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3.2几类不同增长的函数模型第二课时


3.2.1几类不同增长 的函数模型(二)

复习引入
归纳总结中学数学建模的主要步骤

复习引入
归纳总结中学数学建模的主要步骤 (1) 理解问题:阅读理解,读懂文字叙述, 认真审题,理解实际背景. 弄清楚问题的 实际背景和意义,设法用数学语言来描述 问题. (2) 简化假设:理解所给的实际问题之后, 领悟背景中反映的实质,需要对问题作必 要的简化,有时要给出一些恰当的假设, 精选问题中关键或主要的变量.

复习引入
归纳总结中学数学建模的主要步骤 (1) 理解问题:阅读理解,读懂文字叙述, 认真审题,理解实际背景. 弄清楚问题的 实际背景和意义,设法用数学语言来描述 问题. (2) 简化假设:理解所给的实际问题之后, 领悟背景中反映的实质,需要对问题作必 要的简化,有时要给出一些恰当的假设, 精选问题中关键或主要的变量.

复习引入
归纳总结中学数学建模的主要步骤

(3) 数学建模:把握新信息,勇于探索, 善于联想,灵活化归,根据题意建立变 量或参数间的数学关系,实现实际问题 数学化,引进数学符号,构建数学模型, 常用的数学模型有方程、不等式、函数.

复习引入
归纳总结中学数学建模的主要步骤

(3) 数学建模:把握新信息,勇于探索, 善于联想,灵活化归,根据题意建立变 量或参数间的数学关系,实现实际问题 数学化,引进数学符号,构建数学模型, 常用的数学模型有方程、不等式、函数.
(4) 求解模型:以所学的数学性质为工具 对建立的数学模型进行求解.

复习引入
归纳总结中学数学建模的主要步骤

(5) 检验模型:将所求的结果代回模型之 中检验,对模拟的结果与实际情形比较, 以确定模型的有效性,如果不满意,要 考虑重新建模. (6) 评价与应用:如果模型与实际情形比 较吻合,要对计算的结果作出解释并给 出其实际意义,后对所建立的模型给出 运用范围.如果模型与实际问题有较大出 入,则要对模型改进并重复上述步骤.

复习引入
归纳总结中学数学建模的主要步骤

(5) 检验模型:将所求的结果代回模型之 中检验,对模拟的结果与实际情形比较, 以确定模型的有效性,如果不满意,要 考虑重新建模. (6) 评价与应用:如果模型与实际情形比 较吻合,要对计算的结果作出解释并给 出其实际意义,后对所建立的模型给出 运用范围.如果模型与实际问题有较大出 入,则要对模型改进并重复上述步骤.

归纳总结中学数学建模的主要步骤

(1) 理解问题 (2) 简化假设 (3) 数学建模 (4) 求解模型 (5) 检验模型 (6) 评价与应用

讲授新课
的图象,说明在不同区间内,函数增长
的快慢情况.
x 观察函数 y ? 与 y ? 4

x 在[0,+∞)上

讲授新课
的图象,说明在不同区间内,函数增长
的快慢情况. y
6 4 2

x 观察函数 y ? 与 y ? 4

x 在[0,+∞)上

O

16

x

讲授新课
的图象,说明在不同区间内,函数增长
的快慢情况. y
6 4 2

x 观察函数 y ? 与 y ? 4

x 在[0,+∞)上

x y? 4

O

16

x

讲授新课
的图象,说明在不同区间内,函数增长
的快慢情况. y
6 4 2

x 观察函数 y ? 与 y ? 4

x 在[0,+∞)上

x y? 4

y? x
16

O

x

讲授新课
的图象,说明在不同区间内,函数增长
的快慢情况. y
6 4 2

x 观察函数 y ? 与 y ? 4

x 在[0,+∞)上

x y? 4

y? x
16

O

x

比较函数 y ? 2 , y ? x , y ? log 2 x
x

2

的增长快慢.

比较函数 y ? 2 , y ? x , y ? log 2 x y 的增长快慢.
x

2

8
6 4 2

O
-2

2

4

6

8

x

比较函数 y ? 2 , y ? x , y ? log 2 x y 的增长快慢.
x

2

8
6 4 2

y?2

x

O
-2

2

4

6

8

x

比较函数 y ? 2 , y ? x , y ? log 2 x y 的增长快慢.
x

2

8
6 4 2

y?2

x

y? x
2 4

2

O
-2

6

8

x

比较函数 y ? 2 , y ? x , y ? log 2 x y 的增长快慢.
x

2

8
6 4 2

y?2

x

y? x
2 4

2

y ? log 2 x
6 8

O
-2

x

比较函数 y ? 2 , y ? x , y ? log 2 x y 的增长快慢.
x

2

你能分别求出使
log 2 x ? 2 ? x
x 2 x

8
6 4 2

y?2

x

log 2 x ? x ? 2
2

成立的x的取值 范围吗?

y? x
2 4

2

y ? log 2 x
6 8

O
-2

x

放大后 的图象

30 28 26 24 22 20

y
y ? x2

18
16 14 12 10 8 6 4 2

y?2

x

O

5

10

x

规律总结 ① 一般地,对于指数函数y=ax(a>1)和 幂函数y=xn(n>0),在区间(0, +∞)上, 无论n比a大多少,尽管在x的一定变化范 围内,ax会小于xn,但由于ax的增长快于 xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0 时,就会有ax>xn.
(0, ??) (0, ??)

规律总结 ②对于对数函数y=logax (a>1)和幂函数 y=xn(n>0)在区间(0, +∞)上,随着x的 增大,logax增长得越来越慢.在x的一定 变化范围内,logax可能会大于xn,但由 于logax的增长慢于xn的增长,因此总存 在一个x0,当x>x0时,就会有logax<xn.
(0, ??) (0, ??)

规律总结 ③在区间(0, +∞)上,尽管函数y=ax (a>1),y=logax(a>1)和y = xn(n>0) 都是增函数,但它们的增长速度不同, 而且不在同一个“档次”上.随着x的增 长,y=ax(a>1)的增长速度越来越快, 会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长 速度,而y=logax(a>1)的增长速度则 会越来越慢.因此,总会存在一个x0, 当x>x0时,就有logax<xn<ax.
(0, ??) (0, ??)

例1 同一坐标系中,函数 y y=x2+7和y=2x的图象 50 如图.试比较x2+7与2x的
大小.
40 30 20 10

y=x2+7

y=2x
5 10

O

x

例2 已知函数y=x2和y=log2(x+1)的图象 如图,试比较x2与log2(x+1)的大小. y
4
3

y=x2

2 1

y=log2(x+1)
O
2 4

x

-1

练习
1. 下列说法不正确的是 ( C )

A. 函数y=2x在(0,+∞)上是增函数 B. 函数y=x2在(0,+∞)上是增函数 C. 存在x0,当x>x0时,x2>2x恒成立 D. 存在x0,当x>x0时,2x>x2恒成立

练习
1. 下列说法不正确的是 ( C )

A. 函数y=2x在(0,+∞)上是增函数 B. 函数y=x2在(0,+∞)上是增函数 C. 存在x0,当x>x0时,x2>2x恒成立 D. 存在x0,当x>x0时,2x>x2恒成立

练习
2.比较函数y=xn(n>0)和y=ax(a>0), 下列说法正确的是 ( B ) A. 函数y=xn比y=ax的增长速度快 B. 函数y=xn比y=ax的增长速度慢

C. 因a, n没有大小确定, 故无法比较函数
y=xn与y=ax的增长速度

D. 以上都不正确

练习
2.比较函数y=xn(n>0)和y=ax(a>0), 下列说法正确的是 ( B ) A. 函数y=xn比y=ax的增长速度快 B. 函数y=xn比y=ax的增长速度慢

C. 因a, n没有大小确定, 故无法比较函数
y=xn与y=ax的增长速度

D. 以上都不正确

练习 3. 函数y=logax(a>1)、y=bx(b>1)和
y=xc(c>0)中增长速度最快的是( B )

A. y=logax(a>1)
C. y=xc(c>0)

B. y=bx(b>1)
D. 无法确定

练习 3. 函数y=logax(a>1)、y=bx(b>1)和
y=xc(c>0)中增长速度最快的是( B )

A. y=logax(a>1)
C. y=xc(c>0)

B. y=bx(b>1)
D. 无法确定

练习 4.已知幂函数y=x1.4、指数y=2x和对数 函数y=lnx的图象. 如图,则A表示函数 y 的图象, B表示函数 . 的图象,C表示函 数 的图象.
5 4 3 2 1

A B C
O
2 4

x

练习 4.已知幂函数y=x1.4、指数y=2x和对数 函数y=lnx的图象. 如图,则A表示函数 y 的图象, B表示函数 . 的图象,C表示函 数 的图象. y=2x
5 4 3 2 1

A B C
O
2 4

x

练习 4.已知幂函数y=x1.4、指数y=2x和对数 函数y=lnx的图象. 如图,则A表示函数 y 的图象, B表示函数 y=x1.4 . 的图象,C表示函 数 的图象. y=2x
5 4 3 2 1

A B C
O
2 4

x

练习 4.已知幂函数y=x1.4、指数y=2x和对数 函数y=lnx的图象. 如图,则A表示函数 y 的图象, B表示函数 y=x1.4 . 的图象,C表示函 数 y=lnx 的图象. y=2x
5 4 3 2 1

A B C
O
2 4

x

课堂小结
1. 幂函数、指数函数、对数函数增长
快慢的差异;

课堂小结
1. 幂函数、指数函数、对数函数增长
快慢的差异; 2. 直线上升、指数爆炸、对数增长

等不同函数类型增长的含义.

课后作业
1. 阅读教材P.98~ P.101. 2. 《习案》作业三十二.


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