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新课标2014年高二下期数学期末模拟试题


2010 级高二下期期末考试模拟试题答题卷
班级
B 1.在复平面内,复数 A.第一象限

姓名
1? i 对应的点位于( (1 ? i ) 2
C.第三象限 ) D .第四象限

B.第二象限

B 2.已知角 ? 终边上一点 P (sin

2? 2? ,

cos ) ,则角 ? 的最小正值为 3 3
C.

A.

5 ? 6

B.

11 ? 6

2 ? 3

D .

5 ? 3

3.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A. (0 , 1) 4.函数 y ? A. y ? C. y ?

2 的零点所在的大致区间是( x
C. (2 , e)



B. (1,2)

D. (3 , 4) ( )

x 2 ? 1( x ? ?1) 的反函数是 x 2 ? 1( x ? 0) x 2 ? 1( x ? 0)
B. y ? ? x 2 ? 1( x ? 0) D. y ? ? x 2 ? 1( x ? 0)

B5.已知函数 y ? sin(? x ? ? ) , (? ? 0, 0 ? ?≤ ) ,

?

2

(?,?) 且此函数的图象如图所示,则点 P 的坐标为 (
A. (2,

)

? ? ) B. (2, ) 2 4 ? ? C. (4, ) D. (4, ) 2 4


开始

6. 执行右边的程序框图,则输出的结果是( A. 12 B.10 C.8

i ? 1, p ? 1, s ? 0

D. 6

p ? p?i
i ? i ?1

i ? 3?

s ?s? p

输出 s

结束

7、知 ?ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C , ?ABC 的面积为 sin C ,则角 C 的 度数为 ( ) A. 30 ? B. 45 ? C. 60 ? D. 120 ?

1 6

8.已知函数 f ( x) ? sin x, f ( x)为f ( x) 的导函数,那么





? 个单位可以得到 f ?( x) 的图象 2 ? B.将 f ( x) 的图象向右平移 个单位可以得到 f ?( x) 的图象 2
A.将 f ( x) 的图象向左平移 C.将 f ( x) 的图象向左平移 ? 个单位可以得到 f ?( x) 的图象 D.将 f ( x) 的图象向右平移 ? 个单位可以得到 f ?( x) 的图象

x 2? a在 1 区 间 [ — 1 , 1] 上 没 有 零 点 , 则 函 数 9 . 若 函 数 f ( x)? 3a ?

g ( x) ? (a ? 1)( x3 ? 3x ? 4) 的递减区间是(
A. (??, ?1) B. (1, ??) C. (?1,1)



D. (??, ?1)

(1, ??)

10.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,底面是正三角形,侧棱和 底面垂直,直线 B1C 和平面 ACC1 A1 成角为 30 ? ,则异 面直线 BC1 和 AB1 所成的角为 ( )
A1 B1 C1

? 6 ? C. 3
A.

B. D.

? 4
2π 3
A

C B

11.在△ ABC 中, ?ABC ? 60 , AB ? 2 ,BC=9,在 BC 上任取一点 D ,使△ ABD 为 钝角三角形的概率为( ) A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

D12.过双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F 的直线 l 与双曲线右支相交于 A、B 两点,以 a 2 b2

线段 AB 为直径的圆被右准线截得的劣弧的弧度数为

? ,那么双曲线的离心率 e= ( 3
D.



A. 2

B.

3

C.2

2 3 3

二、填空题(4X4=16 分)

? 2y ?1 ? 0 ? 13、若点 P 在区域 ? x ? y ? 2 ? 0 内,则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 距离的最大值 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
为_______4.. 14、设函数 f(x)=g(x)+

1 ,曲线 y=g(x)在点(1,g(1) )处 x

的切线方程为 y = 2x+l,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1) 处切线方程为

1 1 2 1 1 1 3 ? ? , ? ? ? ,根据以上规律,写 1? 2 2 ? 3 3 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 1 1 1 1 1 5 ? ? ? ? ? 出第四个等式 为: . ..... 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 5 ? 6 6

15、观察等式:

16、已知曲线 C1 的极坐标方程为: ? cos ? ? ? sin ? ? k ? 0 ,其中 k ? 0 。以极点为坐标 原点, 极轴为 x 正半轴, 建立平面直角坐标系, 在此坐标系下, 曲线 C2 的方程为 ? ( ? 为参数) 。若曲线 C1 与曲线 C2 相切,则 k ?

? x ? cos ? ? y ? sin ?

2

2010 级高二下期期末考试模拟试题答题卷
一、选择题(12X5=60) 题号 答案 填空题(4X4=16) 13 15 三、解答题(76 分) . . 14 16 . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

17、已知函数 f ( x ) ? 2 sin( ωx ? 期为 ? . (1)求 ? 的值;

? ? ) sin( ωx ? ) (其中 ? 为正常数, x ? R )的最小正周 6 3

(2)在△ ABC 中,若 A ? B ,且 f ( A) ? f ( B ) ? .解: (1)∵ f ( x ) ? 2 sin(ωx ?

BC 1 ,求 . (12 分) 2 AB

? ? ? ? ?? ? ) sin(ωx ? ) ? 2 sin(ωx ? ) cos?(ωx ? ) ? ? 6 3 6 3 2? ?
?????4 分

? ? ? ? 2 sin( ωx ? ) cos( ωx ? ) ? sin( 2ωx ? ) . 6 6 3
而 f ( x) 的最小正周期为 ? , ? 为正常数,

2? ? ? ,解之,得 ? ? 1 .?????????6 分 2ω ? (2)由(1)得 f ( x ) ? sin( 2 x ? ) . 3 ? ? 5? 若 x 是三角形的内角,则 0 ? x ? ? ,∴? ? 2 x ? ? . 3 3 3 1 ? 1 ? ? ? 5? 令 f ( x) ? ,得 sin( 2 x ? ) ? ,∴2 x ? ? 或 2 x ? ? , 3 2 3 6 3 6 2 ? 7? 解之,得 x ? 或 x ? . 12 4 1 由已知, A , B 是△ ABC 的内角, A ? B 且 f ( A) ? f ( B ) ? , 2 ? 7? ? ∴A ? , B ? ,∴C ? ? ? A ? B ? . ?????????? 4 12 6
∴ 9分

? 2 sin BC sin A 4 ? 2 ? 2 又由正弦定理,得 ? ? 1 AB sin C sin ? 6 2

18、某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习 惯”的调查,以计算每户的碳月排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”,否 则称为“非低碳族” .若小区内有至少 75 % 的住户属于“低碳族” ,则称这个小区为“低 碳小区” ,否则称为“非低碳小区” .已知备选的 5 个居民小区中有三个非低碳小区, 两个低碳小区. (Ⅰ)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率; (Ⅱ)假定选择的“非低碳小区”为小区 A ,调查显示其“低碳族”的比例为

1 , 2

数据如图 1 所示,经过同学们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图 2 所示,问这时小区 A 是否达到“低碳小区”的标准?
频率 组距 0.30 0.25 0.20 0.15 0.05 频率 组距 0.46

0.23 0.14 0.10 0.07 1 2 3 4 5 6 月排放量 O (百千克/户 (百千克/户) 户) 1 2 3 4 5 月排放量 (百千克/户 (百千克/户) 户)

O

图1

图2

解: (Ⅰ)设三个“非低碳小区”为 A, B, C ,两个“低碳小区”为 m , n,

??2 分

用 ( x, y ) 表示选定的两个小区, x, y ?? A, B, C, m, n? ,则从 5 个小区中任选两个小区,所有 可能的结果有 10 个,它们是 ( A, B) , ( A, C ) , ( A, m) , ( A, n) , ( B, C ) , ( B, m) , ( B, n) ,

(C , m) , (C, n) , (m, n) . ??4 分 用 D 表示: “选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件,则 D 中的结果有 6 个,它
们是: ( A, m) , ( A, n) , ( B, m) , ( B, n) , (C , m) , (C, n) . 故所求概率为 P( D) ? ???6 分 ????7 分

6 3 ? . 10 5

(II)由图 1 可知月碳排放量不超过 300 千克的成为“低碳族”. ???9 分 由图 2 可知,三个月后的低碳族的比例为 0.07 ? 0.23 ? 0.46 ? 0.76 ? 0.75 , ??11 分 所以三个月后小区 A 达到了“低碳小区”标准. ????12 分

19、 如图 1,在直角梯形 ABCD 中,AB//CD,AB⊥AD,且 AB=AD =

1 CD =1.现以 AD 2

为一边向形外作正方形 ADEF, 然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折, 使平面 ADEF 与平 面 ABCD 垂直,M 为 ED 的中点,如图 2. (1)求证:AM∥平面 BEC; (2)求证:BC⊥平面 BDE: (3)求三棱锥 D—BCE 的体积

20、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 ,

an?1 1 ? 1? ; 2an n

(Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )若数列 ?

? an ? ,试比较 an ? sn 与 2 的大小. ? 的前 n 项和为 Sn . ?n?

(Ⅰ )解:由

an ?1 1 ? 1? 2an n



an ?1 a ? 2 n n ?1 n

∴ 数列 ?

? ? an ? ? n

? ? ? 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列. ? ?




an ? ( 2)n n

an ? n2 ? 2n

( n ? N )……………………………5 分
*

(Ⅱ )由条件知:

2n Sn ? 1×21 +2×22 +3×23 +…+ n×
∴2Sn ? 1×2 +2×2 +…+ (n ? 1) ×2 + n ×2
2 3 n

…………①
n ?1

…………②

① —② 得

? Sn ? 21 ? 22 ?

? 2n ? n ? 2n ?1 ?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2

整理得:

Sn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 ………………………………………………9 分

∴an ? Sn ? 2 ? n2 ? 2n ? (n ?1) ? 2n?1 ? 4 ? [(n ?1)2 ? 1]? 2n ? 4 ∵n ? N
*

∴n ? 1 时, an ? Sn ? 2 <0

∴an ? Sn <2

n≥2 时, an ? Sn ? 2 ? 0

∴an ? Sn ? 2 ……………12 分

21、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为 离的最大值为 3 . (I)求椭圆 C 的标准方程;

1 ,椭圆 C 上的点到焦点距 2

(II)若过点 P(0, m) 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A, B ,且 AP ? 3 PB ,求实数 m 的取值范围.

设所求的椭圆方程为:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) . a 2 b2

?c 1 ?a ? 2 ?a ? 2 ? ? ? ?b ? 3 , 由题意 ? a ? c ? 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?c ? 1 ? ?
所求椭圆方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(II)若过点 P(0, m) 的斜率不存在,则 m ? ? 若过点 P(0, m) 的直线斜率为 k ,即 m ? ?

3 . 2

3 时,直线 AB 的方程为 y ? m ? kx . 2

由? 于是

? y ? kx ? m ?3 x ? 4 y ? 12
2 2

? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 .

? ? 64m2k 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) .

因为 AB 和椭圆 C 交于不同两点,
2 2 所以 ? ? 0 , 4k ? m ? 3 ? 0 ,

所以 4k ? m ? 3 .
2 2



设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

8km 4m2 ? 12 , x1 x2 ? 由已知 AP ? 3PB ,则 x1 ? x2 ? ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2



AP ? (?x1, m ? y1 ), PB ? ( x2 , y2 ? m)
? x1 ? 3x2


4km 2 4m2 ? 12 ) ? 将③代入②, 得 ?3( . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
整理得 所以

16m2 k 2 ? 12k 2 ? 3m2 ? 9 ? 0 .

k2 ?

9 ? 3m2 , 代入①式, 得 16m2 ? 12

4k 2 ?

9 ? 3m2 ? m2 ? 3 . 2 4m ? 3



3 4m 2 (m 2 ? 3) ? 0 ,解得 ? m 2 ? 3 . 2 4 4m ? 3
所以 ? 3 ? m ? ?

3 3 或 ?m? 3. 2 2

综上可得,实数 m 的取值范围为 (? 3, ? 22、已知函数 f ( x) ?

3 3 ] [ , 3) . 2 2

1 2 ax ? 2 x, g ( x) ? ln x 。 2

(1)求函数 y ? xg ( x) ? 2 x 的单调区间; (2)如果函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调增函数,求实数 a 的取值范围; (3)是否存在实数 a>0,使得方程

1 g ( x) ? f ?( x) ? (2a ? 1) 在区间 ( , e) 内有且只有两个不 e x

相等的实数根?若存在,请求出实数 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。

解: (1)由 y ? x ln x ? 2 x 得: y? ? ln x ? 1 ,当 y? ? 0 时,则 x>e;当 y? ? 0 时,0<x<e; ∴ y ? x ln x ? 2 x 在 (e, ??) 上单调递增,在(0,e)上单调递减; (2)当 a=0 时,f(x)=2x 在 [1, ??) 上单调增函数,符合题意; 当 a>0 时,y=f(x)的对称轴为 x ? ? a≤-2 或 a>0, 即 a>0. 当 a<0 时 不 符 合 题 意 。 (3) 把 方 程

2 2 ,∵ y=f(x)在 [1, ??) 上单调增函数,∴? ? 1 ,解得 a a

g ( x) ? f ?( x) ? (2a ? 1) 整 理 得 : x

ln x ? ax ? 2 ? (2a ? 1) ? ax 2 ? (1 ? 2a) x ? ln x ? 0 , x
令 H ( x) ? ax ? (1 ? 2a) x ? ln x ,
2

原方程在 ( , e) 内有且只有两个不相等的实数根,即为函数 H(x)在 ( , e) 内有且只有两

1 e

1 e

个不相等的零点, H ?( x) ? 2ax ? (1 ? 2a) ?

1 2ax 2 ? (1 ? 2a) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? ? ,令 x x x

H ?(x) ? 0, a ?0, 解得 x=1,
当 x ? (0,1) 时, H ?( x) ? 0 ,H(x)单调递减,当 x ? (1, ??) 时, H ?( x) ? 0 ,H(x)单调 递增;

? 1 ?H ( e ) ? 0 ? 1 e2 ? e 则 H(x)在 ( , e) 内有且只有两个不相等的零点,只需 ? H (1) ? 0 解得 1 ? a ? , e 2 e ? 1 ? H (e) ? 0 ? ?
∴ 实数 a 的取值范围为 a ? (1,

e2 ? e ) 2e ? 1


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