)? 1 ?y= t

(t 为参数). t2-1

探究点四 参数方程与极坐标的综合应用 ?x=2+2t ? 例 4 求圆 ρ=3cos θ 被直线? (t 是参数)截得的弦长. ?y=1+4t ?

? ?x=2cos α, 变式迁移 4 (2011· 课标全国)在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为? ? ?y=2+2sin α. (α 为参数) → → M 是 C1 上的动点,P 点满足OP=2OM,P 点的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程; π (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ= 与 C1 的异于极点的交 3 点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|.

本节内容要注意以下两点: 一、 简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中 ρ 和 θ 的具体 含义求出,也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得出.同直角坐标方程一样,由于建 系的不同,曲线的极坐标方程也会不同.在没有充分理解极坐标的前提下,可先化成直角坐 标解决问题.二、 在普通方程中, 有些 F(x,y)=0 不易得到,这时可借助于一个中间变量(即 参数)来找到变量 x,y 之间的关系.同时,在直角坐标系中,很多比较复杂的计算(如圆锥 曲线),若借助于参数方程来解决,将会大大简化计算量.将曲线的参数方程化为普通方程 的关键是消去其中的参数,此时要注意其中的 x,y(它们都是参数的函数)的取值范围,也即 在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性. 参数方程化普通方程常用的 消参技巧有:代入消元、加减消元、平方后相加减消元等.同极坐标方程一样,在没有充分 理解参数方程的前提下,可先化成直角坐标方程再去解决相关问题.

(满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) ?x=3+at, ? 1.直角? (t 为参数)恒过定点________. ? ?y=-1+4t π 2.点 M(5, )为极坐标系中的一点,给出如下各点的坐标: 6 π 7π π 7π ①(-5,- );②(5, );③(-5, );④(-5,- ). 6 6 6 6 其中可以作为点 M 关于极点的对称点的坐标的是______(填序号). π π 3.在极坐标系中,若点 A,B 的坐标分别为(3, ),(4,- ),则 AB=________,S△AOB 3 6 =________.(其中 O 是极点) ?x=5t2, ? ?x= 5cos θ, 4.(2011· 广东)已知两曲线参数方程分别为? (0≤θ<π)和? 4 (t∈ ?y=sin θ ?y=t ? R),它们的交点坐标为________. 2 ? ?x=8t 5.(2011· 天津)已知抛物线 C 的参数方程为? (t 为参数).若斜率为 1 的直线经过 ? ?y=8t 抛物线 C 的焦点,且与圆(x-4)2+y2=r2(r>0)相切,则 r=________. 6. (2010· 广东韶关一模)在极坐标系中, 圆心在( 2, π)且过极点的圆的方程为________. 7.(2009· 安徽)以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中 ? ?x=1+2cos α, π 取相同的长度单位. 已知直线的极坐标方程为 θ= (ρ∈R), 它与曲线? (α 为 4 ? ?y=2+2sin α 参数)相交于两点 A 和 B,则 AB=________.
? ?x=2cos α 8.(2010· 广东深圳高级中学一模)在直角坐标系中圆 C 的参数方程为? (α ? ?y=2+2sin α 为参数),若以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则圆 C 的极坐标方程为 ________.

二、解答题(共 42 分) 9.(14 分)⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ. (1)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过⊙O1,⊙O2 交点的直线的直角坐标方程.

?x=5cos φ, ? 10.(14 分)(2011· 江苏,21C)在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆? (φ 为参 ? ?y=3sin φ ?x=4-2t, ? 数)的右焦点,且与直线? (t 为参数)平行的直线的普通方程. ? ?y=3-t

?x=3- 22t, 11.(14 分)(2010· 福建)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? 2 ?y= 5+ 2 t

(t

为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ=2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(3, 5),求 PA+PB.

学案 73
自主梳理

坐标系与参数方程 答案

y (x≠0) 3.(1)极 x 坐标方程 (2)①ρ=2rcos θ ρ=2rsin θ ρ=r ②θ=α(ρ∈R) ρcos θ=a ρsin θ=b 自我检测 7 1.(2, π)(答案不唯一) 6 2.重合 3.3 解析 ∵C1:(x-3)2+(y-4)2=1,C2:x2+y2=1, 1.极轴 极坐标系 极径 极角 极坐标 2.ρcos θ ρsin θ x2+y2

∴两圆心之间的距离为 d= 32+42=5. ∵A∈曲线 C1,B∈曲线 C2,∴|AB|min=5-2=3. 4.4 3 π 解析 直线 ρsin(θ+ )=2 可化为 x+y-2 2=0,圆 ρ=4 可化为 x2+y2=16, 4 由圆中的弦长公式得 2 r2-d2=2 =4 3. 5.(-1,1),(1,1) 解析 ∵y=ρsin θ, ∴直线 l 的直角坐标方程为 y=1. ?x=cos α, ? 由? 得 x2+(y-1)2=1. ? ?y=1+sin α
? ? ? ?y=1, ?x=-1, ?x=1, 由? 2 得? 或? 2 ?x +?y-1? =1 ?y=1 ?y=1. ? ? ? ∴直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为(-1,1)和(1,1). 课堂活动区 例 1 解题导引 求曲线的极坐标方程的步骤:①建立适当的极坐标系,设 P(ρ,θ)是 曲线上任意一点;②由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式;③将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线上的极坐标方程;④证明所得 方程就是曲线的极坐标方程,若方程的推导过程正确,化简过程都是同解变形,这一证明可 以省略. 答案 ρ=asin θ,0≤θ<π 解析 圆的直径为 a,设圆心为 C,在圆上任取一点 A(ρ,θ),

2 22 42-? ? 2

π π π 则∠AOC= -θ 或 θ- ,即∠AOC=|θ- |. 2 2 2 π 又 ρ=acos∠AOC=acos|θ- |=asin θ. 2 ∴圆的方程是 ρ=asin θ,0≤θ<π. 变式迁移 1 解 设 P(ρ,θ)是直线 l 上任意一点,OPcos θ=OA,即 ρcos θ=a, 故所求直线的极坐标方程为 ρcos θ=a. 例 2 解题导引 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易, 只要运用公式 x=ρcos θ 及 y =ρsin θ 直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问 题常通过变形,构造形如 ρcos θ,ρsin θ,ρ2 的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘 以(或同除以)ρ 及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须同解, 因此应注意对变形过程的检验. π 1 3 解 (1)由 ρcos?θ-3?=1 得 ρ? cos θ+ sin θ?=1. ? ? 2 ?2 ? 1 3 从而 C 的直角坐标方程为 x+ y=1, 2 2 即 x+ 3y=2,当 θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0). π 2 3 2 3 π? 当 θ= 时,ρ= ,所以 N? . 2 3 ? 3 ,2? (2)M 点的直角坐标为(2,0).

2 3 N 点的直角坐标为(0, ). 3 3 所以 P 点的直角坐标为?1, ?, 3? ? 2 3 π? 则 P 点的极坐标为? , ? 3 ,6? π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ= ,ρ∈(-∞,+∞). 6 变式迁移 2 解 (1)圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 圆 O 的直角坐标方程为 x2+y2=x+y, 即 x2+y2-x-y=0. π 2 直线 l:ρsin(θ- )= ,即 ρsin θ-ρcos θ=1, 4 2 则直线 l 的直角坐标方程为 y-x=1, 即 x-y+1=0. 2 ? 2 ? ?x +y -x-y=0, ?x=0, (2)由? 得? ?x-y+1=0 ?y=1. ? ? π 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为(1, ). 2 例 3 解题导引 参数方程通过消去参数化为普通方程. 对于(1)直接消去参数 k 有困难, 可通过两式相除, 先降低 k 的次数, 再运用代入法消去 k; 对于(2)可运用恒等式(sin θ+cos θ)2 2 1-t 2 2t 2 =1+sin 2θ 消去 θ;对于(3)可运用恒等式( ) =1 消去 t. 2) +( 1+t 1+t2 另外,参数方程化为普通方程时,不仅要消去参数,还应注意普通方程与原参数方程的 取值范围保持一致. y y 解 (1)两式相除,得 k= .将 k= 代入, 2x 2x y 3· 2x 得 x= . y 1+? ?2 2x 化简,得所求的普通方程是 4x2+y2-6y=0(y≠6). (2)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ), 得 y2=2-x. 又 x=1-sin 2θ∈[0,2], 得所求的普通方程是 y2=2-x,x∈[0,2]. 1-t2 2 2t 2 (3)由( ) =1, 2) +( 1+t 1+t2 1-t2 得 x2+4y2=1.又 x= ≠-1, 1+t2 得所求的普通方程是 x2+4y2=1(x≠-1). 变式迁移 3 解 (1)由 y2=(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=1+2x,得 y2=2x+1. 1 1 1 1 1 ∵- ≤ sin 2θ≤ ,∴- ≤x≤ . 2 2 2 2 2 ∵- 2≤sin θ+cos θ≤ 2,∴- 2≤y≤ 2. 故所求普通方程为 1 1 1 y2=2?x+2? (- ≤x≤ ,- 2≤y≤ 2),图形为抛物线的一部分. ? ? 2 2 图形如图甲所示. 2 2 2 ?1?2+?1 t2-1?2=1 及 x=1≠0,xy= t -1≥0 知,所求轨迹为两段圆 (2)由 x +y =? t ? ? t ? t t2

弧 x2+y2=1 (0<x≤1,0≤y<1 或-1≤x<0,-1<y≤0). 图形如图乙所示.

例 4 解题导引 一般将参数方程化为普通方程,极坐标方程化成直角坐标方程解决. 解 将极坐标方程转化成直角坐标方程: 3 9 ρ=3cos θ 即:x2+y2=3x,即(x- )2+y2= . 2 4 ? ?x=2+2t ? 即:2x-y-3=0. ? ?y=1+4t 3 |2× -0-3| 2 所以圆心到直线的距离 d= 2 =0, 2 +?-1?2 即直线经过圆心,所以圆被直线截得的弦长为 3. x y 变式迁移 4 解 (1)设 P(x,y),则由条件知 M( , ). 2 2 由于 M 点在 C1 上, x =2cos α, ?x=4cos α, 2 ? 所以 即? y ? ?y=4+4sin α. =2+2sin α, 2

? ? ?

? ?x=4cos α, 从而 C2 的参数方程为? (α 为参数) ?y=4+4sin α. ? (2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sin θ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8sin θ. π π 射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin , 3 3 π π 射线 θ= 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin . 3 3 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2 3. 课后练习区 1.(3,-1) a 解析 由题知,x-3= (y+1),∴恒过定点(3,-1). 4 2.②③ 3.5 6 π 解析 ∵∠AOB= ,∴∠AOB 为直角三角形. 2 1 2 2 ∴AB= 3 +4 =5,S△AOB= ×3×4=6. 2 2 5 4.(1, ) 5 x2 解析 将两曲线的参数方程化为一般方程分别为 +y2=1(0≤y≤1,- 5<x≤ 5)和 5 4 2 5 y2= x,联立解得交点坐标为(1, ). 5 5 5. 2

解析

?x=8t2, ? 由? 得 y2=8x,抛物线 C 的焦点坐标为 F(2,0),直线方程为 y=x-2, ? ?y=8t

|4-0-2| 即 x-y-2=0.因为直线 y=x-2 与圆(x-4)2+y2=r2 相切, 由题意得 r= = 2. 2 6.ρ=-2 2cos θ

解析 如图,O 为极点,OB 为直径,A(ρ,θ),则∠ABO=θ-90° , ρ OB=2 2= , sin?θ-90° ? 化简得 ρ=-2 2cos θ. 7. 14 π 解析 直线的极坐标方程为 θ= (且 ρ∈R),故其直角坐标系下对应的方程为 y=x,参 4 ?x=1+2cos α, ? 数方程为? (α 为参数)的直角坐标系下对应的方程为(x-1)2+(y-2)2=4. ? ?y=2+2sin α 2 圆心(1,2)到直线 y=x 的距离为 .又半径为 2, 2 1 故弦长为 2 4- = 14. 2 8.ρ=4sin θ 解析 由参数方程消去 α 得圆 C 的方程为 x2+(y-2)2=4, x=ρcos θ, 将 y=ρsin θ 代入 得(ρcos θ)2+(ρsin θ-2)2=4,整理得 ρ=4sin θ. 9.解 以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同 的长度单位.(1 分) (1)x=ρcosθ,y=ρsinθ,由 ρ=4cosθ 得 ρ2=4ρcosθ,所以 x2+y2=4x. 即 x2+y2-4x=0 为⊙O1 的直角坐标系方程,(4 分) 同理 x2+y2+4y=0 为⊙O2 的直角坐标系方程.(7 分) ?x2+y2-4x=0, ?x1=0, ?x2=2, ? ? ? ? (2)由? 2 2 解得? (11 分) ? ? ? ?x +y +4y=0 ?y1=0, ?y2=-2. 即⊙O1, ⊙O2 交于点(0,0)和(2, -2), 过交点的直线的直角坐标系方程为 y=-x.(14 分) 10.解 由题设知,椭圆的长半轴长 a=5,短半轴长 b=3,从而 c= a2-b2=4,所 以右焦点为(4,0).将已知直线的参数方程化为普通方程:x-2y+2=0.(6 分) 1 1 故所求直线的斜率为 ,因此其方程为 y= (x-4),(8 分) 2 2 即 x-2y-4=0.(14 分) 11.解 方法一 (1)ρ=2 5sin θ,得 x2+y2-2 5y=0, 即 x2+(y- 5)2=5.(6 分) (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 2 2 (3- t)2+( t)2=5,即 t2-3 2t+4=0.(8 分) 2 2

?t1+t2=3 2, 由于 Δ=(3 2)2-4×4=2>0,故可设 t1,t2 是上述方程的两实根,所以? ?t1t2=4. (10 分) 又直线 l 过点 P(3, 5),

故由上式及 t 的几何意义得 PA+PB=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2. (14 分) 方法二 (1)同方法一. (6 分) (2)因为圆 C 的圆心为点(0, 5),半径 r= 5,直线 l 的普通方程为 y=-x+3+ 5.

?x +?y- 5? =5, 由? 得 x2-3x+2=0. ?y=-x+3+ 5
2 2

?x=1, ?x=2, 解得? 或? ?y=2+ 5 ?y=1+ 5.
不妨设 A(1,2+ 5),B(2,1+ 5),又点 P 的坐标为(3, 5), 故 PA+PB= 8+ 2=3 2.

(10 分)

(14 分)


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