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第二章2.4-2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义


第二章

平面向量

2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义

[学习目标] 1.通过物理中“功”理解平面向量数量 积的含义(重点、难点). 2.体会平面向量的数量积与向 量投影的关系,掌握平面向量数量积的运算律(易错点、 易混点). 3.会用两个向量的数量积解决向量的垂直问 题. 4.理解向量的数量积的几何意义(难点). 5.利用 向量的数量积解决夹角、模等问题(重点、难点).

[知识提炼· 梳理] 1.向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积:

已知 条件

向量 a,b 是非零向量,它们的夹角为 θ

定义 a 与 b 的数量积(或内积)是数量|a||b|cos_θ 记法 a· b=|a||b|cosθ

(2)零向量与任一向量的数量积. 规定:零向量与任一向量的数量积均为 0. 温馨提示 向量的数量积是一个数量,可正、可负、 可为零.

2.向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念: ①向量 b 在 a 的方向上的投影为|b|cos_θ. ②向量 a 在 b 的方向上的投影为|a|cos_θ. (2)数量积的几何意义: 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 与 a 的方向上的投影 |b|cos θ 的乘积.

3.向量的数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量,θ 为 a 与 b 的夹角. (1)a⊥b?a· b=0. (2)当 a 与 b 同向时,a· b=|a||b|. 当 a 与 b 反向时,a· b=-|a||b|. (3)a· a=|a|2 或|a|= a· a= a2. a· b (4)cos θ= . |a||b|

(5)|a· b|≤|a||b|.

4.向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a(交换律). (2)(λ a)· b=λ(a· b)=a· λ(b)(数乘结合律). (3)(a+b)· c=a· c+b· c(分配律).

[思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同.( (2)两个向量的数量积是一个向量.( ) ) )

(3)设向量 a 与 b 夹角为 θ, 则: cos θ >0?a· b>0.( (4)若 a· b=b· a,则一定有 a=c.( 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× )

2.已知 a 与 b 是相反向量,且|a|=2,则 a· b=( A.2 B.-2 C.4

)

D.-4

解析:由已知 a=-b,所以 a· b=a· (-a)=-a2=- |a|2=-4. 答案:D

π 3.已知|a|=3,向量 a 与 b 的夹角为 ,则 a 在 b 方 3 向上的投影为( )

3 3 3 2 1 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 π 解析: 向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ=3×cos 3 3 = . 2 答案:D

4. 若向量 a 满足 a2=8,则|a|=________. 解析:因为|a|2=a2=8,所以|a|=2 2. 答案:2 2

5.已知△ABC 中,BC=4,AC=8,∠C=60°, → ·CA → =________. 则BC → 与CA → 夹角为角 C 的补角(图 解析:画图可知向量BC
? 1? → → 略),故BC·CA=BC·ACcos(π-C)=4×8×?-2?=-16. ? ?

答案:-16

类型 1 向量数量积的运算 [典例 1] (1)(2015· 山东卷)已知菱形 ABCD 的边长为 → ·CD → =( a,∠ABC=60° ,则BD 3 2 A.- a 2 3 2 B.- a 4 ) 3 2 C. a 4 3 2 D. a 2

(2)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c=t a+ (1-t)b.若 b· c=0,则 t=________.

→ =CD →, → =BA → +BC →, 解析: (1)在菱形 ABCD 中, BA BD → · CD → = ( BA → + BC → )· → = BA → · CD → + BC → · CD → = a2 + 所以 BD CD 1 2 3 2 a×a· cos 60°=a + a = a . 2 2
2

(2)法一:因为 b· c=0, 所以 b· [t a+(1-t)b]=0,即 t a· b+(1-t)· b2=0,

1 又因为|a|=|b|=1, 〈a,b〉=60°,所以 t+1-t=0, 2 所以 t=2.

法二:由 t+(1-t)=1 知向量 a、b、c 的终点 A、B、C 共线,
?1 在平面直角坐标系中设 a=(1,0),b=? ?2, ?

3? ? , ? 2?

?3 ? 则 c=? ,- ?2

3? ? . 2? ?

把 a、b、c 的坐标代入 c=ta+(1-t)b,得 t=2. 答案:(1)D (2)2

归纳升华 向量数量积的求法 1.求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及 向量的夹角, 其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的 关键.

2.根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的 混合运算.类似于多项式的乘法运算.

[变式训练] 已知|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为 60°,则(a+2b)· (a+3b)为________. 解析:(a+2b)· (a+3b)= a· a+5a· b+6b· b= |a|2+5a· b+6|b|2=

|a|2+5|a||b|cos θ+6|b|2= 62+5×6×4×cos 60°+6×42=192. 答案:192

类型 2 与向量模有关的问题 [典例 2] (1)(2015· 浙江卷)已知 e1,e2 是平面单位向 1 量,且 e1·e2= .若平面向量 b 满足 b· e1=b· e2=1,则|b| 2 =________. (2)平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,|a|=2,|b|=1, 则|a+2b|=( A. 3 ) B.2 3 C.4 D.12

1 解析:(1)因为 e1·e2= , 2 1 所以|e1||e2|cos〈e1,e2〉= ,所以〈e1,e2〉=60°. 2 又因为 b· e1=b· e2=1>0,所以〈b,e1〉=〈b,e2〉 =30°. 1 2 3 由 b· e1=1,得|b||e1|cos 30°=1,所以|b|= = . 3 3 2

(2)|a+2b|=

(a+2b)2=

a2+4a· b+4b2=

|a|2+4|a||b|cos 60°+4|b|2= 1 4+4×2×1× +4=2 3. 2 2 3 答案:(1) (2)B 3

归纳升华 1.此类求模问题一般转化为求模平方,与数量积联 系. 2.利用 a· a=a2=|a|2 或|a|= a2,可以实现实数运算 与向量运算的相互转化.

[变式训练] 设向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,(a- b)⊥c,|a|=1,则|b|=________. 解析:因为 a+b+c=0,所以 c=-(a+b). 因为(a-b)⊥c,所以 c· (a-b)=0, 所以-(a+b)· (a-b)=0,所以 a2-b2=0, 所以|b|=|a|=1.
答案:1

类型 3 向量的夹角与垂直问题(误区警示) [典例 3] 在△ABC 中, 已知∠A=120°, ∠B=∠C → ·BC → +BC → ·CA → +CA → ·AB →= =30°,AB=AC=1,则AB ________. 易错提示:易失分点一:因为两个向量的夹角求错, 从而导致数量积计算结果错误;易失分点二:数量积的运
算律应用不当而致误.

防范措施:在求以平面图形为背景的数量积问题时, 关键是求向量夹角,此时要注意让两个向量共始点才能 → 与BC → 的夹角是角 B 的补角 找准向量的夹角, 如本例中AB 而不是角 B.

[正确解答] 过 A 作 AD⊥BC, 垂足为 D, 如图所示. 因为 AB=AC,所以 BC=2BD=2×AB×cos B= 3 2×1× = 3. 2 → ·BC → =|AB → ||BC → |cos 法一:AB

(180 °- 30° ) = 1× |cos(180°-30° )=

? ? 3 × ?- ?

3 → → → → 3? ? =- , BC · CA = | BC || CA 2 2? ? 3 3? ? =- , 2 2? ?

? ? 3×1×?- ?

1 1 → → → → CA·AB=|CA||AB|cos(180°-120° )=1×1× = ,所 2 2 3 3 1 5 → → → → → → 以AB·BC+BC·CA+CA·AB=- - + =- . 2 2 2 2 → · BC → + BC → · CA → + CA → · AB → = BC → · (AB → + CA → )+ 法二:AB → ·AB → =BC → ·CB → +CA → ·AB → =-BC → ·BC → -AC → ·AB → =- 3× CA 1 5 3×cos 0°-1×1×cos 120°=-3+ =- . 2 2

5 答案:- 2

归纳升华 数量积运算过程中, 逆用和巧用运算律可以凑出满足 向量加法(减法)三角形法则的形式,从而实现简化运算, → ·BC → +BC → ·CA → =BC → · (AB → +CA → )的变形 如本例中,经过 AB → +CA → 可用向量加法的三角形法则简化为CB → ,进一 后,AB →2即可. 步只要计算BC

[类题尝试] (2015· 重庆卷)已知非零向量 a, b 满足|b| =4|a|,且 a⊥(2a+b),则 a 与 b 的夹角为( π π 2π 5π A. B. C. D. 3 2 3 6 )

解析:因为 a⊥(2a+b),所以 a· (2a+b)=0, 所以 2|a|2+a· b=0,即 2|a|2+|a||b|cos〈a,b〉=0.

因为|b|=4|a|,所以 2|a|2+4|a|2cos〈a,b〉=0, 1 2 所以 cos〈a,b〉=- ,所以〈a,b〉= π. 2 3 答案:C

1.平面向量数量积的概念及其几何意义 (1)对数量积概念的两点说明: ①从定义上看:两向量的数量积是一个数量,而不 是向量,其数值可正、可负、可为零. ②从运算上看:两向量 a,b 的数量积称作内积,写 成 a· b,其中“· ”是一种运算符号,不同于实数的乘法符 号,不可省略.

(2)对投影的三点理解: ①a· b 等于|a|与 b 在 a 方向上的投影的乘积,也等于 |b|与 a 在 b 方向上的投影的乘积. 其中 a 在 b 方向上的投 影与 b 在 a 方向上的投影是不同的. ②b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ(θ 是 a 与 b 的夹角). ③投影是一个数量,不是向量,其值可为正,可为 负,也可为零.

2.向量数量积的运算应注意的几点 (1)θ 的范围为 0°≤θ ≤180°; (2)对于非零向量 a 和 b,a⊥b?a· b=0; (3)a· b>0?θ 为锐角或零角,a· b<0?θ 为钝角或平角.

3.向量的数量积与实数乘积运算性质的比较

实数 a,b,c a≠0,a·b=0?b=0 a·b=b· c(b≠0)?a=c |a·b|=|a|· |b| 满足乘法结合律

向量 a,b,c a≠0,a· b=0?/ b=0 a· b=b· c(b≠0)?/ a=c |a· b|≤|a|· |b| 不满足乘法结合律


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